2016-2017学年江苏省盐城市高二下学期期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0的解集是．2．（5分）设z=3+4i，则复数z的模为．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为．4．（5分）若曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，则P的横坐标为．5．（5分）函数y=1+lnx的导函数y′=．6．（5分）条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的条件．7．（5分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上且过点P（4，1），则抛物线的标准方程为．8．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的a的值是．9．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．10．（5分）已知a＞1，且b＞1，若a+b=6，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值是．11．（5分）椭圆上的一点M到左焦点的距离为3，那么点M到右准线的距离为．12．（5分）双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．13．（5分）函数f（x）=，x∈[﹣2，+∞）的单调减调区间是．14．（5分）若不等式≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（15分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P且q为真命题，求实数m的取值范围．16．（15分）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．17．（15分）（文科做）设全集是实数集R，A={x|x2+x﹣6≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．18．（理科做）用数学归纳法证明：．19．（15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（I）求f（x）的表达式；（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．20．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（15分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0的解集是[1，2]．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：∵不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得1≤x≤2．∴解集为[1，2]．故答案为：[1，2]．2．（5分）设z=3+4i，则复数z的模为5．【考点】A8：复数的模．【解答】解：|z|==5，故答案为：5．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为30．【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：分层抽样的抽取比例为：=，∴抽取学生的人数为600×=30．故答案为30．4．（5分）若曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，则P的横坐标为±1．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：设P的横坐标为a，曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，可得2﹣3a2=﹣1，解得a=±1．故答案为：±1．5．（5分）函数y=1+lnx的导函数y′=．【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，函数y=1+lnx，则导数y′=1′+（lnx）′=，即y′=，故答案为：．6．（5分）条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的充分不必要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由x2﹣1=0，解得x=±1．∴条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．（5分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上且过点P（4，1），则抛物线的标准方程为x2=16y．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，设抛物线方程为：x2=my，抛物线过点P（4，1），可得16=m，所求的抛物线方程为：x2=16y，故答案为：x2=16y，8．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的a的值是127．【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1a=3不满足条件a＞64，a=7不满足条件a＞64，a=15不满足条件a＞64，a=31不满足条件a＞64，a=63不满足条件a＞64，a=127满足条件a＞64，退出循环，输出a的值为127．故答案为：127．9．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为1．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（0，1），此时z=0×2+1=1，故答案为：110．（5分）已知a＞1，且b＞1，若a+b=6，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值是4．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵a＞1，且b＞1，a+b=6，变形为：（a﹣1）+（b﹣1）=4．则（a﹣1）（b﹣1）≤==4，当且仅当a=b=3时取等号．故答案为：4．11．（5分）椭圆上的一点M到左焦点的距离为3，那么点M到右准线的距离为．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：根据椭圆的第二定义可知P到F1的距离与其到准线的距离之比为离心率，依题意可知a=2，b=，∴c==，∴e==，右准线方程为x==．∵P到椭圆左焦点的距离为3，∴P到椭圆右焦点的距离为1，∴点P到椭圆右准线的距离d；．d=故答案为：．12．（5分）双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，可得b=12，则c=12，双曲线的离心率为：=．故答案为：．13．（5分）函数f（x）=，x∈[﹣2，+∞）的单调减调区间是[﹣2，+∞）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：f′（x）=x+e x﹣（e x+xe x）=x﹣xe x=x（1﹣e x），当﹣2≤x≤0时，f′（x）≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f′（x）≤0在[﹣2，+∞）上恒成立，∴f（x）在[﹣2，+∞）上单调递减，故答案为：[﹣2，+∞）．14．