有关θ-开集和δ-开集的一些结果

不可数空间的可数补拓扑的几类连通性王小霞;姜金平;赵宁宁;李萍【摘要】讨论了不可数空间的可数补拓扑的θ-连通性、θ-弧连通性和局部道路连通性.【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(035)003【总页数】3页(P33-35)【关键词】不可数空间;可数补空间;连通性【作者】王小霞;姜金平;赵宁宁;李萍【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000;延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000【正文语种】中文【中图分类】O189.1连通性是拓扑空间研究的一个重要课题,文[1]讨论了一般拓扑空间的连通性，文[2]讨论了θ-连通性空间与θ-连通性，文[3]研究了θ-弧连通空间和θ-弧连通性,文[4]讨论了局部道路连通性,文[5]讨论了一类可数补空间的连通性和弧连通性。

在文[5]的基础上，讨论了不可数空间的可数补拓扑的θ-连通性、θ-弧连通性和局部道路连通性,进一步完善可数补空间的连通性理论.定义1[1]设X是拓扑空间,T={U⊂是X的拓扑,称T为X的可数补拓扑.(X，T)称为可数补空间.定义2[2]设A、B为拓扑空间(X，T)的子集,若则称A、B为θ-隔离子集.定义3[2] 设(X，T)、(Y，ω)为两个拓扑空间,f:X→Y是映射,若∀θ -开集B∈Y,有f-1(B)是X中的θ -开集,则称f为θ-连续映射.定义4[2] 设(X，T)为拓扑空间,称集合A⊆X为θ -开集,当且仅当∀x∈A,∃开集V 使x∈V⊂⊂A,θ-开集的补集称为θ-闭集.定义5[3] 设(X，T)为拓扑空间,若对X中任意两点x、y都有X中θ-连续映射f:[0,1]→X,使得f(0)=x,f(1)=y,则称(X，T)为θ-弧连通空间.定义6[4] 设X为拓扑空间, ∀x∈X,若∀U∈Ux,∃x∈X的道路连通邻域V,使得x∈V⊂U,则称X是局部道路连通空间.定义7 设X为拓扑空间,若X包含不可数多个点,则称X为不可数空间.定理1 设(X，T)是包含不可数多个点的可数补空间,则X是θ-连通的.证明假设X不是θ-连通性的,则由文[2]定义4.2可知X有两个非空的θ-隔离子集A、B,使得A∪B=X.由于X是可数补空间,所以A′、B′为可数集,由定义2可知故X=Φ′=(A∩clθ(B))′=A′∪(clθ(B))′=A′∪intθ(B′),而intθ(B′)是θ -开集,从而一定是开集,由于B′是可数集,所以intθ(B′)是可数集,故X为可数集,这与已知矛盾,故X是θ-连通的.定理2[5] X为可数集,T={X-C:C为可数集}∪{Φ},则(X，T)为离散空间.定理3 如果Y为不少于两点的离散空间,则拓扑空间X为θ-连通空间当且仅当有一θ-连续映射f:X→Y都是常值映射.证明: “⟹” 设X为θ-连通空间, f:X→Y为θ-连续映射,则由文[2]定理4.8知f(X)为θ-连通子集,若f(X)多于一点,设y∈f(X),由于Y为离散空间,所以皆为Y的非空子集，且{y}∩(f(X)-{y})=Φ，这与f(X)是θ-连通矛盾，故f(X)是独点集，即f是常值映射.“⟹” 设每一θ-连续映射f:X→Y都是常值映射,若X不是θ-连通,则存在非空θ-隔离子集A、B,使A∪B=X,显然定义映射f:X→Y,使f(A)={y1},f(B)={y2},其中y1、y2∈Y,且y1≠y2,显然f为连续映射,从而为θ-连续映射,但非常值映射,故矛盾,因此X为θ-连通空间.定理4 设(X，T)是包含不可数多个点的可数补空间,则X不是θ-弧连通空间.证明∀x、y∈X,且x≠y,假设x、y是θ-弧连通的,由文[3]定义1.1知存在θ-连续映射f:[0,1]→X，使得f(0)=x,f(1)=y,由于[0,1]是不可数集,则f([0,1])也是不可数集. 事实上,若f([0,1])是可数集,且至少含两点x、y,令Y=f([0,1]),由文[5]引理1知(Y,T|Y)为离散空间,且f|Y:[0,1]→Y为满射,且为θ-连续映射,因为[0,1]是连通的,从而是θ-连通的,由文[2]定理4.8知f([0,1])是θ-连通的,由本文定理3知f([0,1])=Y为独点集,矛盾.令B={x|x∈I,x为有理数}⊂[0,1],则B为可数集,由文[1]定理1.7.2知f(B)为可数集.因为f(B)⊂f([0,1]),而f([0,1])为不可数集,所以∃t∈[0,1],使f(t)∈f([0,1]),但f(t)∉f(B),故t必为无理数,令C=X-f(B)，则C为X中θ-开集且f(t)∈C,所以f-1(C)为[0,1]中θ-开集,且t∈f-1(C),因为f-1(f(B))⊃B,所以f-1(C)=f-1(X)-f-1(f(B))=[0,1]-f-1(f(B))⊂[0,1]-B，而[0,1]-B为[0,1]中无理数集,它的任意非空子集均不是θ-开集,这与f-1(C)为θ-开集矛盾,从而x、y不是θ-弧连通的,故X不是θ-弧连通空间.定理5[1] 可数补空间是局部连通空间.定理6 设(X，T)是包含不可数多个点的可数补空间,则X不是局部道路连通空间. 证明假设X是局部道路连通空间,则由文[4]定义2可知∀x∈X,∀U∈Ux,∃x的道路连通邻域V,使得x∈V⊂U.从而V为道路连通的,设y,z∈V,且y≠z,即y,z是道路连通的,由道路连通定义,存在连续映射f:[0,1]→X,使f(0)=x,f(1)=y,记I=[0,1],因为I 不是可数集,类似于定理2,同理可证f(I)也是不可数集.令B={x|x∈I,x为有理数}⊂I,则B为可数集，由文[1]定理1.7.2知f(B)为可数集，类似于本文定理2，可知I-B为I中无理数集, 它的任意非空子集均不是开集,这与f-1(C)为开集矛盾!故x、y不是道路连通的,故V不是道路连通子集,即∀x∈X,∀U∈Ux,不存在X的道路连通邻域V,使x∈V⊂U,从而与假设矛盾!故X不是局部道路连通空间.【相关文献】[1] 熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社,1997.[2] 许兆龙.θ-连通空间与θ-连通[J].韶关学院学报：自然科学版,2002,23(6):17-24.[3] 许兆龙.θ-弧连通空间与θ-弧连通[J].抚州师专学报,2003,22(3):46-49.[4] 张喜贵.局部道路连通空间[J].通化师范学院学报,2002,23(5):14-17.[5] 陈燕芬.一类可数补拓扑空间的连通性与弧连通性[J].韩山师范学院学报：自然科学版，1996 (3):27-29.。

