-柯西积分公式

C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
dz ( 2 )
dz
2i |z|4 z
|z|4 ( z 1 )( z 3 )
解 : (1 ) f ( z ) cos z 在 | z | 4 内解析
解:
z
i
为
ez (z2
1)2
的奇点
i
以 z i 和 i 分别为圆心作两个互不相交互不包含的圆周
C1、C2
则
ez (z 2 1)2
在C
C1
C2
所围区域解析
C
ez (z 2 1)2
dz
C1
ez (z 2 1)2
dz
ez C2 (z 2 1)2 dz
ez
ez
C1
(z i)2 (z i)2
通过求导数来求积分, 即
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
2i
n!
f (n)(z0 )
例 求下列积分值:
(1)
C
sin z (z i)3
dz,
C 为任一包含 i
的简单正向闭曲线
解 : sinz 在 C 所包含区域解析
C
sin z (z i)3
dz
(sin z)(2)
zi
2i
(3 1)!
i
( sinz)
zi
(e e 1 )
2
i sini
cos z
(2) C (z 1)5 dz,
C : | z | r 1
解 : cos z 解析
cos z dz 2i (cos z)(4) 5i
C (z 1)5
4!
zFra Baidu bibliotek1
12
Ñ (3)
C
ez (z2 1)2
dz,
C :| z | r 1
i
(4) 利用柯西积分公式:
C
f (z) z z0
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在
C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
f
(n)(z0 )
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
( 2 ) 上述公式也可看作是柯西积分公式两边在z0 点求导
数, 右边求导在 下进行;
( 3 ) 上述公式不在于通过积分来求导数, 而在于通过
1 cos z
1 cos z
2i |z|4
z
dz
2i
|z|4 z 0 dz cos z z0 1
(2) 3z 1 1 2 (z 1)( z 3) z 1 z 3
3z 1
1
2
dz
dz
dz
|z|4 (z 1)( z 3)
|z|4 z 1
|z|4 z 3
由于 z 1, z 3 包含在 | z | 4 内
公式, 有
g(z0 )
2i
2!
f (z0 )
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
本章小结
n
1. 复积分的概念:
C
f (z)dz
lim n k 1
f (k )zk
2. 变上限积分:
若 f (z) 解析(z D), 则 F(z)
z
f (z)dz
z0
F(z) f (z)
(z0、z D, z0 固定)
3. 积分方法 :
(1) C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
(2) C f (z)dz f (z(t))z(t)dt, C : z z(t), t
(3) f (z) 解析, z D, f (z)dz F ( ) F ( ), F (z) 是 f (z) 的一个原函数, 、 D
所以,由柯西积分公式得到: 上式 2i 1 2i 2 6i
1
34
解法二 : f ( z ) 3z 1 在 C 内有两个奇点 z 1,3 ( z 1 )( z 3 )
以 z 1, z 3 作两个互不相交的圆C1、C2 {| z | 4 }
由复合闭路定理, 得到
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C z
求 f (1 i )
解 :由柯西积分公式知,当 z 在 C 内时,
f (z) 2i(3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1） z
f (z) 2i(6z 7)
而 z 1i 在C内 所以 f (1 i) 2 (6 13i)
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且
dz
C2
(z i)2 (z i)2
dz
2i e z
'
2i
ez
'
(2
1)!
(
z
i
)
2
zi
(2
1)!
(
z
i
)
2
zi
(1 i)ei (1 i)ei
2
2
[(ei ei ) i(ei ei )]
2
[2i sin1 2i cos1] i[sin1 cos1]