函数的奇偶性与周期性
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本卷第1页（共17页） 第四节 函数的奇偶性与周期性
[备考方向要明了]
考
什 么 怎 么 考
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是函数奇偶性概念的应用，一般为求参数或求值，如2012年上海T9等，属于容易题；二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，如2012年陕西T2，福建T7等．
2.高考对函数周期性的考查，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题，如2012年山东T8等.
[归纳·知识整合]
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？
提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．
2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？
提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1.
3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？
提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．
本卷第2页（共17页） 2．周期性
(1)周期函数：
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
4.若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)是函数f(x)的周期吗？
提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n∈Z且n≠0时，nT是f(x)的一个周期．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( )
①f(x)＝2x4＋3x2； ②f(x)＝x3－2x；
③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，②③为奇函数．
2．(2013·郑州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：选A ∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，
F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|
＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．
故F(x)为偶函数．即f(x)＋|g(x)|是偶函数．
3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝( )
A．－12 B．－14
本卷第3页（共17页） C.14 D.12
解析：选A ∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f－52＝－f52＝－f52－2
＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.
4．(2012·重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－a－42，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－a－42＝0，解得a＝4.
答案：4
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
解析：∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，
∴当x∈(0,1)时，f(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.
又∵函数f(x)为奇函数，
∴当x∈(－1,0)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－1)时，
f(x)<0.
∴满足f(x)>0的x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3；
(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；
(3)f(x)＝(x＋1) 1－x1＋x.
[自主解答] (1)由 3－x2≥0，x2－3≥0，
本卷第4页（共17页） 得x＝－3或x＝3.
∴函数f(x)的定义域为{－3，3}．
又∵对任意的x∈{－3，3}，
－x∈{－3，3}，
且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0.
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)∵ 4－x2≥0，|x＋3|≠3，
∴－2≤x≤2且x≠0.
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵x＋3>0，
∴f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x.
又f(－x)＝4－－x2－x，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．
(3)由 1－x1＋x≥0，1＋x≠0，得－1
∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
若将本例(1)改为“f(x)＝ 3－2x＋2x－3”，试判断其奇偶性．
解：∵函数f(x)＝ 3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
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判断函数奇偶性的方法
(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数．
(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：
①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，
f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．
②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，
本卷第5页（共17页） f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数．或等价于f－xfx＝1，则f(x)为偶函数；f－xfx＝－1，则f(x)为奇函数．
(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行．
(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．
1．判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝lg 1－x1＋x；(2)f(x)＝ x2＋xx>0，x2－xx<0；
(3)f(x)＝lg1－x2|x2－2|－2 .
解：(1)由1－x1＋x>0⇒－1
定义域关于原点对称．
又f(－x)＝lg 1＋x1－x＝lg1－x1＋x－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，
故原函数是奇函数．
(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，
－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
(3)由 1－x2>0，|x2－2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，
∴f(x)＝lg1－x2－x2－2－2＝－lg1－x2x2.
∵f(－x)＝－lg[1－－x2]－x2＝－lg1－x2x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.
函数奇偶性的应用
[例2] (1)(2012·上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
本卷第6页（共17页） (2)(2012·新课标全国卷)设函数f(x)＝x＋12＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
[自主解答] (1)令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，则f(－1)＝－3，
故g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
(2)将函数化简，利用函数的奇偶性求解．
f(x)＝x＋12＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1，
设g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，
因此g(x)是奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
则M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min
＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
[答案] (1)－1 (2)2
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与函数奇偶性有关的问题及解决方法
(1)已知函数的奇偶性，求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)已知函数的奇偶性求解析式
将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
3已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法：利用fx±f－x＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.
4应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
2．(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)
A．f(－1)f(－1)
