2015届高考数学 江苏专用 【应用题中的瓶颈题】

第23讲 高考题中的应用题解法(对应学生用书(文)、(理)79～83页)江苏近几年高考数学试卷加大了对应用题的考查力度，新高考(08年开始)以来，每年除了在小题(填空)考查外，都还有一道大题，其中2008年、2010年、2011年、2012年都是放在试卷的第17题，2013年放在试卷的第18题，2009年放在试卷的第19题，考查的知识点都是B 级考点的综合应用，试题的难度属于中档题．所谓数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题．由于数学的高度抽象性，这就决定了数学应用的广泛性，而应用题的非数学背景的多样性，也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题，舍去与数学无关的非本质因素，通过抽象转化为相应的数学问题．江苏高考数学试题中，对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟，它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力．解数学应用题的一般思路实际上就是(1) 读：理解文字(图形)表达的意图，分清条件和结论；(2) 建：进行语言转化(文字语言及图形语言转化为数学语言)，利用数学知识建立相应的数学模型；(3) 解：求解数学模型，得到数学结论；(4) 答：把用数学方法所得到的结论还原为实际问题，要符合实际意义．高考数学应用题常见模型：(1) 函数应用模型：涉及最值问题；(2) 三角应用模型：涉及测量问题；(3) 不等式(组)应用模型：涉及优化问题；(4) 方程(组)及坐标系应用模型：涉及等量问题；(5) 数列应用模型：涉及年代及预测问题；(6) 立体几何模型：涉及空间图形问题；(7) 概率、统计模型：涉及数据计算、预估等问题．1. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为________.答案：232. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．答案：93. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD ＝2x ，梯形面积为S ，则S 的最大值是________．答案：3227解析：建立坐标系，B 点坐标为(1，－1)，求出抛物线方程为x 2＝－y ，得D 点坐标(x ，－x 2)，等腰梯形的高为1－x 2，S ＝2x ＋22(1－x 2)，0＜x ＜1，求导可以得到x ＝13时S 取最大值3227. 4. 某人于2009年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄，2010年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加a 元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都按照同样的方法，在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄利率r 不变，则到2014年7月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共有________元．答案：a （1＋r ）[（1＋r ）5－1]r题型一 通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题例1 如图所示的镀锌铁皮材料ABCD ，上沿DC 为圆弧，其圆心为A ，圆半径为2 m ，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且BC 长1 m ．现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P 在圆弧DC 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面，若以PE 为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？解：分别以AB 、AD 所在直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系xOy ，则圆弧DC 的方程为x 2＋y 2＝4(0≤x ≤3，y ＞0)，设P(x ，y)(0＜x ≤3)，圆柱半径为r ，体积为V ，则PE ＝4－x 2，2πr ＝AE ＝x ，则r ＝x2π，∴ V ＝πr 2l ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2π2·4－x 2＝14πx 24－x 2，即V 2＝116π2x 4(4－x 2)．设t ＝x 2∈(0，3]，则u ＝t 2(4－t)，u ′＝－3t 2＋8t ＝－3t ⎝⎛⎭⎫t －83， 令u′＝0，得t ＝83.当83＜t ≤3时，u ′＜0，u 是减函数；当0＜t ＜83时，u ′＞0，u 是增函数，∴ 当t ＝83时，u 有极大值，也是最大值，∴ 当x ＝23 6 m 时，V 有最大值439π m 3，此时y ＝4－x 2＝233 m. 故裁一个矩形，两边长分别为23 6 m 和23 3 m ，能使圆柱的体积最大，其最大值为439πm 3.某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：① y 与(a －x)和x 2的乘积成正比；② x ∈⎝⎛⎦⎤0，2am 2m ＋1，其中m 是常数．若x ＝a2时，y＝a 3.(1) 求产品增加值y 关于x 的表达式；(2) 求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1) 设y ＝f(x)＝k(a －x)x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f(x)＝8(a －x)x 2 ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2am 2m ＋1. (2) 因为f′(x)＝－24x 2＋16ax ，令f′(x)＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3.① 当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 3时，f ′(x)＞0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a3上是增函数， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2am 2m ＋1时，f ′(x)＜0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2am 2m ＋1上是减函数，所以y max ＝f ⎝⎛⎭⎫2a 3＝3227a 3；② 当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2am 2m ＋1时，f ′(x)＞0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2am 2m ＋1上是增函数，所以y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2am 2m ＋1＝32m 2（2m ＋1）3a 3. 综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3；当0＜m ＜1时，投入2am2m ＋1万元，最大增加值32m 2（2m ＋1）3a 3.题型二 通过建立不等式模型来解应用题例2 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异)．(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h ，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 min ，问：内、外环线应各投入几列列车运行？