2021届高考数学一轮复习资料

2021年高考数学理一轮复习精品资料专题2.10 函数的综合问题与实2021年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第二章函数与基本初等函数I 第10节函数的综合问题与实际应用一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.在一次数学测验中，采集到如下一组数据（） A.y?ax?b 则下列函数与x、y的函数关系最接近的是（其中a、b是待定系数）B.y?a?bxC. y?ax2?bD. y?a?x ?2 0.24 ?1 0.51 0 1 1 2.02 2 3.98 3 8.02 yb x2.某厂日生产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y?5x?4000，而手套出厂价格每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（）A. 800副B. 600副C. 400副D. 200副3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( ) A.36万件【答案】B【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142, 当x=18时，L(x)有最大值.4.将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时能全部卖出. 已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少20个. 为了获得最大利润，售价应定为每个（）元.A．5 B. 90 C. 95 D. 96 【答案】CB.18万件C.22万件D.9万件1【解析】设售价为90?x 元.所以利润为(10?x)(400?20x)??20(x?10)(x?20)??20(x?5)2?4500，所以当x?5 时，即售价为95 元时，利润最大. 选C.5.某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得（）元.A．400 B．500 C．600 D．8256.某债券市场发行三种债券， A种面值为 100 元，一年到期本息和为 103 元；B种面值为 50 元，半年到期本息和为 51.4 元；C种面值为 100 元，但买入价为 97 元，一年到期本息和为 100 元. 作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )A． B，A，C B． A，C ，B C． A，B，C D． C，A，B，【答案】B 【解析】∵7.【2012年湖北三校联考】某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30?10351.4100?1?0.03，(?1)?2?0.056，?1?0.031，∴A?C?B，选B. 10050975R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( ) 2A．[4,8] B．] [6,10] C．[4％，8％] D．[6％，100％] 【答案】A【解析】根据题意得，要使附加税不少于128万元，需(30?2整理得R?12R?32?0，解得4?R?8，即R?[4,8]．5R)?160?R%?128， 28.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）天.2A. 10B. 15C. 19D. 20 【答案】C【解析】依题意，荷叶覆盖上水面面积y与生长时间x的函数关系为y?2，当x?20天时，荷叶长满水面，所以生长了19天时，荷叶已布满水面一半，选C.9.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0,2万公顷、0.4万公顷和x0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较接近的函数是（） 2x12(x?2x) B. y?A. y? C. y?0.2?log16x D. y?0.2x 1010【答案】B【解析】当x?1时，y?12(1?2?1)?0.3，否定A；当x?2时，y?0.2?log162?0.2?0.25?0.45，10否定C；当x?3时，y?0.2?3?0.6,否定D,故选B.10.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是( ) A. x?60t B．x???60t,0?t?2.5150?5t,t?3.5??60t,(0?t?2.5)?C． x?60t?50 D．x??150,(2.5?t?3.5)?150?50(t03.5),(3.5?t?6.5)?.二、填空题（本大题共3小题。

第五章 三角函数、解三角形 第21课 任意角、弧度制及任意角的三角函数[最新考纲]内容要求 AB C 三角函数的概念√1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边一样的角：所有与角α终边一样的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①角度与弧度的换算： a.1°＝π180 rad ；b.1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.②弧长公式：l ＝r |α|.③扇形面积公式：S ＝12lr ＝12r 2α.3.任意角的三角函数 三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin αx 叫作α的余弦，记作cos αyx 叫作α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ －－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线1.(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)角α的三角函数值与终边上点P 的位置无关．( ) (4)假设α为第一象限角，那么sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(教材改编)角α的终边与单位圆的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，那么sin α＝________.±32 [由题意知|r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，所以y ＝±32.由三角函数定义知sin α＝y＝±32.]3.假设cos θ＞0，且sin 2θ＜0，那么角θ的终边在第________象限． 四 [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，那么角θ的终边在第四象限．]4.在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________．109π [单位圆的半径r ＝1,200°的弧度数是200×π180＝109π，由弧度数的定义得109π＝l r ，所以l ＝109π.]120 mm 的圆上，有一条弧长是144 mm ，那么该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.1.2 [由题意知α＝l r ＝144120＝1.2 rad.]角的有关概念及其集合表示(1)假设角α是第二象限角，那么α2是第________象限角.【导学号：62172118】(2)角α的终边在如图21-1所示阴影局部表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为________．图21-1(1)一或三 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) [(1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角； 当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．(2)在[0,2π)内，终边落在阴影局部角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．][规律方法]α终边一样的角可以表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )的形式，α是任意角；相等的角终边一定一样，终边一样的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．2．由α所在象限，判定α2所在象限，应先确定α2的范围，并对整数k 的奇、偶情况进展讨论．[变式训练1] 角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有一样终边的角β＝________.－675°或－315° [由终边一样的角的关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.]扇形的弧长、面积公式(1)扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 【导学号：62172119】[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，那么2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[规律方法] 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．