第七章 动态电路中电压电流的约束关系
当一个实际电路的几何尺寸远远小于工作信号的波长时，我们称它为集总参数电路。集总参数电路中的电压电流受到两类约束，一类约束是拓扑约束，另一类是元件特性的约束。
描述电路中电压电流约束关系的数学方程称为电路方程。
由独立电源和电阻元件构成的电阻电路，其电路方程是一组代数方程。由独立电源和电阻元件以及动态元件构成的动态电路，其电路方程是一组微分方程。
本章首先回顾集总参数电路的基本定律和几种常用的电阻元件的电压电流关系。然后介绍两种储能元件—电容元件和电感元件。最后介绍电路微分方程的建立和开关电路中初始条件的确定。
§7-1 集总参数电路中电压电流的约束关系一、基尔霍夫定律 基尔霍夫定律描述集总参数电路中各电流之间以及各电压之间的约束关系。
基尔霍夫电流定律(KCL)：在任一时刻，流出集总参数电路中任一结
点或封闭面的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式为：
基尔霍夫电压定律(KVL)：在任一时刻，集总参数电路中任一回路或
闭合路径的全部支路电压的代数和等于零。其数学表达式为
基尔霍夫定律给集总参数电路中的电压或电流施加了一种线性约束。它反映电路中各元件的连接关系，与元件的特性和参数无关。它适用于任何集总参数电路，也就是说它既适用于由独立电源和电阻元件构成的电阻电路，也适用于由独立电源和电阻元件以及动态元件构成的动态电路。
二、电阻元件的电压电流关系
我们将实际电路抽象为电路模型来进行研究，集总参数电路的电路模型是由一些理想的电路元件连接而成。现代电路理论规定了几种电路元件)
17(01-=∑=n k k i
∑=-=n k k u
1)
27(0
来模拟各种实际的电路。这些电路元件的不同特性对电路中的电压电流也施加了一种约束关系。
在电阻电路分析中定义了以下几种常用的电阻元件。
1.线性电阻
线性电阻的符号和特性曲线如图(a)和(b)所示。
线性电阻的定义是在任一时刻，其电压和电流由ui 平面上通过原点的直线所确定的二端元件，称为线性电阻元件。
数学表达式u =Ri 中的R 称为电阻，是表示线性电阻特性的一个参数。
2.独立电压源
独立电压源的符号和特性曲线如图(a)和(b)所示：
独立电压源的定义是在任一时刻，其电压u (t )按照给定的规律u S (t )变化，而与其中电流无关的二端元件，称为独立电压源，简称电压源。u S (t )为常数的电压源称为直流电压源。
3. 独立电流源
独立电流源符号和特性曲线如图(a)和(b)所示：
独立电流源的定义是在任一时刻，其电流i (t )按照给定的规律i S (t )变化，而与其中电压无关的二端元件，称为独立电流源，简称电流源。i S (t )为常数的电流源称为直流电流
4.受控源和理想变压器
受控源和理想变压器都是一种双口电阻元件，它们的电压电流关系由两个代数方程描述。受控源一条支路的电压或电流受到另外一条支路电压或电流的控制，有以下四种类型。
)
37( )()(-=t Ri t
u )
47()()(-=t u t u
s )
57()()(-=t i t i s
理想变压器惟一的参数是n ，称为变比。受控源和理想变压器的元件符号和电压电流关系如下图所示：
综上所述，无论是二端电阻元件或者是电阻双口元件，它们的电压电流间存在一种代数约束关系。
由电路元件特性确定的这种约束关系，称为元件约束。
由KCL 和KVL 确定的约束关系，称为拓扑约束。
§7－2 电容元件
一、电容元件
电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由uq 平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。
图7—5
a) 电容元件的符号 (c) 线性时不变电容元件的符号
b) 电容元件的特性曲线 (d) 线性时不变电容元件的特性曲线
电容元件的符号和特性曲线如图7-5(a)和(b)所示。
其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。
线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为
式中的系数C 为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法[拉],用F 表示。
)
67(0002121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡i i r u u )77(0002121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡u u g i i )87(0002121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡u i i u α)97(0002121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡i u u i μ)
107(002121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡u i n n i
u )
117(-=Cu q
实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化很大，大多数电容器的漏电很小，在工作电压低的情况下，可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。
在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构成电容器的电路模型,如图7－6所示。
图7－6 电容器的几种电路模型
二、电容元件的电压电流关系
对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式
此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。
在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i =0)。
在已知电容电压u (t )的条件下，用式(7－12)容易求出其电流i (t )。例如已知C =1mF 电容上的电压为u (t )=10sin(5t )V ，其波形如图7－7(a)所示，与电压参考方向关联的电流为
图7-7
例7-1 已知C =0.5m F 电容上的电压波形如图7－8(a)所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流i C (t ),并画出波形图。
)
127(d d d )(d d d )(-===t u C t Cu t q t
i A )5cos(50 A
)5cos(1050 d )]
5sin(10[d 10 d d )(66μt t t
t t
u
C t i =⨯=⨯
==--
