任意项级数,绝对收敛

无穷级数中的柯西定理和黎曼定理在《微积分》（上册）第364页上提到柯西定理和黎曼定理，它们说的是绝对收敛级数与非绝对收敛级数（即条件收敛级数）各自的特性或两者的区别。

设有级数而它对应的绝对值级数为令，，因为，，所以若级数收敛，则正项级数和都收敛（比较判别法），从而级数也收敛。

此时，称的收敛性为绝对收敛。

其次，若级数发散，但级数收敛，则后者的收敛性称为非绝对收敛或条件收敛。

此时，和都发散，（反证法）譬如若收敛，根据，则也收敛，从而也收敛，这与发散的假设矛盾。

现在，设有收敛的任意项级数（★）用任意方式重新配置级数（★）的项的次序（即用任意方法交换它的项的次序），得到新的级数（★★）原来级数的每一项都不遗漏也不重复出现在新级数中，而新级数各项也都是原级数中的项（没有添加新的项），并且认为新级数的项对应原级数的项记为。

现在所要讨论的问题是：（1）级数（★★）是否仍收敛？（2）若收敛，它是否仍收敛于级数（★）的和数？在讨论这两个问题时，必须把级数的绝对收敛与非绝对收敛（即条件收敛）区别开来。

柯西定理若级数（★）绝对收敛，则任意交换它的项的次序后重新得到的级数（★★）仍收敛，而且和数不改变。

换句话说，绝对收敛级数具有任意项之间的可交换性。

证首先假设级数（★）是正项收敛级数。

因为级数（★★）的部分和单调增大有上界，所以级数（★★）收敛，并且和；另一方面，对于级数（★）的部分和，取足够大，使包含项，则，先让，再让，则得，因此，其次，假若（★）是任意项的绝对收敛级数，其中，当用任意方式重新配置级数（★）的项的次序时，得到的新级数（★★）的项，根据上面所证，和都收敛，而且，。