测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。

中间含有的对象叫元素。

全集：要研究的问题涉及到的最大集合。

空集：没有任何元素的集合。

表达方法：{x （集合元素x ）|x 应该有的性质}·元素与集合的关系：x A ，x ∉A∈·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A ，x B 则A 包含于B （证明就用这个方法），A 是B 的子集（A B ∈∈≠则为B 的真子集）包含的特殊情况相等：A=B 就是A 包含于B 同时B 包含于A真子集：A 包含于B 但A B≠·集合的运算①单个元素的幂集2X 对于一个集合X ，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。

这种以集合为元素2X 的集合，也叫集合族。

②两个集合的运算交：A B={x| x A 且x B}∩∈∈ 并：A B={x| x A 或x B}∪∈∈ 差：A\B （或写成A-B ）={x| x A 且x ∉B}∈ 补：=U\A （U 是问题要研究的全集）A C 于是有等式A\B=A ∩BC 积：（直积）A ×B={(x,y)| x A 且y B }（把A 、B 中元素构成有序对）∈∈ ③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ， 称为指标集。

⋃λ∈I A λ∈I 类似有多个并注：可以是无穷个【例】 x| x> ，A={x| x>0}，则A=A n 1n ⋃∞n =1A n·集合的分析相关性质①上限集：一列集合{}，定义上限集为。

类似于数列的上极限。

A n ⋂∞n =1⋃∞k =n A k ②下限集：一列集合{}，定义下限集为。

类似于数列的下极限。

A n ⋃∞n =1⋂∞k =n A k ③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。

④单调集合列：若始终有包含于，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，A n A n +1若始终有 ，则为递减列。