解：(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知309v ×60≤10v ≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.(2) 设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1、t 2 min ，则t 1＝3025x ×60＝72x ，t 2＝3030（18－x ）×60＝6018－x.于是有|t 1－t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72x －6018－x ≤1⎩⎪⎨⎪⎧x 2－150x ＋1 296≤0x 2＋114x －1 296≤0150－17 3162≤x ≤－114＋18 1802.又x ∈N *，所以x ＝10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1 min.如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛距地面的距离为 3 m.(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2 m 的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解：(1) 作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°.又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3 m. 由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝ 3. 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为2 3 m. (2) 连结SM 、SN ，设SN ＝a ，SM ＝b. 在△SON 和△SOM 中，（23）2＋1－b 22·23·1＝－（23）2＋1－a 22·23·1，得a 2＋b 2＝26.cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12.又∠MSN ∈(0，π), 则∠MSN ＜π3.故摄影者可以将彩杆全部摄入画面． 题型三 通过建立三角模型来解应用题 例3 在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 和灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD ＝24 m ．设灯柱高AB ＝h(m)，∠ACB ＝θ(30°≤θ≤45°)．(1) 求灯柱的高h(用θ表示)；(2) 若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．解：(1) ∵ ∠ABC ＝120°，∠ACB ＝θ， ∴ ∠BAC ＝60°－θ.∵ ∠BAD ＝90°，∴ ∠CAD ＝30°＋θ. ∵ ∠ACD ＝60°，∴ ∠ADC ＝90°－θ.在△ACD 中，∵ AD sin ∠ACD ＝ACsin ∠ADC ，∴ AC ＝24cos θsin60°＝163cos θ.在△ABC 中，∵ AB sin ∠ACB ＝ACsinB ，∴ AB ＝ACsin θsin120°＝16sin2θ，即h ＝16sin2θ.(2) 在△ABC 中，∵ BC sin ∠BAC ＝ACsinB ，∴ BC ＝ACsin （60°－θ）sin120°＝32cos θsin(60°－θ)＝83＋83cos2θ－8sin2θ.则S ＝AB ＋BC ＝83＋83cos2θ＋8sin2θ ＝83＋16sin (2θ＋60°)．∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°.∴ 当θ＝45°时，S 取得最小值为(83＋8)m.如图所示，一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1、A 2、A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B)，同时点C 与点A 1、A 2、A 3、B 均用细绳相连接，且细绳CA 1、CA 2、CA 3的长度相等．设细绳的总长为y.(1) 设∠CA 1O ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2) 请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．解：(1) 在Rt △COA 1中，CA 1＝2cos θ，CO ＝2tan θ，则y ＝3CA 1＋CB ＝3·2cos θ＋(2－2tanθ)＝2（3－sin θ）cos θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4.(2) y′＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos 2θ－（3－sin θ）（－sin θ）cos 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin θ－1cos 2θ. 令y′＝0，则sin θ＝13.当sin θ>13时，y ′>0；当sin θ<13时，y ′<0.∵ y ＝sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴ 当角θ满足sin θ＝13时，y 最小，最小值为42＋2，此时BC ＝⎝⎛⎭⎫2－22 m.题型四 通过建立方程来解决应用问题例4 将52名志愿者分成A 、B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A 、B 两组同时开始种植．(1) 根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用25 h ，种植一捆沙棘树苗用12h ．应如何分配A 、B 两组的人数，使植树活动持续时间最短；(2) 在按(1)分配的人数种植1 h 后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25h ，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23h ，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：(1) 设A 组人数为x ，且0<x<52，x ∈N *，则A 组活动所需时间f(x)＝150×25x ＝60x ；B 组活动所需时间g(x)＝200×1252－x ＝10052－x.令f(x)＝g(x)，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392.所以两组同时开始的植树活动所需时间F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x，x ≤19，x ∈N *，10052－x ，x ≥20，x ∈N *，而F(19)＝6019，F(20)＝258，故F(19)>F(20)．所以当A 、B 两组人数分别为20、32时，植树活动持续时间最短．(2) A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367(h)，B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323(h),所以植树活动所持续的时间为367h.为了迎接青奥会，南京在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5 m ，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1) 求灯罩轴线所在的直线方程； (2) 若路宽为10 m ，求灯柱的高．