（5分）若不等式≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴4c≤=，令=t＞1，∴4c≤，令f（t）=，则f′（t）==，当t＞2+时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，f（2+）=2﹣4．∴实数4c的最大值为2﹣4，则c的最大值为，故答案为：．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（15分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P且q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：由题意，得p ：，解之得m＞2，q：△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…（6分）∵p且q为真，∴p，q 同时为真，则，解之得2＜m＜3，…（9分）∴实数m的取值范围是2＜m＜3．…．（12分）16．（15分）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（I）f′（x）=9x2﹣9．（2分）令9x2﹣9＞0，（4分）解此不等式，得x＜﹣1或x＞1．因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（6分）（II）令9x2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．（8分）当x变化时，f′（x），f（x）变化状态如下表：（10分）从表中可以看出，当x=﹣2或x=1时，函数f（x）取得最小值﹣1．当x=﹣1或x=2时，函数f（x）取得最大值11．（12分）17．（15分）（文科做）设全集是实数集R，A={x|x2+x﹣6≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：（1）A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，当a=﹣4时，B={x|x2+a＜0}={x|﹣2＜x＜2}；∴A∩B={x|﹣2＜x＜2}A∪B={x|﹣3≤x≤2}；（2）若A∩B=B，则B⊆A；由题意，x2＜﹣a；当a≥0时，B=∅，满足题意；当a＜0时，﹣a＞0，解得﹣＜x＜，则，解得﹣4≤a＜0；综上，a的取值范围是[﹣4，+∞）．18．（理科做）用数学归纳法证明：．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：证明：（1）当n=1时，1=1，等式成立．（2）假设当n=k时，有1+2+3+…+k=k（k+1）成立．那么，当n=k+1时，1+2+3+…+k+k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2），=（k+1）[（k+1）+1]，∴当n=k+1时等式成立，∴对任意的n∈N*，等式都成立．19．（15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（I）求f（x）的表达式；（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元∴，∴k=800（3分）∴（7分）（Ⅱ）∵（11分）当且仅当即x=5时f（x）min=75．（14分）答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用f（x）最小为75万元．（15分）20．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=2c，则b2=a2﹣c2=3c2，将E代入椭圆方程：，解得：c=1，则a=2，b=，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0）（y0≠0），则直线AP的方程为：y=（x+2）令x=2得M（2，）∴k1=，则k2=，∴k1k2=，∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，y02=∴k1k2==为定值．∴k1k2为定值．21．（15分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数研究函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵f （x ）=a x +x 2﹣xlna ，∴f ′（x ）=a x lna+2x ﹣lna ，∴f ′（0）=0，f （0）=1即函数f （x ）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f （0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x ）=a x lna+2x ﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna ＞0①当a ＞1，y=2x 单调递增，lna ＞0，所以y=（a x ﹣1）lna 单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x ﹣1）lna ＞2×0+（a 0﹣1）lna=0，即f'（x ）＞f'（0），所以x ＞0 故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a ＜1，y=2x 单调递增，lna ＜0，所以y=（a x ﹣1）lna 单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x ﹣1）lna ＞2×0+（a 0﹣1）lna=0，即f'（x ）＞f'（0），所以x ＞0 故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f （x ）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1，所以当x ∈[﹣1，1]时，|（f （x ））max ﹣（f （x ））min |=（f （x ））max ﹣（f （x ））min ≥e ﹣1，（12分）由（2）知，f （x ）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[﹣1，1]时，（f （x ））min =f （0）=1，（f （x ））max =max{f （﹣1），f （1）}，而f （1）﹣f （﹣1）=（a+1﹣lna ）﹣（+1+lna ）=a ﹣﹣2lna ，记g （t ）=t ﹣﹣2lnt （t ＞0），因为g ′（t ）=1+﹣=（ ﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）。

