等价关系

定义1.4.1

定理1.4.1

作业

§1.4等价关系

初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间．

定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△．

定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△(X)R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果，即对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx；关系R称为反对称的，如果，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同

时成立；关系R称为传递的，如果R R R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz．

集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系．

容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系．

集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集

{（A，B）|A，B∈P(X)，A=B}

从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系．

集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）×P(X)的子集

{（A，B）|A，B∈P (X)，A B}

根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系．

集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集

{(A，B)|A，B∈P(X)，A B,A≠B}

根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系．

实数集合R中有一个通常的小于关系＜，即R×R的子集

{（x，y）|x，y∈R，x＜y}

容易验证关系＜是反对称的，传递的，但不是自反的．

设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系≡p如下：

={（x，y）∈Z×Z|存在n∈Z使得x－y=np}

关系常称为模p等价关系，容易验证模p等价关系是自反的，对称的，传递的，因此是Z中的一个等价关系．

定义1.4.3 设R是集合X中的一个等价关系．集合X中的两个点x，y，如果满足条件：xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的；对于每一个x∈X，集合X的子集：{y∈X|xRy}

称为x的R等价类或等价类，常记作或[x]，并且任何一个y∈都称为R等价类

的一个代表元素；集族{| x∈X}称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X／R．我们考虑整数集合Z中的模2等价关系,易见，13和28．因此1与3是等价的，2和8也是等价的．整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都

可以叫做这个等价类的一个代表元素．此外易见，商集Z/有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合．

下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.

定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系．则：

（1）如果x∈X，则x∈，因而；

（2）对于任意x，y∈X，或者=，或者证明（1）设x∈X，由于R是自反的，所以xRx，因此x∈,∴≠．

（3）对于任意x，y∈X，如果，设z∈[x]∩[y].此时有zRx,且zRy．由于R是对称的，所以xRz．又由于R是传递的，所以xRy．

对于任何一个t∈，有tRx，由上述xRy和R的传递性可见tRy，即t∈．这证明

同理可证．因此=

(注意:要证或者…或者…,应从以下入手:否定掉一个,去证另一个)

在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p的等价关系将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作，称为整数x的模p同余类．

让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系～，使得两个固定向量x和y～相关（即x～y）当且仅当x能通过平面（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合．容易验证这个关系～是X中的一个等价关系．每一个～等价类便称为一个自由向量．

作业:

熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成