因此，即用任意方式重新配置级数（★）的项的次序时，得到的新级数（★★）仍收敛且和数不改变。

黎曼定理若级数（★）条件收敛（即非绝对收敛），则适当交换它的项的次序，可使它收敛到预先给定的任何数值，也可使它发散到或。

证因为级数（★）条件收敛，所以和（但是，，）。

本章节基本考点以及解题方法1.基本考点：● 级数的敛散性；● 幂级数的收敛半径和收敛区间； ● 函数展开成幂级数； ● 求幂级数的和函数；●给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结)2.解题方法归纳：● 级数的敛散性此考点分为3种题型： （1）正项级数 比较审敛法：nn n n )12(1∑∞=+ 比较审敛法的极限形式： ))10(1(32∑∞=-+n n n n∑∞=+1)11ln(n n 分析：比值审敛法： ∑∞=•1!2n nn n n 分析：（2）交错项级数 莱布——尼兹定理：∑∞=+-111)1(n nn（3）任意项级数绝对收敛与相对收敛： 分析：注意：要学会这三种方法的综合运用！● 幂级数的收敛半径和收敛区间 此考点分为三种题型：（1）∑∞=-1)1(n n nn x （2）∑∞=--1)21(2)1(n n n n x n （3）∑∞=-11221n n n x对于（1）有：a. 利用定理2得收敛半径；b. 分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（2）有： a. 令t ；b. 利用定理2得t 的收敛半径；c. 将t 的范围转化为了x 的范围，并分析区间端点的敛散性得收敛区间； 对于（3）有：只能通过“比值审敛法&绝对收敛”求其收敛区间；● 函数展开成幂级数； 此考点分为两种题型：（1）展开成x 的幂级数 （1）)4(1)(x x f +=（2）x e x x f 22)(=（2）展开成)(0x x -幂级数● 求幂级数的和函数；大都是建立在7个常用函数展开式的基础之上进行分析的，通过恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）等方法，求得展开式或和函数；难点体现在“恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）”这个问题上，故重点讨论之；以“典型例题在恒等变换时设计到的问题”为讨论的基础：附：7个常用的函数展开式① ),(.....!1+∞-∞∈=∑∞=x x n e n nx② ),(.....!121)1(/)!12(1)1(sin 0121121+∞-∞∈+---=∑∑∞=+∞=--x x n x n x n n n n n n ）（③ ),(.....)!2(1)1(cos 02+∞-∞∈-=∑∞=x x n x n n n④)1,1( (11)0-∈=-∑∞=x x x n n ⑤)1,1(......)1(11-∈-=+∑∞=x x x n n n ⑥ ]1,1(......11)1(/1)1()1ln(0111-∈+--=+∑∑∞=+∞=-x x n x n x n n n n n n ⑦ ]1,1(......11/1)1ln(101-∈+=-∑∑∞=∞=+x x n x n x n n n n● 给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；(逻辑思维比较强，需要多多总结，多以选择题为主！)做这些题目之前一定要知道的一些知识：（1）与“级数收敛的必要条件”有关的几个问题【2组4项】 对于级数∑∞=1n nu，有以下分析：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ； 若级数∑∞=1n nu发散，则k u n n =∞→lim （k 可以为0）；若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n nu 的敛散性不确定； 若0lim ≠=∞→k u n n ，则必发散；分析：这种类型题的考点在于“正项级数”与“不确定是否为正项级数”两种情况● 对于“正项级数”，只需要以以上两种为基础进行分析，问题即可解决；对于“不确定是否为正项级数”，以上两种分析是基础，另外还需结合——“交错项级数、任意项级数”的分析方法，并结合“P-级数（很重要，它在选择题中起到的作用很”；（2）与“级数的基本性质3、4”有关的几个问题【3组】① 在两个级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv中，有以下分析：若一个收敛，一个发散，则有)(1∑∞=±n n nv u发散；若两者都收敛，则)(1∑∞=±n n nv u收敛；若两者都发散，则)(1∑∞=±n n nv u的敛散性不确定；② 对①反过来有：若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必收敛；若级数)(1∑∞=±n n nv u收敛若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu必发散；若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu必发散；若级数)(1∑∞=±n n nv u发散若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu不确定；③ 对两个级数的乘积分析 a. 两个级数收敛 乘： nn1)1(-（收敛） / 211)1(n n -（发散） 除： 41)1(n n-与21)1(n n -（收敛） / n n 1)1(-（发散）b. 两个级数发散乘：n1（收敛） / 211n （发散） 除： n 1与211n （收敛） / n1（发散） c.一个收敛、一个发散乘：n 1与21n（收敛） / 321n 与231n （发散） 除： n 1与31n （收敛） / n 1与21n（发散）综上所述有：两个级数相乘、相除，结果的敛散性不能确定；（极限中无穷小的概念要深刻体会！） （3）级数的“绝对值、次方”产生的问题∑∞=1)(n k nu（其中0>k ，k 奇偶不分）收敛；∑∞=1n nu收敛；这是很多问题分析的基础！（4）只有当两个级数收敛时，才可以比较其和的大小！ 如：若),3,2,1( =<n v u n n ，则∑∑∞=∞=≤11n n n nv u.............（错误）（5）级数的收敛域问题“收敛域的端点值是否收敛？”这个问题要好好考虑！考点体现在：通过四则运算，得到其收敛半径相同，但是这个四则运算有可能会改变端点值的敛散性，因此收敛域有可能会不同。

函数项级数收敛性函数项级数是指由函数项按照一定规则排列组成的级数。

在研究级数的收敛性时，我们通常关注的是序列的部分和序列，即部分和序列的极限是否存在。

在本文中，我们将介绍函数项级数的收敛性及其相关概念。

1. 函数项级数的定义考虑一个函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$，其中$\displaystyle a_{n} ( x)$为关于变量$\displaystyle x$的函数。

对于任意固定的$\displaystyle x$，元素$\displaystyle a_{n} ( x)$称为级数的通项。

部分和序列$\displaystyle S_{n} ( x)$定义为$\displaystyle S_{n} ( x) =\sum _{k=1}^{n} a_{k} ( x)$。

2. 函数项级数的收敛性函数项级数的收敛性与序列的收敛性密切相关。

函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystylex$收敛，即当$\displaystyle n$趋于无穷时，部分和序列$\displaystyleS_{n} ( x)$的极限存在，记为$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x) =S( x)$。

如果对于所有$\displaystyle x$都有$\displaystyle S( x) \neq\infty ,S( x) \neq -\infty$，则称级数在$\displaystyle x$上绝对收敛。

3. 收敛性判定准则对于函数项级数的收敛性判定，有以下几个准则:3.1 Cauchy准则函数项级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} ( x)$在某一点$\displaystyle x$处收敛的充分必要条件是，对于任意正数$\displaystyle \varepsilon$，存在一个正整数$\displaystyle N$，使得当$\displaystyle m,n>N$时，$\displaystyle \left| \sum _{k=n}^{n+m} a_{k} ( x)\right|<\varepsilon$。

关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。

使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。

关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。

如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。

1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。

其中n u 称为该数项级数的通项。

数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。

称为数项级数第n 个部分和。

定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。

若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。

即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。

性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。

（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。