解：(1) 由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A(2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k(x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0.则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k ＝12.故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6.(2) 由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5.又CF ＝1，则CD ＝6. 答：灯柱的高为6 m.1. (2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，λ＝2. 2. (2013·湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝________．答案：13解析：n ＝3×120＋80＋6060＝13.3. 设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线r 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线r 的离心率等于________．答案：12或32解析：∵ |PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，k>0，若圆锥曲线为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6k ，2c ＝|F 1F 2|＝3k ，则离心率e ＝2c 2a ＝3k 6k ＝12；当圆锥曲线为双曲线时，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2k ，2c ＝|F 1F 2|＝3k ，离心率e ＝2c 2a ＝3k 2k ＝32.4. (2014·江苏卷)设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.答案：24解析：由题意，在抽测的60株树木中，底面周长小于100 cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.5. (2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC ＝35.(1) 求索道AB 的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1) ∵ cosA ＝1213，cosC ＝35.∴ A 、C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sinA ＝513，sinC ＝45.∴ sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝6365.根据AB sinC ＝ACsinB，得AB＝AC sinBsinC ＝1 040 m ， 所以索道AB 的长为1 040 m.(2) 设乙出发t min 后，甲、乙距离为d ，则d 2＝(130t)2＋(100＋50t)2－2×130t ×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．∵ 0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，∴ 当t ＝3537时，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AC sinB ，得BC ＝AC sinB sinA ＝1 2606365×513＝500(m)，乙从B 出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙的步行速度为v m/min ，则⎪⎪⎪⎪500v －71050≤3.∴ －3≤500v －71050≤3，∴ 1 25043≤v ≤62514.∴ 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(m/min)范围内．6. (2014·上海卷)如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35 m ，CB 长80 m ，设A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01 m)? (2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长(结果精确到0.01 m)．解：(1) 由题得，∵α≥2β，且0<2β≤α<π2，∴ tan α≥tan2β，即|CD|35≥|CD|401－|CD|26 400，解得|CD|≤202，∴ |CD|≈28.28 m.(2) 由题得，∠ADB ＝180°－38.12°－18.45°＝123.43°， ∵35＋80sin123.43°＝|AD|sin18.45°，∴ |AD|≈43.61 m.∵ |CD|2＝352＋|AD|2－2×35×|AD|×cos38.12°， ∴ |CD|≈26.93 m.(本题模拟高考评分标准，满分14分)第十八届省运会于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10 m 的圆弧围成，两圆心O 1、O 2之间的距离为10 m.(1) 如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A 、B 、C 、D 均在圆弧上，O 1O 2⊥AB 于点M.设∠AO 2M ＝θ，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；(2) 如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2 m 的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA ＝NB ，NO 2＝4 m ．若∠AO 2M ＝θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，求喷泉面积的取值范围．解：(1) 在直角△AO 2M 中，AM ＝10sin θ，O 2M ＝10cos θ，则AD ＝20cos θ＋10， 所以矩形ABCD 的面积S ＝20sin θ(20cos θ＋10)＝200(2sin θcos θ＋sin θ)，(4分) 令f(θ)＝2sin θcos θ＋sin θ，0<θ≤π3，则f′(θ)＝2cos2θ＋cos θ＝4cos 2θ＋cos θ－2， 令f′(θ)＝0，得cos θ＝33－18.设cos θ0＝33－18，且0<θ0≤π3，列表如下：Z ]所以当θ(2) 由(1)易得，喷泉的面积S ＝20sin θ(10cos θ＋4)＝100sin2θ＋80sin θ，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4知，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以函数g(θ)＝100sin2θ＋80sin θ是单调增函数， 所以S ∈[503＋40，100＋402]．(13分) 答：(1) 矩形的宽AB ＝530＋2332m 时，可使喷泉ABCD 的面积最大；(2) 喷泉的面积的取值范围是[503＋40，100＋402](m 2)．(14分)1. 某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC 的支架，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1 m ，且AC 比AB 长0.5 m ．为节省材料，要求AC 的长度越短越好．