2016-2017学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，集合B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝．2．（5分）已知I是虚数单位，若（2+i）（m﹣2i）是实数，则实数m＝．3．（5分）若函数的最小正周期为，则正数k＝．4．（5分）函数f（x）＝的定义域为．5．（5分）若角α的终边经过点（﹣4，3），则sinα的值为．6．（5分）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为．7．（5分）若f（x）＝，则f（f（））＝．8．（5分）已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为．9．（5分）函数f（x）＝lnx﹣x的单调递增区间为．10．（5分）已知，且﹣π＜θ＜﹣，则＝．11．（5分）已知函数f（x）＝lgx+x﹣9在区间（n，n+1）（n∈Z）上存在零点，则n＝．12．（5分）已知定义在[﹣2，2]上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，且，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则实数t的取值范围为．13．（5分）函数f（x）＝﹣4x3+kx，对任意的x∈[﹣1，1]，总有f（x）≤1，则实数k的取值为．14．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣mx对任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，求实数m的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）已知复数z＝（m2+5m﹣6）+（m2﹣2m﹣15）i，（i为虚数单位，m∈R）（1）若复数Z在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数m的值；（2）当实数m＝﹣1时，求的值．16．（14分）已知函数f（α）＝（1）化简f（α）；（2）若f（α）＝＜α＜0，求sinα•cosα，sinα﹣cosα的值．17．（14分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的取值范围．18．（16分）生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C （x），当年产量不足80千件时，C（x）＝+20x（万元），当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+﹣1450（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润＝销售额﹣成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．19．（16分）已知函数f（x）＝log a（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并说明理由；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数n，a的值．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx．（1）设h（x）为偶函数，当x＜0时，h（x）＝f（﹣x）+2x，求曲线y＝h（x）在点（1，﹣2）处的切线方程；（2）设g（x）＝f（x）﹣mx，求函数g（x）的极值；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞成立，求实数k 的取值范围．2016-2017学年江苏省淮安市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，集合B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝{1，3}．故答案为：{1，3}．2．【解答】解：（2+i）（m﹣2i）＝2m+2+（m﹣4）i是实数，则m﹣4＝0，解得m＝4．故答案为：4．3．【解答】解：∵函数最小正周期为，∴＝∴k＝3故答案为：34．【解答】解：函数f（x）＝，∴，解得x≥﹣1或x≠2，∴f（x）的定义域为[﹣1，2）∪（2，+∞）．故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）．5．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5，则sinα＝＝，故答案为：．6．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（2，），∴2a＝，a＝∴f（4）＝＝2，故答案为：2．7．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（）＝ln，f（f（））＝f（ln）＝＝．故答案为：．8．【解答】解：设扇形的圆心角为α，则扇形的弧长为l＝αr＝α；扇形的面积为S＝lr＝α＝，解得α＝；∴弧长为l＝，扇形的周长为l+2r＝+2．故答案为：．9．【解答】解：函数的定义域是x＞0，f′（x）＝﹣1＝．令f′（x）＞0得0＜x＜1所以函数f（x）＝lnx﹣x的单调递增区间是（0，1）故答案为：（0，1）．10．【解答】解：∵﹣π＜θ＜﹣，∴﹣＜θ+＜﹣．∵cos（+θ）＝，∴sin（+θ）＝﹣．∵（+θ）+（﹣θ）＝，∴cos（﹣θ）＝cos[﹣（+θ）]＝sin（+θ）＝﹣．故答案为：．11．【解答】解：函数f（x）＝lgx+x﹣9是连续的单调增函数，f（5）＝lg5+＜0，f（6）＝lg6+9﹣9＞0，因为f（5）f（6）＜0，所以函数的零点在（5，6）之间，所以n＝5．故答案为：5．12．【解答】解：根据题意：定义在[﹣2，2]上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，则函数f（x）为奇函数，又由且，则函数f（x）在其定义域上为减函数，若f（1﹣t）+f（1﹣t2）＜0，则有f（1﹣t）＜f（t2﹣1），则有，解可得﹣1≤t＜1，即实数t的取值范围为[﹣1，1）；故答案为：[﹣1，1）13．【解答】解：由题意得：kx≤4x3+1在[﹣1，1]恒成立，x＝0时，显然成立，x∈（0，1]时，问题转化为k≤4x2+在（0，1]恒成立，令g（x）＝4x2+，x∈（0，1]，g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：x＜，故g（x）在（0，）递减，在（，1]递增，故g（x）min＝g（）＝3，故k≤3，x∈[﹣1，0）时，问题转化为k≥4x2+在[﹣1，0）恒成立，令h（x）＝4x2+，x∈[﹣1，0），g′（x）＝＜0，故g（x）在[﹣1，0）递减，故g（x）max＝g（﹣1）＝3，故k≥3，综上k＝3，故答案为：3．14．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣mx对任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x2）﹣f（x1）|≤9，∴f（x）max﹣f（x）min≤9，∵函数f（x）＝x2﹣mx的对称轴方程为：x＝，①若≤0，即m≤0时，函数f（x）＝x2﹣mx在区间[0，2]上单调递增，f（x）max＝f（2）＝4﹣2m，f（x）min＝f（0）＝0，依题意，4﹣2m≤9，解得：m≥﹣，即﹣≤m≤0；②若0＜≤1，即0＜m≤2时，同理可得，f（x）max＝f（2）＝4﹣2m，f（x）min＝f（）＝﹣，依题意，4﹣2m﹣（﹣）≤9，解得：﹣2≤m≤10，即0＜m≤2；③若1＜≤2即2＜m≤4时，同上得：f（x）max＝f（0）＝0，f（x）min＝f（）＝﹣，依题意，0﹣（﹣）≤9，解得：﹣6≤m≤6，即2＜m≤4；④若＞2即m＞4时，函数f（x）＝x2﹣mx在区间[0，2]上单调递减，f（x）max＝f（0）＝0，f（x）min＝f（2）＝4﹣2m，依题意，0﹣（4﹣2m）≤9，解得：m≤，即4＜m ≤；综合①②③④得：﹣≤m≤．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．【解答】解：（1）因为复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，所以m2+5m﹣6＝m2﹣2m﹣15，…（4分）解得m＝﹣．…（6分）（2）当实数m＝﹣1时，z＝（1﹣5﹣6）+（1+2﹣15）i＝﹣10﹣12i．…（10分）∴＝＝＝．16．【解答】解：（1）f（α）＝＝+＝sinα+cosα＝sin（α+）．（2）由，平方可得，即，∴sinα•cosα＝﹣，∵（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，又，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝﹣．17．