基于谱域球谐展开的多层快速多极子算法

第３４卷第６期　成都理工大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ．６　２００７年１２月　ＪＯＵＲＮＡｌ　ＯＦ　ＣＨＥＮＧＤＵ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＴＥＣＨＮＯＩ　ＯＧＹ（Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ．２００７　

［文章编号］１６７１—９７２７（２００７）０６—０６６５—０４　

基于谱域球谐展开的多层快速多极子算法　

徐文皙　聂在平　

（１．成都理工大学信息管理学院，成都６１００５９；２．电子科技大学电子工程学院，成都６１００５４）　

［摘要］介绍了基于谱域球谐函数展开的多层快速多极子算法，通过处理三维金属体的散射问　题，验证了算法参数选取的经验公式，并对算法性能做出了理论分析，得出该算法具有内存占　用少、迭代速度快的优点，数值结果显示了该方法的高效性。　［关键词］电磁散射；多层快速多极子算法；谱域积分；球谐函数展开　［分类号］０２９：ＴＮ０１１　［文献标识码］Ａ　

２Ｏ世纪９Ｏ年代以来，多层快速多极子算法　（ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ　ｆａｓｔ　ｍｕｌｔｉｐｏｌｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＭＩ　ＦＭＡ）　已经被广泛地应用于复杂目标电磁散射和辐射问　题口卜　］。尽管该法已经能够在单机（１　ＧＢ内存）　

上成功求解未知量在几十万量级的三维电大尺寸　目标电磁散射，但不断深入发展的工程应用迫切　

需要更节约内存更高效的快速方法。快速多极子　

方法的关键技术是格林函数的平面波展开，将格　

林函数中的场、源分离，矩矢相乘则最终转化为一　个谱域（单位球面）上的积分。这就使得传统的　

ＭＩ　ＦＭＡ在矩阵迭代求解前必须预先存储聚合　

因子和配置因子的各谱域分量，这项内存消耗与　谱域积分采样率直接相关。为了达到一定的计算　

精度，谱域积分样本点数不能低于２Ｌ　２ｌ　（Ｌ为转　

移因子的无穷截断，即通常所说的多极子模式　

数）。这样一来，存储上述谱域分量需耗费的内存　达０（４ＮＬ。），其中Ｎ为未知量数目。Ｔｈｏｍａｓ　Ｆ．　

Ｅｉｂｅｒｔ提出的谱域积分球谐函数展开下的多层快　

速多极子算法（ＭＬＦＭＡ　ｗｉｔｈ　ｓｐｈｅｒｉｃａｌ　ｈａｒｍｏｎ—　ｉｃｓ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌｓ。ＳＥ　ＭＩ　ＦＭＡ）Ｅ　ｓ３将聚合因子和配置转移因子用球谐　

函数展开，使得迭代前仅需对它们的球谐展开系　

数及少量的球谐函数谱分量进行存储，大大降低　了计算所需的存储量，同时也改善了矩阵迭代求　解的速度。然而，该法能够高效地成功实施依赖　

的是聚合因子和配置因子球谐函数展开的合理的　无穷截断，截断得太早无法保障计算的精度，太晚　则丧失了算法改良的优越性。　

本文成功地将基于谱域球谐展开的多层快速　多极子方法应用于三维金属散射体，通过数值算　

例结果验证了球谐展开的无穷截断Ｐ的选取方　式；同时，还通过理论分析及数值计算结果对该算　

法应用于电场积分方程（ＥＦＩＥ）和　昆合场积分方　程（ＣＦＩＥ）的性能进行了评估。　

１　基于谱域球谐函数展开的多层快　

速多极子算法　

１．１算法原理　用矩量法将积分方程离散后得到线性方程组　为　：　Ｎ　Ａｏａ　一ｂｌ，（ｉ一１，２，…，Ｎ）　（１）　Ｊ一１　以电场积分方程伴随伽略金法为例，迭代法　求解上述方程，传统的快速多极子方法得到的上　

述表达式中非近区阻抗元素为：　

Ａ　，一７　Ｚ　ｌ　ｄ　磊ｖ　（磊）ｄ　，（磊・产～　，）ｖ　，（磊）　（２）　

［收稿日期］２００７—０３—１２　［基金项目］数学地质四川省高校重点实验室资助　［作者简介］徐文皙（１９８０一），女，硕士，讲师，研究方向：计算电磁学，Ｅ—ｍａｉｌ：ｘｕｗｅｎｘｉ＠ｃｄｕｔ．ｃｎ。