2．利用公式：(1)l＝αR；(2)S＝12lR；(3)S＝12αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量．[变式训练2]假设扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，那么弧长l＝________cm.833π[设扇形的半径为r cm，如图．由sin 60°＝6r，得r＝4 3 cm，∴l＝|α|·r＝2π3×43＝833π cm.]三角函数的定义(1)假设tan α＞0，那么以下说法正确的选项是________．(填序号)①sin α＞0；②cos α＞0；③sin 2α＞0；④cos 2α＞0.(2)角α的终边经过点A(－3，a)，假设点A在抛物线y＝－14x2的准线上，那么sin α＝________.(1)③(2)1 2[(1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcos α＞0；当α是第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcos α＞0，故③正确．(2)抛物线方程y＝－14x2可化为x2＝－4y，∴抛物线的准线方程为y＝1.∵点A在抛物线y＝－14x2的准线上，∴A(－3，1)，由三角函数的定义得sin α＝yr＝1(－3)2＋12＝12.][规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况．(1)角α终边上一点P 的坐标，那么可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)角α的终边所在的直线方程，那么可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进展判断． [变式训练3] (1)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，那么tan 2α＝________.(2)函数y ＝2cos x －1的定义域为________．(1)247 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) [(1)由三角函数的定义可得cos α＝xx 2＋42. ∵cos α＝15x ，∴x x 2＋42＝15x ， 又α是第二象限角，∴x ＜0，故可解得x ＝－3， ∴cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45， ∴tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.(2)∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．][思想与方法]1．在利用三角函数定义时，点P (x ，y )可取终边上任意一点，假设点P 在单位圆上，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ；假设|OP |＝r ，那么sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x .2．三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法． [易错与防范]1．第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进展互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．3．三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．课时分层训练(二十一)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．给出以下四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确的命题是________．(填序号)②③④ [－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]2．2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________． 2sin 1 [由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.]3．点P (cos α，tan α)在第三象限，那么角α的终边在第________象限． 二 [由题意可得⎩⎨⎧ cos α＜0，tan α＜0，那么⎩⎨⎧sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．]4．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，那么θ的值为________.【导学号：62172120】11π6 [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，那么θ＝116π.]5．角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，那么cos 2θ＝________.－35 [取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.]6．扇形的圆心角为π6，面积为π3，那么扇形的弧长等于________． π3 [设扇形半径为r ，弧长为l ，那么⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.]7．(2021·无锡期中)角α的终边经过点P (10，m )，且tan α ＝－45，那么m的值为________．－8 [由题意可知tan α＝m 10＝－45，∴m ＝－8.]8．(2021·盐城期中)假设sin α2＝－12，α∈[2π，3π]，那么α＝________. 7π3 [∵α∈[2π，3π]，∴α2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2. 由sin α2＝－12，可知α2＝7π6，即α＝7π3.]9．假设角α的终边在直线y ＝－34x 上，那么2sin α＋cos a ＝________.【导学号：62172121】±25[设P (4a ，－3a )(a ≠0)是角α终边上任意一点， 那么OP ＝r ＝(4a )2＋(－3a )2＝5|a |. 当a >0时，r ＝5a ， 此时sin α＝－35，cos α＝45， 那么2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. 当a <0时，r ＝－5a ， 此时，sin α＝35，cos α＝－45， 所以2sin α＋cos α＝65－45＝25.]10．角α＝2k π－π5(k ∈Z )，假设角θ与角α的终边一样，那么y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．－1 [由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边一样的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边一样，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.] 二、解答题11．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，那么∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.12．角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. [解] ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x ， 又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， ∴sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， ∴sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2. B 组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [如下图，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.] 2．圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，那么tan α＝________.1 [设∠MON 为β，由弧长公式可知π2＝2β，∴β＝π4，∴α＝π2－π4＝π4，∴tan α＝tan π4＝1.]3．角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值.【导学号：62172122】[解] 设α终边上任一点为P (k ，－3k )，那么r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ，∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310， 1cos α＝－10k k ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.4．sin α＜0，tan α＞0.(1)求α角的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上． 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0， sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。