【解答】解：（1）由图象得A＝2．最小正周期T＝.，所以f（x）＝2sin（2x+φ）．…（4分）由得，，又|φ|＜π得，所以，所求函数的解析式为．…（6分）由得．所以，函数f（x）的单调减区间为．…（8分）（2），，即f（x）的取值范围是[0，2]．…（14分）18．【解答】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0≤x＜80时，＝，当x≥80时，＝．即L（x）＝…（8分）（2）当0≤x＜80时，．，x＝±60．此时，当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950（万元）…（12分）当x≥80时，，…（14分）当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值1000（万元）．因为950＜1000，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．…（16分）19．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝log a（a＞0且a≠1）是奇函数，则有f（x）+f（﹣x）＝0，即log a+log a＝0，则有log a（）（）＝0，即（）（）＝1，解可得：m＝±1，当m＝1时，f（x）＝log a，没有意义，故m＝﹣1，（2）由（1）可得：m＝﹣1，即f（x）＝log a，设x1＞x2＞1，f（x1）﹣f（x2）＝log a﹣log a＝log a＝log a（），又由x1＞x2＞1，则0＜＜1，当a＞1时，f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）为减函数，当0＜a＜1时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）为增函数，（3）由（1）可得：m＝﹣1，即f（x）＝log a，其定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），当n＜a﹣2＜﹣1时，有0＜a＜1，此时函数f（x）为增函数，有，无解；当1＜n＜a﹣2时，有a﹣2＞1，即a＞3，此时函数f（x）为减函数，有，解可得a＝2+；故n＝1，a＝2+．20．【解答】解：（1）x＜0时，h（x）＝f（﹣x）+2x，h（x）是偶函数，故h（x）＝lnx﹣2x，（x＞0），h′（x）＝﹣2，故h′（1）＝﹣1，故切线方程是：y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0；（2）g（x）＝lnx﹣mx，（x＞0），g′（x）＝﹣m，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，函数无极值，m＞0时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：x＞，故g（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（x）的最大值是g（）＝﹣lnm﹣1；无极小值；（3）证明：设g（x）＝f（x）﹣x2﹣（k﹣1）x+k﹣，x∈（1，+∞），则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；①当k＝1时，由（2）知，当x＞1时，f（x）＜x﹣1，此时不存在x0＞1，不满足题意；②当k＞1时，x＞1，f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），此时不存在x0＞1，不满足题意；③当k＜1时，设h（x）＝f（x）﹣k（x﹣1），x＞1，则h′（x）＝，令h′（x）＝0，即﹣x2+（1﹣k）x+1＝0，得x1＝＜0，x2＝＞1，所以当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，x2）上单调递增，取x0＝x2，所以当x∈（1，x0）时，h（x）＞h（1）＝0，f（x）＞k（x﹣1），综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1）．。

2016-2017学年江苏省南京市溧水区高二（下）期末数学试卷一、填空题：（每题5分，共70分）1．（5分）设集合，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i是虚数单位）是实数，则a＝．3．（5分）“a＝0”是“函数f（x）＝x3+ax2（x∈R）为奇函数”的条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”中的一个）．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，输出的S值为．5．（5分）有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为．6．（5分）记函数f（x）＝定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是．7．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．8．（5分）若tan（α﹣）＝．则tanα＝．9．（5分）若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝．10．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有斛．11．（5分）各项为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a5a6a7＝10，则a9a10a11＝．12．（5分）已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+＝，且||＝，那么•＝．13．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，则x+2y的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f（），当x∈[1，4]时，f（x）＝lnx，若在区间x∈[，4]内，函数g（x）＝f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是．二、解答题：15．（14分）已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．17．（14分）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC ＝200m，斜边AB＝400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F．（1）若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设∠CEF＝θ，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且∠DEF＝，请将甲乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．18．（16分）已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线l：y＝2x+2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（1）求圆M的方程；（2）设A（t，0），B（t+5，0）（﹣4≤t≤﹣1），若AC，BC是圆M的切线，求△ABC面积的最小值．19．（16分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+a n3＝S n2，其中S n为数列{a n}的前n和．