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式中被积角谱函数　

Ｖ　（占）一Ｉ　ｄ　ｆ　（ｒ　）・（了一占占）ｅ　一　（３）　

‰　，（占・产…，）一∑ｉｔ（２１＋１）　

×　ｊ”（ｋｒ…，）Ｐ　（１ａ・　，　）　（４）　

其中：ｔｆ（ｒ）为基权函数（ｉ—ｌ，２，…，Ｎ）；ｒ　，ｒ，分　

别表示场点和源点的矢径；　，　分别表示场点　

和源点所在组中心的矢径；　为共轭符号；Ｓ指　

金属散射体表面；　（ｋｒ　）为第一类球汉克尔　函数，Ｐ　（是・；．…ｒ）为勒让德函数。　

然后将角谱函数（３）式和　（占・　，）Ｖ　，（１ａ）　

分别用球谐函数展开：　

Ｖ　（占）一∑∑，　Ｙ　（是）　（５）　

（１ａ・产…，）Ｖ　，　（占）一∑∑ｇ　ｙ　。（占）（６）　

展开系数：　

，　—Ｉ　ｄｚｌａＹ；￣（１ａ）Ｖ　（１ａ）　（７）　

ｇ　一Ｉ　ｄｚ占ｙ　（１ａ）　（占・尹　）Ｖ　，，（１ａ）　（８）　

为使得数值求解成为可能，对（６）式中的无穷　

求和截断至Ｐ，即：　

Ｖ，ｎｉ（占）一∑∑，　Ｙ　（占）≈∑∑，　Ｙ　（占）　

（９）　再将（６）式和（９）式代入（２）式，由于球谐函数　

的正交完备归一性，（２）式转化为：　

Ａ？　一　．ｇ　∞　

则矩矢相乘最终表达式为：　

∑蛳　一∑　∑Ａ　＋　ｉ　ｋ∑∑（　）　

』一１　ｎ　∈ＮＧ　Ｊ∈Ｇｍ　ｒ　Ｐ一０　一一　・窖　，　（ｉ—ｌ，２，…，Ｎ）　（１１）　其中：　

懿一∑∑ｇ　“　一Ｉ　ｄ２ｌａＹ；＋（１ａ）　

×∑ａ（１ａ・　，）・∑∑（∑，Ｊ　）ｙ　，（占）（１２）　

，　由式（７）可得，而ｇ　这个谱域积分用传统的快　

速多极子或多层快速多极子方法计算即可。　

１．２计算效率　通过（１１）式和（１２）式，不难看出ＳＥ—　ＭＬＦＭＡ在迭代前期必须先计算并存储球谐展　

开系数，　（ｉ—ｌ，…，Ｎ），而这一项计算开销是传　

统的ＭＩ　ＦＭＡ所没有的；然而在矩矢相乘的计算　

消耗上，ＳＥ—ＭＩ　ＦＭＡ比传统的ＭＬＦＭＡ要节约　

很多。二者之间的差别体现在非附近组贡献的计　

算上。表１显示了理想分组情况下的快速多极子　

方法与基于谱域球谐函数展开下的快速多极子方　

法（ｆａｓｔ　ｍｕｈｉｐｏｌｅ　ｍｅｔｈｏｄ，ＦＭＭ）矩矢相乘计算　量的对比。　

表ｌ　Ｆｒｏｍ与ＳＥ－ＦＭＭ算法性能对比　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ（ＳＥ－ＦＭＭ　ｔｏ　ＦＭＭ）　ＦＭＭ　ＳＥ＿ＦＭＭ　附近组　０（ＮＭ）　附近组　０（ＮＭ）　聚合　０（２ＮＬ　）　内向波　（）（３ＮＮｙ＋　球谐展　Ｎ　２Ｌ　／．１Ⅵ。）　转移　０（Ｎ　２Ｌ　／．１Ⅵ。）　开系数　

配置　０（２ＮＬ。）　配置　０（ＮＮ　）　

（Ｍ为每组子散射体个数，Ｎ、・为球谐函数个数）　

可以看出，当Ｍ≈２Ｌ　≈　，Ｐ取为ＥＬ￣ｇ］　

一ｌ时，就非附近组的矩矢相乘而言，ＳＥ—ＦＭＭ比　

传统的ＦＭＭ能节约一半以上的计算时问。　

１．３误差来源　算法误差主要来源于聚合因子及配置因子的　

球谐展开截断：　

＋∽Ｐ　Ｒ（Ａ　）＝＝＝∑∑（，　）　・　＝Ｐ—ｌ　ｑ　一Ｐ　—Ｐ　一∑∑Ｉ　ｄ２ｌａｙ　（１ａ）Ｙ　（占）・Ｉ　ｄ　占ｙ五（占）　－－Ｐ＋ｌ　ｑ—　×　（１ａ．产　，）Ｖ　，，（１ａ）　（１３）　

