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数值分析常微分方程的数值解法

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《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导 14 常微分方程的数值解法 一、重点内容 1. 欧拉公式：

),...,,,(),()(nkkhxx

yxhfyyxy

kkkkkk

局部截断误差是O(h2)。 2. 改进欧拉公式： 预报－校正公式：





)],(),([2),(1111kkkkkkkkkkyxfyxfhyyyxhfyy校正值预报值

即 ))],(,(),([211kkkkkkkkyxhfyxfyxfhyy 或表成平均的形式：





)(),(),(cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy

改进欧拉法的局部截断误差是O(h3) 3. 龙格－库塔法 二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h3) 三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h4)

四阶龙格库塔法公式： )22(643211hyykk

其中 1=f(xk,yk)；2=f(xn+12h，yk+h1)；3=f(xk+12h，yn+h2)；4=f(xk+h，yk+h3) 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h5)。

二、实例 例1 用欧拉法解初值问题)().(yxxyyy，取步长h=0.2。计算过程保留4位小数。 解h=0.2, f(x)=－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式

),,)((.),(kyxyyhxhyyyxhfyy

kkkkkkkkkkk

当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有 y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8000 当k＝1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有 y(0.4)y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有 y(0.6)y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)＝0.8000

例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题)(sinyxyyy，取步长h=0.2,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。 解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=－y－y2sinx 欧拉预报－校正公式为：





)],(),([2),(1111kkkkkkkkkkyxfyxfhyyyxhfyy校正值预报值

有迭代格式：





)sin(1.0)sin1.09.0()]sin()sin[(2)sin2.08.0()sin(121112112121kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxyyxyyxyyxyyhyyxyyxyyhyy校正值预报值

当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有 .)sin.()sin..(xyyy .).sin..(.)sin..().(yy 当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2=1.4，有

.).sin..(.)sin..(xyyy

).sin..(.).sin...(.).(yy =0.52608 例3 写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题)(yyy的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。计算过程保留4位小数。 解 此处f(x,y)=8－3y, 四阶龙格－库塔法公式为

)22(643211hyykk

其中 1=f(xk,yk)；2=f(xn+12h，yk+h1)；3=f(xk+12h，yn+h2)；4=f(xk+h，yk+h3) 本例计算公式为： )(.kkyy

其中 1=8－3 yk；2=5.6－2.1 yk；3=6.32－2.37yk; 4=4.208＋1.578yk )1,...,2,1,0(5494.02016.1))578.1208.4()37.232.6(2)1.26.5(238(62.01nkyyyyyyykkkkkkk

当x0=0,y0==2, ......).(.....).(yyyyyy

例4 设初值问题)(,yyy，证明用梯形公式求解该问题的近似解为 nnhhy



证明 解初值问题的梯形公式为 )],(),([2111kkkkkkyxfyxfhyy(k=0,1,2,…,n－1)

yyxf),( ][211kkkkyyhyy 整理成显式 kkyhhy221( k=0,1,2,…,n－1) 用k=n,n－1,n－2,…,1,0反复代入上式，得到 012312122...222222yhhyhhyhhyhhynnnnn



nnhhyy

例5 选择填空题： 1. 取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题)(yyxyy的计算公式是

答案：1,1,...,2,1,0],)1.01(1.01.1[021ynkkyykk 解答：欧拉法的公式 ),...,,,(),()(nkkhxx

yxhfyyxy

kkkkkk

此处yxyyxf),(，迭代公式为 ykkyykyyykkkkk,...,,,),).(..()).((. 2. 改进欧拉法的平均形式公式是( )

(A))(),(),(cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy (B))(),(),(cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy (C))(),(),(cpkpkkckkkpyyhyyxhfyyyxhfyy (D))(),(),(cpkpkkckkkpyyyyxhfyyyxhfyy 答案：(D) 解答：见改进欧拉法平均形式公式。 三、练习题

1.求解初值问题yxyyxfy)(),(欧拉法的局部截断误差是( ); 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ) (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5) 2. 改进欧拉预报－校正公式是





][hyyyykkkk校正值预报值

改进欧拉法平均形式公式为yp= , yc= ，yk+1= 试说明它们是同一个公式。 3. 设四阶龙格－库塔法公式为

)22(643211hyykk

其中 1=f(xk,yk)；2=f(xn+12h，yk+h1)；3=f(xk+12h，yn+h2)；4=f(xk+h，yk+h3)

取步长h=0.3，用四阶龙格－库塔法求解初值问题)(yyy的计算公式是 。 4.取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题)()(yxxyy

5. 试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题)(yyy的计算公式，并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过10－5。 6. 对于初值问题)(yxyy试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)的近似值。 7. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题)(yxyy在x=0.2,0.4,0.6处的近似值。 8. 证明求解初值问题的梯形公式是 yk+1=yk+)],(),([211kkkkyxfyxfh, h=xk+1－xk (k=0,1,2,…,n－1)， 四、练习题答案 1. (A), (B), (D)