(1) 设BC ＝x m ，AC ＝y m ，将y 写成关于x 的函数，并写出定义域； (2) 当BC 的长度为多少时，AC 最短，求出最短长度．解：(1) 由题设知BC ＝x m(x>1)，AC ＝y m ，则AB ＝y －12.在△ABC 中，由余弦定理，得⎝⎛⎭⎫y －122＝y 2＋x 2－2xycos60°.所以y ＝x 2－14x －1，定义域为{x|x>1}．(2) (解法1)y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34（x －1）＋2≥2＋3，当且仅当x －1＝34（x －1），即x＝1＋32时，y 有最小值2＋ 3. (解法2)y′＝2x （x －1）－⎝⎛⎭⎫x 2－14（x －1）2＝x 2－2x ＋14（x －1）2.由y′＝0，得x ＝1＋32.因为当1<x<1＋32时，y ′<0； 当x>1＋32时，y ′>0，所以当x ＝1＋32时，y 有最小值2＋ 3.故AC 的最短长度为(2＋3) m ，此时BC 的长度为⎝⎛⎭⎫1＋32 m.2. 某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的税收．设每件产品的售价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．(1) 求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x 的函数关系式；(2) 当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值． 解：(1) 设日销售量为k e x ，则k e 40＝10，∴ k ＝10e 40，则日销售量为10e 40e x 件，售价为x 元时，每件利润为(x －30－a)元，则日利润L(x)＝(x －30－a)10e 40e x ＝10e 40·x －30－a e x(35≤x ≤41)． (2) L′(x)＝10e 40·31＋a －x e 2x. ① 当2≤a ≤4时，33≤31＋a ≤35，而35≤x ≤41，∴ L ′(x)≤0，L(x)在[35，41]上是单调递减函数，则当x ＝35时，L(x)取得最大值为10(5－a)e 5.② 当4<a ≤5时，35<31＋a ≤36，令L′(x)＝0，得x ＝a ＋31.当x ∈[35，a ＋31)时，L ′(x)>0，L(x)在[35，a ＋31)上是单调递增函数；当x ∈(a ＋31，41]时，L ′(x)<0，L(x)在(a ＋31，41]上是单调递减函数．∴ 当x ＝a ＋31时，L(x)取得最大值为10e 9－a .综上，当2≤a ≤4时，L(x)max ＝10(5－a)e 5；当4<a ≤5时，L(x)max ＝10e 9－a .请使用“课后训练·第23讲”活页练习，及时查漏补缺！。

一，填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中圆素地个数为_______.【结果】5【思路】试题思路：{123}{245}{12345}5A B == ，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据地平均数为________.【结果】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位）,则z 地模为_______.【思路】试题思路：22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数地模,可知输出地结果S 为________.【结果】7【思路】试题思路：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环,输出7.S =考点：循环结构流程图5.袋中有形状，大小都相同地4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同地概率为________.【结果】5.6（第4题图）考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -地值为______.【结果】3-【思路】试题思路：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-考点：向量相等7.不等式224x x-<地解集为________.【结果】(1,2).-【思路】试题思路：由题意得：2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2).-考点：解指数不等式与一圆二次不等式8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β地值为_______.【结果】3【思路】试题思路：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作地底面半径为5,高为4地圆锥和底面半径为2，高为8地圆柱各一个。

题型一
参数法在函数问题中的应用
综上所述，当 k<－ 1＋ 2 2时， f(k· 3x)＋ f(3x － 9x － 2)<0 对任意 x∈R 恒成立.
x
2 方法二 由 k· 3 <－3 ＋9 ＋2，得 k<3 ＋ x－1. 3 2 x u＝3 ＋ x－1≥2 2－1,3x＝ 2时，取“＝”，即 u 的最 3
数列{an}中的最小项是－5，故不是数列中的项． 所以满足条件的正整数m的值为2.
题型三
例3
参数法在不等式中的应用
已知2x＝3y＝5z，试比较2x、3y、5z的大小．
破题切入点
本题的解决需要引入中间变量t(参数)，必须使得x，y，z都能
用这个参数t表示，而后通过作差即可进行大小的比较．
解
设2x＝3y＝5z＝t(t>1)，
精题狂练
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解析 如图作出区域D，
目标函数 z＝ 2x＋y 过点( 2，2)时取最大值，
故 z 的最大值为 2× 2＋2＝4.
答案 4
精题狂练
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3．将函数 y＝ 3cos x＋sin x(x∈R) 的图象向左平移 m(m＞0)
个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ________．
题型一
参数法在函数问题中的应用
破题切入点
将 恒成立问题转化
(3)若f(k· 3x)＋f(3x －9x －2)<0对任意x∈R
恒成立，求实数k的取值范围．

附加题全真模拟卷(8)(满分40分,时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题作答,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1 几何证明选讲如图,锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E,若△ABC的面积S=34AD·AE,求∠BAC的大小.(第21-A题)B. 选修4-2 矩阵与变换已知矩阵M=1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦,β=17⎡⎤⎢⎥⎣⎦,计算M6β.C. 选修4-4 坐标系与参数方程在极坐标系中,求点Mπ2,6⎛⎫⎪⎝⎭关于直线θ=π4的对称点N的极坐标,并求MN的长.D. 选修4-5 不等式选讲设正数a,b,c满足a+b+c≤3,求证:11a++11b++11c+≥32.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 用数学归纳法证明:(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx,其中x∈R,n∈N*,i为虚数单位.23. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2,BB1=3,D为A1C1的中点,E为B1C的中点.(1) 求直线BE与A1C所成角的余弦值;(2) 在线段AA1上取一点F,问:AF为何值时,CF⊥平面B1DF?(第23题)欢迎下载，资料仅供参考!!!。