第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例课标要求考情分析1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.本节是高考中的重点考查内容，涉及数量积的运算，投影，模(长度)与夹角等多方面内容． 2．命题形式多种多样，以选择题，填空题为主，属中低档题，常与三角，平面几何，解析几何等相结合考查.知识点一 平面向量数量积的定义及几何意义1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积知识点二 向量数量积的运算律1．a ·b ＝b ·a .2．(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． 3．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 知识点三 平面向量数量积的性质设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)结论 几何表示 坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b|a ||b | cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的 充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b | 的关系|a ·b |≤ |a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ ) (3)a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × )(4)两向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) 解析：(1)由两个向量夹角的定义可知：两个向量夹角的范围为[0，π]． (2)因为向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ，它是一个实数值．(3)因为a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或零角；a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或平角． (4)由向量的数量积，向量的加法、减法、数乘运算的定义可知，两个向量的数量积为一个实数，两个向量的和或差结果为向量，向量的数乘运算结果为向量．2．小题热身(1)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( B ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( D ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16(3)(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( A ) A. 2 B ．2 C ．5 2 D ．50(4)已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为－32.(5)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是π6.解析：(1)a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3，故选B.(2)AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝42＋0＝16.故选D. (3)依题意得a －b ＝(－1,1)，|a －b |＝(－1)2＋12＝2，因此选A.(4)b 在a 方向上的投影为|b |cos120°＝3×(－12)＝－32.(5)因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a |2－|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝3－23×cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝32，由于〈a ，b 〉∈[0，π]．则向量a ，b 的夹角为π6.第1课时 平面向量的数量积考点一 平面向量的数量积运算命题方向1 向量的数量积运算【例1】 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB →·(AC →＋AE →)＝( )A ．8B ．12C ．16D ．20【解析】 解法1：设AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE→＝12(AC →＋AB →)＝12⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝⎛⎭⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D. 解法2：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t >0)，则B (4,0)，C (2，t )，E ⎝⎛⎭⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4,0)·⎣⎡⎦⎤(2，t )＋⎝⎛⎭⎫3，12t ＝(4,0)·⎝⎛⎭⎫5，32t ＝20，故选D. 【答案】 D命题方向2 向量数量积的几何意义【例2】 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，CA ＝8，且O 是△ABC 的外心，则CA →·AO →＝( )A ．16B ．32C ．－16D ．－32 【解析】 解法1：由题意得AB 2＝BC 2＋CA 2， 所以△ABC 为直角三角形，则点O 为斜边AB 的中点， 所以CA →·AO →＝－AC →·AO →＝－|AC →|·|AO →|cos ∠BAC ＝－|AC →|·12|AB →|·|AC →||AB →|＝－12|AC →|2＝－32，故选D.解法2：由题意得AB 2＝BC 2＋CA 2，所以△ABC 为直角三角形，则点O 为斜边AB 的中点，所以AO →在AC →上的投影为4，则CA →·AO →＝－AC →·AO →＝－4|AC →|＝－32，故选D.【答案】 D方法技巧平面向量数量积的计算方法(1)已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解. (2)已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解.(3)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算.1．(方向1)(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( C )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 解析：因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝1＋(t －3)2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(方向1)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( C )A.13B.23C ．1D ．2 解析：解法1：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴AD →＝23AC →＋13AB →，则AB →·AD →＝AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →＋13AB →＝23AB →·AC →＋13AB →2＝23×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＋13×32＝1，故选C.解法2：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A (0,0)，B (3,0)，C (－1，3)，∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝⎛⎭⎫－83，233，则D ⎝⎛⎭⎫13，233，∴AB →＝(3,0)，AD →＝⎝⎛⎭⎫13，233，则AB →·AD →＝3×13＋0＝1，故选C.3．(方向2)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(－3，3)，则向量b 在向量a 方向上的投影为( A ) A ．