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常微分方程的数值解

常微分方程的数值解


f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
（其中 L 为 Lipschitz 常数）则初值问题（ 1 ）存 在唯一的连续解。
求问题（1）的数值解，就是要寻找解函数在一 系列离散节点x1 < x2 <……< xn < xn+1 上的近似 值y1, y 2,…,yn 。 为了计算方便，可取 xn=x0+nh，(n=0,1,2,…)， h称为步长。
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：
f1 ( x, y1 , y2 ) y1 ( x0 ) y10 y1 (4) f 2 ( x, y1 , y2 ) y2 ( x0 ) y20 y2
本章主要研究问题(1)的数值解法，对(2)~(4)只 作简单介绍。
得 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 )
上式称后退的Euler方法，又称隐式Euler方法。 可用迭代法求解
二、梯形方法 由
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f ( x, y( x))dx
利用梯形求积公式： x h x f ( x, y( x))dx 2 f ( xn , y( xn )) f ( xn1 , y( xn1 ))
常微分方程的数言 简单的数值方法 Runge-Kutta方法 一阶常微分方程组和高阶方程
引言
在高等数学中我们见过以下常微分方程：
y f ( x, y, y) a x b y f ( x, y ) a x b (2) (1) (1) y ( x ) y , y ( x ) y 0 0 0 0 y ( x0 ) y0 y f ( x, y, y) a x b (3) y(a) y0 , y(b) yn
第五章：常微分方程数值解法第一节欧拉法

第五章：常微分方程数值解法第一节欧拉法

eulersmethod11hyhfxyhfxy后退尤拉法梯形法eulersmethoddxdyanotherpointview对右端积分采用左矩形右矩形梯形积分公式即可得尤拉显式隐式梯形公式eulersmethod中点欧拉公式midpointformula假设则可以导出即中点公式也具有2来启动递推过程这样的算法称为双步法doublestepmethod而前面的三种算法都是单步法singlestepmethodeulersmethod几何解释后退尤拉法中点法dxdyanotherpointview对右端积分采用中矩形公式即得中点公式eulersmethod公式局部截断误差单步梯形公单步中点法分别用显式euler方法梯形方法和预估校正euler方法解初值问题dxdy1052119分别用显式euler方法梯形方法和预估校正euler方法解初值问题dxdy1052119euler方法梯形方法预估校正方法0010000000010000000010000000001100000048103100476275105100500016104021010000871031018594141041019025291040310290001210210406331910410412184010404105610014102107009622104107080048104051090490161021106278251041107076551040611314411710211485372710411494045910407117829718102119629529104119721062104081230467191021249019301041249975651040912874201910213062643110413072286610410134867819102136757331104136851466104数值例子表明梯形方法和预估校正euler方法比显式euler方法有更好的精度
常微分方程的数值解算法

常微分方程的数值解算法

常微分方程的数值解算法常微分方程的数值解算法是一种对常微分方程进行数值计算的方法，这可以帮助我们更好地理解和研究自然现象和工程问题。

在本文中，我们将介绍一些常用的数值解算法，探讨它们的优缺点和适用范围。

常微分方程（ODE）是描述自然现象和工程问题的重要数学工具。

然而，对于许多ODE解析解是无法求出的，因此我们需要通过数值方法对其进行求解。

常微分方程可以写作：y' = f(t, y)其中，y是函数，f是给定的函数，表示y随t的变化率。

这个方程可以写成初始值问题（IVP）的形式：y'(t) = f(t,y(t))，y(t0) = y0其中，y（t0）=y0是方程的初始条件。

解决IVP问题的典型方法是数值方法。

欧拉方法欧拉方法是最简单的一阶数值方法。

在欧拉方法中，我们从初始条件开始，并在t = t0到t = tn的时间内，用以下公式逐步递推求解：y n+1 = y n + hf (t n, y n)其中，f（t n，y n）是点（t n，y n）处的导数， h = tn - tn-1是时间间隔。

欧拉方法的优点是简单易懂，容易实现。

然而，它的缺点是在整个时间段上的精度不一致。

程度取决于使用的时间间隔。

改进的欧拉方法如果我们使用欧拉方法中每个时间段的中间点而不是起始点来估计下一个时间点，精度就会有所提高。

这个方法叫做改进的欧拉方法（或Heun方法）。

公式为：y n+1 = y n + h½[f(t n, y n)+f(tn+1, yn + h f (tn, yn))]这是一个二阶方法，精度比欧拉方法高，但计算量也大一些。

对于易受噪声干扰的问题，改进的欧拉方法是个很好的选择。

Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是ODE计算的最常用的二阶和高阶数值方法之一。

这个方法对定义域内的每个点都计算一个导数。

显式四阶Runge-Kutta方法（RK4）是最常用的Runge-Kutta方法之一，并已得到大量实践的验证。

常微分方程数值解法

常微分方程数值解法

n

h
2
所以,只要令
2
f
xn
f n f yn O ( h )
3
1+2=1, 2=1/2, 2=1/2
(7.4)
若取=1,则得1=2=1/2,=1,此时公式(8.3)就是改进的 Euler公式; 若取1=0,则得2=1,==1/2,公式(8.3)为
y n 1 y n hK 2 K 1 f (xn , yn ) K f ( x 1 h, y 2 n n 2
……
……
f ( x n P h, y n h
i 1
p 1
pi
Ki)
其中i,i,ij为待定参数. 若此公式的局部截断误差为
O(h3),称此公式为p阶Runge-kutta方法,简称p阶R-K方法.
对于p=2的情形, 应有
K 1 f (xn , yn ) K f ( x h , y hK ) n n 1 2
显式表示出来,称这类差分公式为显式公式,而梯形公式中,
需要更多的计算量,但其计算稳定性较好.
§2 改进的Euler方法和Taylor展开方法
§2.1 改进的Euler方法 从数值积分的角度来看,梯形公式
y0
y n 1 y n h 2 , n 0 ,1, 2 , N 1 [ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n 1 )]
2
1
分别取步长h=0.2 ,0.1 ,0.05,计算结果如下
h
h=0.2
h=0.1
h=0.05
xn 0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00 0.00 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00