高一数学必修5不等式题型总结

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-- 含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

一、按2x项的系数a的符号分类,即0,0,0aaa；

例1 解不等式:0122xaax

分析:本题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项

系数进行分类讨论。

解:∵044222aaa

解得方程 0122xaax两根,24221aaaxaaax24222

∴当0a时，解集为aaaxaaaxx242242|22或

当0a时,不等式为012x,解集为21|xx

当0a时, 解集为aaaxaaax242242|22

例２ 解不等式00652aaaxax

分析 因为0a,0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 032)65(2xxaxxa

当0a时，解集为32|xxx或；当0a时，解集为32|xx

二、按判别式的符号分类,即0,0,0；

例３ 解不等式042axx

分析 本题中由于2x的系数大于０，故只需考虑与根的情况。

解:∵162a ∴当4,4a即0时,解集为R;当4a即Δ=0时，解集为2axRxx且；

当4a或4a即0，此时两根分别为21621aax,21622aax,显然21xx，

∴不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或

例4 解不等式Rmxxm014122

解 因,012m2223414)4(mm，所以当3m,即0时，解集为21|xx；

当33m，即0时，解集为1321322222mmxmmxx〈或；

当33mm或，即0时，解集为Ｒ。

三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类,即212121,,xxxxxx；

例５ 解不等式)0( 01)1(2axaax

分析:此不等式可以分解为:0)1(axax，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。 --

-- 解:原不等式可化为：0)1(axax,令aa1，可得：1a,∴当1a或10a时,aa1 ,故原不等式的解集为axax1|；当1a或1a时，aa1,可得其解集为；

当01a或1a时， aa1,解集为axax1|。

例６ 解不等式06522aaxx，0a

分析 此不等式0245222aaa,又不等式可分解为0)3(2axax,故只需比较两根a2与a3的大小.

解 原不等式可化为：0)3(2axax,对应方程0)3(2axax的两根为

axax3,221,当0a时,即23aa，解集为axaxx23|或;当0a时，即23aa,解集为|23xxaxa或

一元二次不等式 参考例题（2)

1.(1）解不等式121xx （}0,1|{xxx或）

(２)不等式11xax的解集为}21|{xxx，或,求a的值. （21a)

2.解下列关于x的不等式：

（1)01)1(2xaax (２）)23(0)3)(2(aaxxax，且

}1|{01,1)3(1)2(}1|{10,1)1(axaxaaaaxaxaa时，或当时，当时，或当

}3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(axxxaxaxxaxaxxa或时，当或时，当或时，当

（3）01)1(2xaax （４)0)2)(2(axx

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}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(xaxaaaxxaxxaxaxxa时，当时，当时，当时，当或时，当

}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(xaxxaxxaaxxxaxxaxaxa或时当时当或时当时当时当

(5)012xax (6))(11Raaxx

时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(aaaxaaxaxxaaaxaaxxa

}1,1|{0)3(}1|{0)2(}11|{0)1(aaxxxaxxaxaaxa或时，当时，当时，当

3．（1）若不等式04)2(2)2(2xaxa对Rx恒成立，求实数a的取值范围．（22a）

(2)若不等式13642222xxmmxx的解集为R,求实数m的取值范围.（31m)

4．（1）已知}0)1(|{},023|{22axaxxBxxxA,

①若AB，求实数a的取值范围.;（2a)

②若AB，求实数a的取值范围．；（21a)

③若BA为仅含有一个元素的集合,求a的值.(1a）

（2）已知}031|{xxxA，BBAaxaxxB且},0)1(|{2,求实数a的取值范围.

（31a）

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-- （3) 关于x的不等式2)1(|2)1(|22aax与0)13(2)1(32axax的解集依次为A与B,

若BA,求实数a的取值范围. (31,1aa或）

(4)设全集RU，集合}3|12||{},01|{xxBxaxxA,若RBA,

求实数a的取值范围. (12a）

(5)已知全集RU,}034|{},082|{},06|{2222aaxxxCxxxBxxxA,

若CBA)(，求实数a的取值范围.（ 21a）

一元二次不等式及其解法

１．二次函数的图象及性质:二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，.

2．二次函数的解析式的三种形式:

2()fxaxbxc（一般式）;

12()()()fxaxxxx(零点式）；

nmxaxf2)()(（顶点式).

3．一元二次不等式的解法

一元二次不等式20axbxc200axbxca或的解集:

设相应的一元二次方程20axbxc0a的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：

0 0 0

二次函数

cbxaxy2

(0a）的图象

cbxaxy2

cbxaxy2

cbxaxy2

一元二次方程

的根002acbxax 有两相异实根

)(,2121xxxx 有两相等实根

abxx221

无实根

的解集)0(02acbxax 21xxxxx或 abxx2

R

的解集)0(02acbxax 21xxxx 



４．解一元二次不等式的步骤:

(1)将二次项系数化为“＋”：A＝cbxax2>0(或<0)(a>０)；

(２)计算判别式，分析不等式的解的情况;

(3）写出解集． --

-- ５.讨论二次函数02acbxaxy在指定区间qp,上的最值问题:

(1)注意对称轴abx2与区间qp,的相对位置.一般分为三种情况讨论，即:①对称轴2ba在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴2ba在区间之内;③对称轴2ba在区间右边．

（2）函数02acbxaxy在区间qp,上的单调性．要注意系数a的符号对抛物线开口的影响．

6.二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．

三、典型例题选讲

题型1：考查一元二次函数的性质

例1 函数2 ([0,))yxbxcx是单调函数的充要条件是( )

A.0b B．0b C.0b Ｄ.0b

解:∵函数2 ([0,))yxbxcx的对称轴为2bx,

∴函数2([0,)yxbxcx)是单调函数 -(0,)2b02b，0b．故选Ａ．

归纳小结：二次函数的单调区间是(,]2ba和[,)2ba，结合开口方向就可得出所需的条件,从而求出b的范围．

例２ 已知二次函数的对称轴为2x，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析.

解:∵二次函数的对称轴为2x，可设所求函数为2()(2)fxaxb,∵()fx截x轴上的弦长为4，

∴()fx过点(22,0)和(22,0),()fx又过点(0,1),∴4021abab，解之得122ab,

∴21()(2)22fxx．

归纳小结:求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式:一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．

题型２：简单不等式的求解问题

例３ 求下列不等式的解集.

(１)01442xx；（２）0322xx

解法一:因为210144,0212xxxx的解是方程．所以，原不等式的解集是21xx.

解法二：整理，得0322xx.

因为032,02xx方程无实数解,所以不等式0322xx的解集是．从而，原不等式的解集是.

归纳小结:解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系,按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．

例4 不等式022bxax的解集为21xx,求a与b的值.