－ 3 B. 3 C ．－1 D ．1解析：设向量a 与b 的夹角为θ，向量b 在向量a 方向上的投影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－33＋32＝－ 3.考点二 平面向量数量积的性质应用命题方向1 平面向量的模【例3】 (1)已知向量a ＝(1，3)，|b |＝3，且a 与b 的夹角为π3，则|2a ＋b |＝( )A ．5 B.37 C ．7 D ．37(2)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________．【解析】 (1)∵a ＝(1，3)，∴|a |＝2， ∵|b |＝3，a 与b 的夹角为π3，∴a ·b ＝3，∴|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝16＋12＋9＝37， ∴|2a ＋b |＝37，故选B.(2)建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， |MB →＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2＝20⎝⎛⎭⎫λ－352＋45，当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值22，当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎡⎦⎤255，22. 【答案】 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤255，22命题方向2 平面向量夹角问题【例4】 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为________． 【解析】 (1)设a 与b 的夹角为θ. 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝0， 所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝|b |22|b |2＝12.又a 与b 的夹角的取值范围为[0，π]， 所以a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)设a 与a ＋b 的夹角为θ，由|a |＝|b | 得|a |2＝|b |2，又由|b |＝|a －b | 得|b |2＝|a －b |2，则a ·b ＝12|a |2，∴|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2， ∴|a ＋b |＝3|a |.∴cos θ＝(a ＋b )·a|a ＋b |·|a |＝a 2＋a ·b|a ＋b |·|a |＝32|a |23|a |2＝32.又知θ∈[0，π]，∴θ＝π6.【答案】 (1)B (2)π6命题方向3 垂直问题【例5】 (1)已知非零向量m ，n 满足3|m |＝2|n |，它们的夹角θ＝60°.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．梯形 【解析】 (1)由题意得cos θ＝12.∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝t m ·n ＋n 2＝t |m ||n |×12＋|n |2＝t3|n |2＋|n |2＝0，解得t ＝－3.故选B.(2)因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．【答案】 (1)B (2)C1．(方向1)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( D )A ．6B ．3 2C ．2 2D ．3解析：∵a ·b ＝0，|a |＝3，∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a ||a ＋b |cos π4，∴|a ＋b |＝32，将|a ＋b |＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b |＝3，故选D. 2．(方向1)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( D )A ．1 B.12 C.34D.32 解析：∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D.3．(方向2)(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝23. 解析：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，则c ＝(2，－5)，则cos 〈a ，c 〉＝21×4＋5＝23. 4．(方向3)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为712. 解析：由AP →⊥BC →，知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.“两法”搞定向量模的最值问题【典例】 已知向量a ，b 满足|a |＝4，b ·(a －b )＝0.若|λa －b |的最小值为2(λ∈R )，则a ·b 的值为( )A ．0B ．4C ．8D ．16【解析】 解法1：利用|a |2＝a 2，求|λa －b |的最小值|λa －b |2＝(λa －b )2＝a 2λ2－2(a ·b )λ＋b 2.因为|a |＝4，所以a 2＝16.因为b ·(a －b )＝0，所以b 2＝a ·b .于是|λa －b |2＝16λ2－2(a ·b )λ＋a ·b＝16⎝⎛⎭⎫λ－116a ·b 2＋a ·b －116(a ·b )2， 所以|λa －b |2的最小值为a ·b －116(a ·b )2＝4， 解得a ·b ＝8.解法2：利用|λa －b |的几何意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .因为b ·(a －b )＝0，所以OB ⊥BA .设OP →＝λa ，则点P 是直线OA 上的动点，过点B 作BC ⊥OP ，垂足为C ，则|λa －b |＝|BP →|≥|BC →|，即|λa －b |的最小值为|BC →|＝2.又|OA →|＝|a |＝4，所以BC 是Rt △OAB 的斜边OA 上的中线，故|b |＝|OB →|＝2 2.从而a ·b ＝b 2＝8.【答案】 C【素养解读】 (1)本例的实质是定直线外的定点到定直线上的动点的距离的最值问题．(2)解决与向量的模有关的问题，常见的策略有：①利用|a |2＝a 2；②利用向量的模的几何意义．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( B )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：解法1：由圆周角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径．故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)(O 为坐标原点)．设B (cos α，sin α)，∴PB →＝(cos α－2，sin α)，∴P A →＋PB →＋PC →＝(cos α－6，sin α)，|P A →＋PB →＋PC →|＝(cos α－6)2＋sin 2α ＝37－12cos α≤37＋12＝7，当且仅当cos α＝－1时取等号，此时B (－1,0)，故|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为7.故选B.解法2：由圆周角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径．故P A →＋PC →＝2PO →(O 为坐标原点)，又PB →＝PO →＋OB →，∴|P A →＋PB →＋PC →|＝|3PO →＋OB →|≤3|PO →|＋|OB →|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO →与OB →同向时取等号，此时B 点坐标为(－1,0)，故|P A →＋PB →＋PC →|max ＝7.故选B.。