（1）求证：a n2＝2S n﹣a n；（2）求数列{a n}的通项公式（3）设b n＝3n+（﹣1）n﹣1λ•（λ为非零整数，n∈N*）试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b n+1＞b n成立．20．（16分）定义在区间[﹣2，t]（t＞﹣2）上的函数f（x）＝（x2﹣3x+3）e x（其中e为自然对数的底）．（1）当t＞1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（2）设m＝f（﹣2），n＝f（t），求证：m＜n；（3）设g（x）＝f（x）+（x﹣2）e x，当x＞1时，试判断方程g（x）＝x的根的个数．2016-2017学年江苏省南京市溧水区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题5分，共70分）1．【解答】解：集合，B＝{x|x≥1}，可得A∩B＝{3}．故答案为：{3}．2．【解答】解：复数z＝（a﹣i）（1+i）＝a+1+（a﹣1）i是实数，则a﹣1＝0，解得a＝1．故答案为：1．3．【解答】解：函数f（x）＝x3+ax2（x∈R）为奇函数⇔f（x）+f（﹣x）＝x3+ax2+（﹣x）3+a（﹣x）2＝0，化为ax2＝0对于∀x∈R都成立，∴a＝0．∴“a＝0”是“函数f（x）＝x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．故答案为：充要．4．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i≤2时退出循环．此时S＝3+6＝9，故输出的S值为9．故答案为：9．5．【解答】解：根据系统抽样原理，抽样间隔为l＝＝20，设第一组抽取数据为a0，则第5组抽取的产品编号为4×20+a0＝91，解得a0＝11；所以第2组抽取的产品编号为1×20+a0＝31．故答案为：31．6．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D＝[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P＝＝，故答案为：7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（2，0），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×2+0＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故答案为：4．8．【解答】解：∵tan（α﹣）＝＝＝∴6tanα﹣6＝tanα+1，解得tanα＝，故答案为：．9．【解答】解：由C1：x2+y2＝1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴5＝+1，解得：m＝9．故答案为：9．10．【解答】解：设圆柱的底面半径为r尺，则2πr＝6，∴r≈4，∴圆锥的体积V＝＝20立方尺，∴堆放的米约有＝12.5斛．故答案为12.5．11．【解答】解：各项为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a5a6a7＝10，设a9a10a11＝x，则由等比数列的性质可得5，10，x成等比数列，∴5x＝100，∴x＝20，故答案为：20．12．【解答】解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+＝，且||＝，所以EF∥CD，并且EF＝，所以BE＝，AC＝2，所以AD＝，•＝||||cos D＝＝＝3；故答案为：3．13．【解答】解：考察基本不等式x+2y＝8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x＝2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x＝2y时即x＝2，y＝1时取等号）则x+2y的最小值是4．故答案为：4．14．【解答】解：当x∈[，1]时，f（x）＝f（）＝ln，作出f（x）在[，4]上的函数图象如图所示：∵g（x）＝f（x）﹣ax在[，4]上又3个交点，∴f（x）与y＝ax有3个交点，若直线y＝ax经过点（4，ln4），则a＝＝，若直线y＝ax与y＝lnx相切，设切点为（x，y），则，解得，∴≤a＜．故答案为：．二、解答题：15．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．16．【解答】证明：（1）记A1B∩AB1＝O，连接OD．∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．…2分又∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．…6分注意：条件“A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．…8分∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C．或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．…10分∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．…12分又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD，B1D⊂平面AB1D，∴BM⊥平面AB1D．又∵BM⊂平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．…14分．17．【解答】解：（1）由题意，BD＝300，BE＝100，△ABC中，cos B＝，B＝，△BDE中，由余弦定理可得DE＝＝100m；（2）由题意，EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ．△CEF中，CE＝EF cos∠CEF＝2y cosθ△BDE中，由正弦定理可得＝，∴y＝＝，0，∴θ＝，y min＝50m．18．【解答】解：（1）设M（0，b）由题设知，M到直线l的距离是＝…（2分）所以＝，解得b＝1或b＝3…（4分）因为圆心M在直线l的下方，所以b＝1，即所求圆M的方程为x2+（y﹣1）2＝1…（6分）（2）当直线AC，BC的斜率都存在，即﹣4＜t＜﹣1时直线AC的斜率k AC＝tan2∠MAO＝＝，同理直线BC的斜率k BC＝…（8分）所以直线AC的方程为y＝（x﹣t），直线BC的方程为y＝（x﹣t﹣5）…（10分）解方程组得x＝，y＝…（12分）所以y＝＝2﹣因为﹣4≤t≤﹣1所以﹣≤t2+5t+1＜﹣3所以≤y＜．故当t＝﹣时，△ABC的面积取最小值×5×＝．…（14分）当直线AC，BC的斜率有一个不存在时，即t＝﹣4或t＝﹣1时，易求得△ABC的面积为．综上，当t＝﹣时，△ABC的面积的最小值为．…（16分）19．【解答】解：（1）证明：由已知得，当n＝1时，∴a1＞0，∴a1＝1当n≥2时，a13+a23+a33+…+a n3＝S n2，…①a13+a23+a33+…+a n﹣13＝S n﹣12，…②①﹣②得＝a n（s n+s n﹣1）∵a n＞0，∴又∵s n﹣1＝s n﹣a n，∴a n2＝2S n﹣a n；当n＝1时，a1＝1适合上式．综上，a n2＝2S n﹣a n（2）由（1）得a n2＝2S n﹣a n…③当n≥2时，a n﹣12＝2S n﹣1﹣a n﹣1…④③﹣④得＝2（s n﹣s n﹣1）﹣a n+a n﹣1＝a n+a n﹣1∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝1∴数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．∴a n＝n；（3）∵a n＝n，∴b n＝3n+（﹣1）n﹣1λ•＝3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n．