然而，在进行数值计算时还包括计算聚合及　

配置因子球谐展开系数的积分误差，以及用多层　

快速多极子方法计算ｇ筠造成的积分误差、　的　截断误差和内插外推所形成的误差。多层快速多　极子所涉及的误差分析可参阅参考文献［４］。　

２计算结果与讨论　

为了分析ＳＥ—ＭＬＦＭＡ的计算性能，本文计　

算了以下金属目标的电磁散射特性，并分别以平　板和杏仁核散射为例验证了截断参数Ｐ的选取　

问题。以下结果均是在固定分组的多层框架下应　

用ＲＷＧ基函数　和伽略金法，共轭迭代求解得　

出的。

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２．１　平板双站ＲＣＳ　

图１显示了电场积分方程下，ＭＩ　ＦＭＡ和　ＳＥ—ＭＬＦＭＡ计算３　×２　的平板双站ＲＣＳ的结　

果比较。其中，求解问题未知量个数为１　３７７（１／８　

波长剖分），采用４级多层结构，多极子模式数为　Ｌ一６。用基于球谐展开的多层快速多极子方法　计算，按Ｐ—Ｕ．／２］一ｌ的规则，Ｐ取２的话能基　

本保证精度。图１显示Ｐ取１时，该问题计算精　度得不到保障。在存储量与迭代速度方面，采用　

ＭＬＦＭＡ计算，聚合、配置因子的存储量约为４．５　ＭＢ，迭代速度为每次５．１６Ｓ；而采用ＳＥ—ＭＩ　ＦＭＡ　

计算，当Ｐ取为２时，聚合、配置因子特征值的存　

储量仅为０．５８　ＭＢ左右，迭代速度也降为４．２５　Ｓ；采用ＳＥ—ＭＬＦＭＡ计算，当Ｐ值为１时，特征值　

存储量进一步降低至０．１９４　ＭＢ，迭代速度更降　为每次３．９６　Ｓ。　

图１　ＭＬＦＭＡ和ＳＥ　ＭＬＦＭＡ计算３　×２　平板双站ＲＣＳ比较　Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　３　×２Ａ　Ｈ　Ｈ　ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｂｉｓｔａｔｉｃ　ＲＣＳ　ｕｓｉｎｇ　ＭＩ　ＦＭＡ＆ＳＥＭＩ　ＦＭＡ　图中ＳＥ表示ＳＥ　ＭＬＦＭＡ　

２．２杏仁核ＲＣＳ　图２所示为一未知数个数为５　６９７的杏仁核　双站ＲＣＳ的计算结果比较。问题采用电场积分　

方程，５级多层结构，最高层多极子模式数Ｌ为　４。ＳＥ—ＭＩ　ＦＭＡ按Ｐ取ＥＬＩ２］一１的规则，Ｐ则　

应该取１。然而当Ｐ取１时，ＲＣＳ计算结果显示　

其精度损失严重；Ｐ取为２时得到了比较满意的　结果。采用ＭＩ　ＦＭＡ计算，聚合、配置因子的存　

储量约为８．３　ＭＢ，迭代速度为每次４．８　Ｓ；而采用　

ＳＥ—ＭＩ　ＦＭＡ计算，当Ｐ取为２时，聚合、配置因　

子特征值的存储量仅为２．３　ＭＢ左右，迭代速度　

上升为每次５．３　Ｓ。　图２　ＭＬＦＭＡ和ＳＥ—ＭＬＦＭＡ　计算杏仁核双站ＲＣＳ比较　Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｈ　Ｈ　ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ａｌｍｏｎｄ　ＲＣＳ　ｕｓｉｎｇ　ＭＩ。ＦＭＡ＆ＳＥ－ＭＩ　ＦＭＡ　图中ＳＥ表示ＳＥ－ＭＬＦＭＡ　

图３　ＭＬＦＭＡ和ＳＥ—ＭＬＦＭＡ计算５　导体球双站ＲＣＳ比较　Ｆｉｇ．３　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　５　Ｈ　Ｈ　ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ　ｃｏｎｄｕｃｔ　ｓｐｈｅｒｅ　ＲＣＳ　ｕｓｉｎｇ　ＭＬＦＭＡ＆ＳＥ－ＭＬＦＭＡ　

２．３导体球双站ＲＣＳ　图３为ＣＦＩＥ用本文方法与传统的ＭＬＦＭＡ　

计算的半径为５个波长、５８　９７４个未知量的金　属球双站水平极化ＲＣＳ结果比较，均采用５层结　

构，多极子模式数Ｌ为６。ＳＥ—ＭＬＦＭＡ总的计算　

时间为８　９９４　Ｓ，而传统的ＭＬＦＭＡ耗时７　４２８　Ｓ，　其中每次迭代时间ＳＥ—ＭＬＦＭＡ为１８４　Ｓ，传统的　

ＭＬＦＭＡ为２１７　Ｓ。图中显示，当Ｐ取２时，ＳＥ—　

ＭＬＦＭＡ与传统的多层快速多极子ＲＣＳ结果吻　合良好。　

在本例中，ＳＥ—ＭＬＦＭＡ节约了３４０　ＭＢ内存　和部分迭代时间，但总的计算时间却比原方法更　耗时。　

通过上述工作，我们将ＳＥ—ＭＬＦＭＡ与传统　维普资讯 http://www.cqvip.com