特殊平行四边形综合应用题
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特殊平行四边形综合应用题
1、如图19－2－22所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于G，交AD于F，DE⊥AB于E，那么四边形CDEF是菱形吗？说说你的理由.
2、如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F， 求证：（1）OE=OF；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，
并证明你的结论。
3、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在直线AB上，且AE=AB=•BF，•连结CE，DF分别交AD，BC于点M，N．
（1）求证：四边形DMNC是平行四边形；
（2）若要使四边形DMNC为菱形，则还需增加什么条件？请写出此条件，并证明之．
4、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
⑴求证：CE＝CF；
⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB上一点，
且∠DCE＝45°，BE＝2，求DE的长．
5、△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．
①求证：△AEB≌ △ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？
（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
6、问题解决
如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当12CECD时，求AMBN的值．
A
G
C D B F E
图（a） A
D C B
F E G
图（b）
B A
E
B A G D
E
图1 图2 图（1） A
B C D
E F M
N
方法指导：
为了求得AMBN的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2
类比归纳
在图（1）中，若13CECD，则AMBN的值等于 ；若14CECD，则AMBN的值等于 ；若1CECDn（n为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点CD，重合），压平后得到折痕MN，设111ABCEmBCmCDn，，则AMBN的值等于 ．（用含mn，的式子表示）
7、请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
(1）如图12-1，正三角形ABC中，在ABAC、边上分别取点MN、，使BMAN，连接BNCM、，发现BNCM，且60NOC°．
请证明：60NOC°．
(2）如图12-2，正方形ABCD中，在ABBC、边上分别取点MN、，使AMBN，连接ANDM、，那么AN ，且DON 度．
(3）如图12-3，正五边形ABCDE中，在ABBC、边上分别取点MN、，使AMBN，连接ANEM、，那么AN ，且EON 度．
(4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：
8、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
图（2） N A
B C D
E F
M
A A A
B B B
C C C D D
O O O
M M M N
N N E
图12-1 图12-2 图12-3 … A D
F
C G E B
图1 A D
F
C G E B
图2 A D F
C G E B
图3
