维纳滤波原理及其应用

HRxx1Rxs
求得H后，这时的均方误差为最小：记最佳的H为
H Hopt (n)
.
E
e 2 (n ) min
E
(
s(
n
)
hopt (m ) x(n
m0
m
)
)
2
E[s2(n) 2s(n) h(m)x(n m) m0
hopt (m ) x(n m )hopt (r ) x(n r )]
h(n) x(n)s(n)w(n)
y(n) sˆ(n)
.
解：已知信号的自相关和噪声的自相关为：
Rss(m)0.6m Rww(m)(m)
1
Rss(j) hopt(m)[Rss(jm)Rww(jm)] m0
j 0 12h(0)0.6h(1) j 1 0.60.6h(0)2h(1) 解得： h (0 ) 0 .4 5 1h ( 1 ) 0 .1 6 5
.
设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是 h ( n ) ， 当输入一个观测到的随机信号 x ( n ) ，简称观测值，
且该信号包含噪声 和w (有n )用信号 ，s ( n简) 称信
号，也即
x(n)s(n)w (n) (1)
则输出为
y(n)x(n)h(n)h(m )x(nm ) (2) m
.
求得最小均方误差：
1
E [e 2 (n )]m in R s s(0 )h (m )R s s(m ) 1 h (0 ) 0 .6 h (1 ) 0 .4 5 m 0
.
2 维纳滤波器的应用
要设计维纳滤波器必须知道观测信号和估计信号 之间的相关函数，即先验知识。如果我们不知道 它们之间的相关函数，就必须先对它们的统计特 性做估计，然后才能设计出维纳滤波器，这样设 计出的滤波器被称为“后验维纳滤波器”。

图3.1 RLS算法下的误差信号以及滤波处理后的输出信号
图3.2 LMS算法下的误差信号以及滤波处理后的输出信号
图3.3维纳滤波的输入受干扰信号以及滤波输出信号
上图中红色是滤波后的输出信号，通过对比可以发现RLS算法下的输出信号比LMS算法下的输出信号要稳定的多。可以看到在RLS算法下的误差信号在迭代次数200次左右的时候变化较快较大，这是因为滤波器的阶数是200。可以看到在LMS算法下的输出信号在迭代次数200次以前是还没有达到收敛的，这是因为自适应滤波器的阶数是200阶，在200次之后，信号才是真正的滤波器的输出信号。由维纳滤波器的输出信号可以看到，在前200次，波形都是不稳定的，这是因为滤波器的阶数是200，在这之前还没有求得最佳的滤波器的系数，之后输出波形基本稳定，并且有效的抑制了噪声。但是基于维纳滤波器的求解过程中要求知道信号的统计特性，因此适用范围有限，并且计算自相关矩阵以及求其逆时需要占用极大的内存。
四
[1]张贤达．现代信号处理[M]．北京：清华大学出版社，2004．
[2]丁玉美．数字信号处理[M]．西安：西安电子科技大学出版社，2003．
[3]王正林，刘明．精通MATLAB 7[M]．北京：电子工业出版社，2006（7）．
五
课程设计
RLS、LMS及维纳滤波算法在噪声背景下的信号提取
院系：
专业：
学生姓名：
学号：
指导教授：
二○一三年十二月
一
噪声无处不在，在通信领域，噪声干扰是屡见不鲜的事情。前人做了很多从噪声中提取信号的相关工作。在本次实验中，主要是运用经典的最小均方误差方法，使用的是LMS准则，以及最小二乘方法，使用的是RLS准则，对这两种方法的降噪效果进行对比和分析。
3

{ } = E x(n) 2 + x(n)v2* (n)+ x* (n)v2 (n)+ v2 (n) 2
=
rx (0)+
s
2 2
r(1)= E{u(n)u* (n - 1)}
{ } = E 轾 臌x(n)+ v2 (n) 轾 臌x(n - 1)+ v2 (n - 1) * = rx (1)
25
p(0)= E{u(n)d* (n)}
• 开关K1打向B1，K2打向B2 ，进入工作过程， 对输入信号进行滤波处理
• 求出滤波器权值的学习过程是最优滤波问题的 关键
7
4.2 维纳滤波原理
4.2.1 均方误差准则及误差性能面 已知估计误差
e(n) = d (n)- dˆ(n) = d (n)- wHu(n)= d (n)- uT (n)w* 定义e(n)的平均功率为
(n -
N
m)
+j
÷÷÷÷
+
E{v(n)v(n -
m)}
=
1 2
cos骣 ççç桫2pNm÷÷÷+
E{v(n)v(n -
m)}
∴
r (m) =
ìïïïïïíïïïïïî
1 2
cos骣 ççç桫2pN×0÷÷÷+
1 2
cos骣 ççç桫2Np
÷÷÷,
s
2 v
=
0.5 +
s
2 v
,
m= 0 m= 1
19
???
+
4s
2 v
+
4s
4 v
J (w)=
s
2 d
-

k 0 n n
rxx(λ-k)
rzx(λ)
第八章 维纳滤波 维纳-何甫积分方 程式(离散形式)：
中原工学院
N xx
机电学院
h(k )r
k 0
N
( k ) rzx ( ) 或 h(k )rxx (k ) rzx ( )
k 0
自相关函数为偶函数
▲ 维纳滤波器 如果已知x(n)与所要求的输出信号z(n)，则当x(n)的自相关函 数和z(n)与x(n)的互相关函数为已知时，求解维纳-何甫方程，即可求得满足均 方误差最小的滤波因子h(n)。这就是按照最小平方准则设计的线性滤波系统， 它是一个最佳系统，通常称为维纳滤波器。 这是一个对 称 矩阵 。 卷积形式：
第八章 维纳滤波
中原工学院
机电学院
第二节
反滤波
一、回声鸣震现象及反滤波
问题的提出：在某些情况下（例如，在大礼堂内演讲，由于墙壁多次反射， 而造成回声交混，形成一片轰鸣声，使人们听不清讲话内容）所录取的信号， 可认为是原始信号经过几个物理系统（信号传输的路径或通道）作用的结果， 或者看成是源信号经过几个物理滤波器以串联形式滤波的结果。这时，采用 反滤波方法可以使真正源信号从干扰中恢复出来。
n n n n
期望输出s(n)与输入x(n)的互相关函数为
n n
rsx (k ) s(n k ) x(n) s(n k )[s(n) n(n)] rss (k )
如果以 Rss(ejω) 和 Rnn(ejω) 分别表示 rss(k) 和 rnn(k) 的频谱，即分别为 s(n) 和 n(n) 的功率谱，则在对维纳滤波的时间范围不加限制的情况下，由式H(ejω)=Rzs(ejω)/ Rxx(ejω)，可以得到维纳滤波器的频率响应应为：