初中数学
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1 三角形 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。 三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
目录 三角形的定义 三角形分类 三角形的性质 三角形的全等 三角形的五心、四圆、三点、一线 三角形为什么具有稳定性 三角形的边角之间的关系 特殊三角形 三角形的定义 三角形分类 三角形的性质 三角形的全等 三角形的五心、四圆、三点、一线 三角形为什么具有稳定性 三角形的边角之间的关系 特殊三角形
三角形的面积公式 三角形重要定理 生活中的三角形物品 三角形中的线段 三角形相关定理 三角函数 三角形的稳定性
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三角形的定义 在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为180°（一定是180°,这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。
三角形的内角和 在欧几里德的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。（注：在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180度也有可能小于180，此时的三角形也从平面也变为了球面或者伪球面） 证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》 如何证明三角形的内角和等于180° 方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180° 方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180° 例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° 证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E ∵AB∥CE（已知） ∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等) ∵∠BCD=180° ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质） ∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换） 3
三角形分类 (1)按角度分 a.锐角三角形：三个角都小于90度 。（三个角都为锐角，等边三角形也是锐角三角形。） b.直角三角形（简称Rt△）： ①直角三角形两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.； ④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和③相反）； c.钝角三角形：有一个角大于90度。 d.证明全等时可用HL方法 *（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形） （2）按边分 不等边三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 等边三角形 勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。 常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等. 其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如：3,4,5；5,12,13；8,15,17等等
解斜三角形： 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 4
（3）余弦定理变形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
斜三角形的解法：
已知条件 定理应用 一般解法 一边和两角 （如a、B、C） 正弦定理 由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时 有一解。
两边和夹角 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。
两边和其中一边的对角 (如a、b、A) 正弦定理 由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正 弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。
三角形的性质 1.三角形的两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。 6.一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。 7.三角形的三条角平分线交与一点，三条高线交与一点，三条中线交于一点。 10.直角等腰三角形底角的角平分线交对边的点为这条边的中点。 9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a^2+b^2=c^2。 那么这个三角形就一定是直角三角形。 10.三角形的外角和是360°。 5
11.等底等高的三角形面积相等。 12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。 13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。 14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。 15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 16.全等三角形对应边相等，对应角相等。 17.三角形的重心在三条中线的交点上。 18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。 （包括等边三角形） 19 △ABC，恒有【tan（A/2）+tan（B/2）】【tan（A/2）+tan（C/2）】=【sec（A/2）】^2。 20 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。 21 三角形的外心指三角形三条边的垂直平分线的相交点。 22 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 23.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
三角形的全等 定义 两个完全重合的三角形称为全等三角形。 变化的方式 1.轴对称。2.平移。3.旋转。4.翻折。5.多种变换叠加。 条件 1.两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS"。 2.两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS”。 3.两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA”。 4.两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS”。 6
5.两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边相等，两个直角三角形全等，简称“直角边、斜边”或“HL”。 注意，证明三角形全等没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”证明等同“SSA”。
三角形的五心、四圆、三点、一线 五心的坐标
三角形的五心四圆三点一线 这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心（barycenter）、垂心、内心(incenter)、外心(circumcenter)和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。 以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系数K(a) = -a^2+b^2+c^2，K(b)、K(c)类推。三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：记某点面积坐标为(μa, μb, μc)，三分量之和为μ，则有Px = (μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc) / μ，Py类推。
名称 定义 三线坐标 （内心坐标） 面积坐标 （重心坐标）
重心 三条中线（顶点到对边中点连线）的交点 1/a : 1/b : 1/c 1 : 1 : 1
垂心 三条高（顶点到对边的垂线）的交点 sec A : sec B : sec C 1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或 tan(A) : tan(B) : tan(C)
内心 三条内角平分线的交点 1 : 1 : 1 a : b : c