要使b n+1＞b n成立．即﹣（﹣1）n﹣1λ•2n＝2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0成立．可得（﹣1）n﹣1λ恒成立．①当n为奇数时，，即②当n为偶数时，，∴．∴，且λ为非零整数，∴λ＝﹣1．20．【解答】解：（1）因为f′（x）＝（x2﹣3x+3）•e x+（2x﹣3）•e x＝x（x﹣1）•e x．当t＞1时，由f′（x）＞0，可得t＞x＞1或﹣2＜x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1，所以f（x）在（﹣2，0），（1，t）上递增，在（0，1）上递减．（2）证明：由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1所以f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x＝1处取得极小值f（1）＝e．又∵f（﹣2）＝13e﹣2＜e，所以f（x）仅在x＝﹣2处取得[﹣2，t]上的最小值f（﹣2）从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n．（3）设g（x）＝f（x）+（x﹣2）e x＝（x﹣1）2e x，当x＞1时判断方程g（x）＝x根的个数等价于（x﹣1）2e x＝x当x＞1时根的个数设h（x）＝（x﹣1）2e x﹣x（x＞1），则h′（x）＝（x2﹣1）e x﹣1，再设k（x）（x2﹣1）e x﹣1（x＞1），则k′（x）＝（x2+2x﹣1）e x，当x＞1时，k′（x）＞1，即k（x）在（1，+∞）单调递增∵k（1）＝﹣1＜0，k（2）＝3e2﹣1＞0∴在（1，2）上存在唯一x0，使k（x0）＝0，即存在唯一x0∈（1，2），使h′（x0）＝0函数h（x）在（1，x0）上，h′（x0）＜0，函数单调减，在（x0，+∞）上，h′（x0）＞0，函数单调增，∴h（x）min＝h（x0）＜h（1）＝﹣1＜0∵h（2）＝e2﹣2＞0y＝h（x）的大致图象如图，由此可得y＝h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，即g（x）＝x，x＞1时只有1个实根．。

2016-2017盐城市第一中学高二上期末数学（理）试题一、填空题 1．计算：11ii-+=____. 【答案】i - 【解析】()()()()1112i1112i i i i i i i ----===-++-， 故答案为： i -点睛：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 2．点()2,P t -在直线2360x y -+=的上方，则实数t 的取值范围是__________． 【答案】23t >【解析】因为点()2,P t -在直线2360x y -+=的上方， 所以43t 60--+<,即23t > 故答案为： 23t >3．命题“若1,x >则21x >”的否命题是______________. 【答案】若1,x ≤则21x ≤【解析】命题“若1,x >则21x >”的否命题是“若1,x ≤则21x ≤”故答案为：若1,x ≤则21x ≤4．抛物线26y x =的焦点坐标为___________ 【答案】3,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】抛物线26y x =的焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭故答案为： 3,02⎛⎫⎪⎝⎭5．曲线3244y x x =-+在点（1,1）处的切线方程为_________.【答案】560x y +-=【解析】因为y=x 3﹣4x 2+4，所以y′=3x 2﹣8x ，所以曲线y=x 3﹣4x 2+4点（1，1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3﹣8=﹣5． 此处的切线方程为：y ﹣1=﹣5（x ﹣1），即y=﹣5x +6． 故答案为： 560x y +-=6．命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为________． 【答案】01a <<【解析】因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”是假命题 所以0< ，即()224a 0a -<，解得： 01a << 故答案为： 01a <<7．已知关于x 的不等式240x x t -+<的解集为()1,m ，则实数m =___________． 【答案】3【解析】因为不等式240x x t -+<的解集为()1,m所以1，m 是240x x t -+=的两个实数根， 所以14m +=，即3m = 故答案为：38．已知“过圆222:C x y r +=上一点()00,M x y 的切线方程是200x x y y r +=”,类比上述结论，则过椭圆22221x y a b+=上一点()00,M x y 的切线方程为___________.【答案】00221x x y y a b+= 【解析】类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：用0x x 代x 2，用0y y 代y 2，即可得过椭圆22221x y a b+=上一点()00,M x y 的切线方程为00221x x y y a b +=．故答案为：00221x x y ya b+=. 9．已知条件:1p x ≤，条件2:0q x x -≤，则p 是q 的__________条件. （填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要） 【答案】必要不充分【解析】由20x x -≤，解得： 0x 1≤≤显然“1x ≤”不能推得：“0x 1≤≤”， 显然“0x 1≤≤”不能推得：“1x ≤”， 故p 是q 的必要不充分条件 故答案为：必要不充分10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线是340x y -=，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】54【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线是340x y -=所以34b a =,∴54c a ==故答案为：54点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．观察下列各式：(1) 2'()2x x =，(2) 4'3()4x x =，(3) '(cos )sin x x =-，……，根据以上事实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则()0g =____. 【答案】0【解析】由（x 2）'=2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； （x 4）'=4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（cosx ）'=﹣sinx 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； …我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x ）， 则函数f （x ）为偶函数，又∵g （x ）为f （x ）的导函数，则g （x ）奇函数 故g （﹣x ）+g （x ）=0，即g （﹣0）=﹣g （0），g （0）=0 故答案为：0．12．已知变量x ，y 满足条件230{330 10x y x y y +-≤+-≥-≤若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是___________． 