第六节数学归纳法[考纲] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的根本步骤是：(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开场的正整数n都成立．2．数学归纳法的框图表示1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．()(3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．()(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1〞，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(2021·银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [因为凸n 边形最小为三角形，所以第一步检验n 等于3，应选C.] 3．n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，假设已假设n ＝k (k ≥2，且k 为偶数)时命题为真，那么还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立B [k 为偶数，那么k ＋2为偶数．]4．(教材改编){a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2，那么a 2＝__________，a 3＝__________，a 4＝__________，猜测a n ＝__________.3 4 5 n ＋15．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1)〞由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是__________.【导学号：57962319】2k [当n ＝k 时，不等式为1＋12＋13＋…＋12k －1<k .那么n ＝k ＋1时，左边应为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，那么左边增加的项数为2k＋1－1－2k ＋1＝2k .]用数学归纳法证明等式设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1， 右边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立.3分(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 6分 那么，当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k ＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， 10分 ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *).12分 [规律方法] 1.用数学归纳法证明等式问题，要“先看项〞，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．由n ＝k 时命题成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进展合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．[变式训练1] 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *).【导学号：57962320】[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12， 右边＝11＋1＝12，左边＝右边. 3分(2)假设n ＝k 时等式成立， 即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 6分那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 10分即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立.12分用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立.3分(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12.6分 那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.10分∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立.12分[规律方法]n 有关的不等式证明时，假设用其他方法不容易证明，那么可考虑应用数学归纳法．2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时命题成立，再证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比拟法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用根本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．[变式训练2] 数列{a n }，当n ≥2时，a n <－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N *时，a n ＋1<a n .[证明] (1)当n ＝1时，∵a 2是a 22＋a 2－1＝0的负根，∴a 1>a 2.3分 (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1<a k ，5分∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0， ∴a 2k ＋1－a 2k >0.8分又∵a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0，∴a k ＋2<a k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n .12分归纳——猜测——证明数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜测{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．[解] (1)当n ＝1时，由得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1>0).2分当n ＝2时，由得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)．同理可得a 3＝7－ 5. 猜测a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *).5分(2)证明：①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.7分由于a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式，整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0， ∴a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1，即n ＝k ＋1时通项公式成立. 10分由①②可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立.12分[规律方法] 1.猜测{a n }的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a 1，a 2，a 3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明a k ＋1时，a k ＋1的求解过程与a 2，a 3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系．2．“归纳—猜测—证明〞的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．[变式训练3] (2021·洛阳调研)数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n ，n ∈N *.猜测数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论.【导学号：57962321】[解] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6猜测：数列{x 2n }是递减数列. 3分下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，已证命题成立.5分 (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即x 2k >x 2k ＋2，易知x k >0，那么 x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x2k＋3－x2k＋1(1＋x2k＋1)(1＋x2k＋3)＝x2k－x2k＋2(1＋x2k)(1＋x2k＋1)(1＋x2k＋2)(1＋x2k＋3)>0，9分即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合(1)(2)知，对任意n∈N*命题成立. 12分[思想与方法]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的根底，步骤(2)是递推的依据．2．在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要弄清n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法．[易错与防范]1．第一步验证当n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择适宜的起始值．2．由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否那么就不是数学归纳法．3．解“归纳——猜测——证明〞题的关键是准确计算出前假设干具体项，这是归纳、猜测的根底．否那么将会做大量无用功．。