九年级上册数学 二次函数专题练习(word版
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九年级上册数学
二次函数专题练习(word版
一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)
1.已知,抛物线y=-
1
2
x2 +bx+c交y轴于点C(0,2),经过点Q(2,2).直线y=x+4分别交x轴、y轴于点B、A.
(1)直接填写抛物线的解析式________;
(2)如图1,点P为抛物线上一动点(不与点C重合),PO交抛物线于M,PC交AB于N,连MN.
求证:MN∥y轴;
(3)如图,2,过点A的直线交抛物线于D、E,QD、QE分别交y轴于G、H.求证:CG •CH 为定值.
【答案】(1)2
1
2
2
y x x
=-++;(2)见详解;(3)见详解.
【解析】
【分析】
(1)把点C、D代入y=-
1
2
x2 +bx+c求解即可;
(2)分别设PM、PC的解析式,由于PM、PC与抛物线的交点分别为:M、N.,分别求出M、N的代数式即可求解;
(3)先设G、H的坐标,列出QG、GH的解析式,得出与抛物线的交点D、E的横坐标,再列出直线AE的解析式,算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证.【详解】
详解:(1)∵y=-
1
2
x2 +bx+c过点C(0,2),点Q(2,2),
∴
2
1
222
2
2
b c
c
⎧
-⨯++
⎪
⎨
⎪=
⎩
=
,
解得:12b c =⎧⎨=⎩
. ∴y=-12
x 2+x+2; (2) 设直线PM 的解析式为:y=mx ,直线PC 的解析式为:y=kx+2 由22122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
得12
x 2+(k-1)x=0, 解得:120,22x x k ==-,
x p =22p x k =- 由21=22y mx y x x =⎧⎪⎨-++⎪⎩
得12
x 2+(m-1)x-2=0, ∴124b x x a
⋅=-=- 即x p•x m =-4,
∴x m =4p x -=21
k -. 由24y kx y x =+⎧⎨=+⎩
得x N =21
k -=x M , ∴MN ∥y 轴.
(3)设G (0,m ),H (0,n ).
设直线QG 的解析式为y kx m =+,
将点()2,2Q 代入y kx m =+
得22k m =+
22
m k -∴= ∴直线QG 的解析式为22m y x m -=
+ 同理可求直线QH 的解析式为22
n y x n -=+; 由222122m y x m y x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
得221=222
m x m x x -+-++ 解得:122,2x x m ==-
2D x m ∴=-
同理,2E x n =-
设直线AE 的解析式为:y=kx+4, 由24122y kx y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩
, 得12
x 2-(k-1)x+2=0 124b x x a
∴⋅=-
= 即x D x E =4, 即(m-2)•(n-2)=4
∴CG•CH=(2-m )•(2-n )=4.
2.如图,二次函数y =ax 2+bx+c 交x 轴于点A (1,0)和点B (3,0),交y 轴于点C ,抛物线上一点D 的坐标为(4,3)
(1)求该二次函数所对应的函数解析式;
(2)如图1,点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点,PE//x 轴,PF//y 轴,求线段EF 的最大值;
(3)如图2,点M 是线段CD 上的一个动点,过点M 作x 轴的垂线,交抛物线于点N ,当△CBN 是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为92
4
;(3)M点坐标为可以为(2,
3),(55
+
,3),(
55
-
,3).
【解析】
【分析】
(1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式.
(2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE=2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值.
(3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解.
【详解】
解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c),
∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0),
∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3).
又∵点D(4,3)在二次函数上,
∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3,
∴解得:a=1.
∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3.
(2)如图1所示.
因点P在二次函数图象上,设P(p,p2﹣4p+3).
∵y=x2﹣4x+3与y轴相交于点C,