【答案】12a >【解析】画出可行域如图所示，其中B （3，0），C （1，1），D （0，1），若目标函数z=ax +y 仅在点（3，0）取得最大值， 由图知，﹣a ＜﹣12解得a ＞12，故答案为a ＞12点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.13．已知定义在()0,+∞上函数()f x 满足()()'0f x xf x +>，且()20f =，则不等式()0xf x >的解集为________. 【答案】()2,+∞【解析】记()()g x x f x =，又定义在()0,+∞上函数()f x 满足()()'0f x xf x +> 所以()g x 在()0,+∞上单调递增，且()()g 22?20f == 所以()0xf x >，即()()g g 2x >,即x 2> 所以不等式()0xf x >的解集为()2,+∞ 故答案为： ()2,+∞14．若a 2－ab ＋b 2＝1，a ，b 是实数，则a ＋b 的最大值是__________. 【答案】2【解析】由题意,易知：a ＞0，b ＞0，a 2﹣ab +b 2=1=（a +b ）2﹣3ab ，∵ab ≤22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋，∴1≥（a +b ）2﹣322a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋，可得（a +b ）2≤4，∴a +b ≤2，当且仅当a=b=1时取到“=”． 故答案为：2．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误15．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2{,x cos y sin ααα==，为参数．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】（1）2214x y +=， 4x y +=（2）max d = 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）设点P （2cosα，sinα），求得点P 到直线l 距离d =，可得d的最大值． 试题解析：(1)曲线C ： 2214x y +=， πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 4ρθρθ+=， 则直线l 的直角坐标方程为4x y +=．(2)设点P 的坐标为()2cos sin αα，，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos ϕϕ==当()sin -1αϕ+=时， max 2d =． 16．观察以下3个等式：1113211=⨯⨯+, 1121335221+=⨯⨯⨯+， 1113133557231++=⨯⨯⨯⨯+，（1）照以上式子规律，猜想第n 个等式（n ∈N ）；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立（n ∈N ）． 【答案】（1）第n 个式子21nn +（2）见解析 【解析】试题分析：（1）由前三项归纳猜想第n 个等式（n ∈N ）；（2）利用数学归纳法证明等式.(1)对任意的n ∈N ，113⨯＋135⨯＋…＋()()12121n n -+＝.证明①当n ＝1时，左边＝＝，右边＝，左边＝右边，所以等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N 且k ≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n ＝k ＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N 等式都成立． 点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.17．在正方体1111ABCD A BC D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO . （1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若λ=2，求证：平面CDE ⊥平面CD 1O .【答案】（12见解析. 【解析】试题分析：（1）求出异面直线DE 与CD 1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）（2）求出两个平面的法向量，要证两个平面垂直，只需证它们的法向量的内积为0． 试题解析：解:(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)， 11022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ()010C ，，，D 1(0，0，1)，E 111442⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，于是111442DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，， ()1011CD =- ，，.由cos 1DE CD 〈〉 ，＝11||DE CD DE CD ⋅⋅所以异面直线AE 与CD 1（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD＝0 得 1111110{ 220x y y z -=-+=，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . 由D 1E ＝λEO ，则E ()()121211λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭，，， DE =()()121211λλλλλ⎛⎫⎪ ⎪+++⎝⎭，，. 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE＝0. 得 ()()22220{ 021211y x y z λλλλλ=++=+++，，取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2. 18．如图，在半径为3m 的14圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点B 在圆弧上，点,A C 在两半径上，现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB xm =，圆柱的体积为3Vm .（1）写出体积V 关于x 的函数关系式，并指出定义域；（2）当x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V 最大？最大体积是多少？（圆柱体积公式： V sh =， s 为圆柱的底面积， h 为圆柱的高）【答案】（1）394x x V π-=，其中03x <<.（2）当xm 时，做出的圆柱形罐子3m . 【解析】试题分析：（1）连接OB ，在Rt △OAB 中，由AB=x ，利用勾股定理可得OA =，设圆柱底面半径为r ，则O A =，即可得出r ．利用V=πr 2•x（其中0＜x ＜30）即可得出．（2）利用导数V′，得出其单调性，即可得出结论． 试题解析：⑴连结OB ，因为A B x =，所以OA =，设圆柱底面半径为r ，则2r π=，即22249r x π=-，所以23229944x x x V r x x ππππ--==⋅⋅=，其中03x <<.⑵由29304x V π'-==及03x <<，得x =所以当x = V .答：当x m 3m .19．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右准线l 的方程为x =（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点()1,0B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M . ①若()4,2M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.【答案】（1）点P 的坐标为1012,1313⎛⎫⎪⎝⎭， Q 的坐标为64,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）①求得直线MA 1的方程和以MA 2的方程，代入椭圆方程，求得交点P ，Q 的坐标；②设点M （x 0，y 0），求得直线MA 1的方程和以MA 2的方程，代入椭圆方程，求得交点P ，Q 的坐标，结合P ，Q ，B 三点共线，所以k PB =k QB ，化简整理，可得040x -=或220014x y +=．分别考虑，即可得到点M 始终在一条定直线x=4上． 试题解析：⑴由2222{2 a c c a b c ===+得2,{ 1.a b == 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵①因为()12,0A -， ()22,0A ， ()4,2M ，所以1MA的方程为()123y x =+，代入2244x y +=，()22144203x x ⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦，即()()()422209x x x ⎡⎤+-++=⎢⎥⎣⎦，因为12A x =-，所以1013P x =，则1213P y =，所以点P 的坐标为1012,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 同理可得点Q 的坐标为64,55⎛⎫-⎪⎝⎭． ②设点()00,M x y ，由题意， 02x ≠±．因为()12,0A -， ()22,0A ， 所以直线1MA的方程为()0022y y x x =++，代入2244x y +=，得()220044202y x x x ⎡⎤-++=⎢⎥+⎣⎦，即()()()()2020422202y x x x x ⎡⎤+-++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，因为12A x =-，所以()()()()202200222000082242242412P y x x x yx yx -++==-++++，则()()0022004224P x y y x y +=++，故点P 的坐标为()()()()20002222000042422,2424x x y x y x y ⎛⎫++ ⎪- ⎪++++⎝⎭． 同理可得点Q 的坐标为()()()()20002222000042422,2424x x y x y x y ⎛⎫---- ⎪+ ⎪-+-+⎝⎭． 因为P ， Q ， B 三点共线，所以PB QB k k =，11Q PP Q y y x x =--． 所以()()()()()()()()000022220000220022000042422424424221212424x yx yx y x y x x x y x y +--++-+=+----+-++-+，即()()()()00002222000022212324x yx yx y x y +--=+---+，由题意， 00y ≠，所以()()002222000022212324x x x y x y +-=+---．即()()()()()()2222000000003224222122x x x y x x x y +--+=-+--．所以()220004104x x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则040x -=或220014x y +=．若220014x y +=，则点M 在椭圆上， P ， Q ， M 为同一点，不合题意．故04x =，即点M 始终在定直线4x =上.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 20．已知函数()()()()()21,ln xf x x e kxk R g x a x a R =--∈=∈.（1）当1a =时，求()y xg x =的单调区间；（2）若对[]1,x e ∀∈，都有()()22g x x a x ≥-++成立，求a 的取值范围；（3）当3,14k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，求()f x 在[]0,k 上的最大值.【答案】（1）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）a 1≤- (3) ()()3max 1k f x k e k ⎡⎤=--⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）将a=1代入求出函数的表达式，通过求导令导函数大于0，从而求出函数的单调递增区间；（2）问题转化为22ln x x a x x-≤-对1≤x ≤e 恒成立．记h （x ）=22ln x x x x--，通过求导得到h （x ）的单调性，从而求出a 的范围；（3）先求出函数的导数，通过讨论当0＜x ＜ln2k 时，当ln2k ＜x ＜k 时的情况，从而得到函数f （x ）的最大值．试题解析：⑴1a =时， ln y x x =， ln 1y x '=+，令0y '>，得ln 1x >- ，解得1x e >． 所以函数ln y x x =的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．⑵由题意 ()2ln 2a x x a x ≥-++对1x e ≤≤恒成立，因为1x e ≤≤时， ln 0x x ->， 所以22ln x x a x x -≤-对1x e ≤≤恒成立．记()22ln x x h x x x-=-，因为()()()()2121l n 0ln x x x h x x x ⎡⎤-+-⎣⎦-'=≥对1x e ≤≤恒成立，当且仅当1x =时()0h x '=，所以()h x 在[]1,e 上是增函数，所以()()min 11h x h ⎡⎤==-⎣⎦，因此1a ≤-．⑶ 因为()()()122x x x f x e x e kx x e k '=+--=-，由()0f x '=，得l n 2x k =或0x =（舍）．可证ln 1x x ≤-对任意0x >恒成立，所以ln221k k ≤-，因为1k ≤，所以21k k -≤，由于等号不能同时成立，所以ln2k k <，于是0ln2k k <<．当0ln2x k <<时， ()0f x '<， ()f x 在()0,ln2k 上是单调减函数；当()ln 2k x k <<时， ()0f x '>， ()f x 在()ln2,k k 上是单调增函数．所以()()(){}(){}3max max 0,max 1,1k f x f f k k e k ⎡⎤==---⎣⎦， 记()()311x p x x e x =--+， 01x ≤≤，以下证明当01x ≤≤时， ()0p x ≥．()()233x x p x xe x x e x '=-=-，记()3x r x ex =-，()30x r x e ='-<对01x <<恒成立，所以()r x 在[]0,1上单调减函数， ()010r =>， ()120r =-<，所以()00,1x ∃∈，使0030x e x -=，当00x x <<时， ()0p x '>， ()p x 在()00,x 上是单调增函数；当01x x <<时， ()0p x '<， ()p x 在()0,1x 上是单调减函数．又()()010p p ==，所以()0p x ≥对01x <≤恒成立，即()311x x e x --≥-对01x <≤恒成立，所以()()3max 1k f x k e k ⎡⎤=--⎣⎦．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.。