3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B A B B C B C == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图 3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =.当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， 123////l l l ， 且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 解 1232////,,3A B D E l l l B C E F \==Q 28312,.235235DE DF EF DF ====++例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ADE ∴ ∽ABC ，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2） 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ，图3.1-1图3.1-2因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC∴== .AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G .//,EG AC EF FC = ，∴EGF CDF ≅ ，且EG DC =，1//,2EG AD BEG BAD ∴ ，且1,2B E E G B A A D == E ∴为AB 的中点. 可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BDAC DC=. 证明 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//,.BA BDAD CE AE DC\=QQ AD 平分,,BAC BAD DAC 衆??由//AD CE 知,,BADE DAC ACE ?行=?,,EACE AE AC \??即AB BDAC DC\=. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图 3.1-6，123////l l l，下列比例式正确的是图3.1-3 图3.1-4 图3.1-5（ ）A ．ADCE DF BC = B ．ADBCBE AF = C ．CEAD DF BC = D.AFBEDF CE= 2．如图 3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.4．如图，在ABC V 中，BAC Ð的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，求证：A B B DA C D C =.5．如图，在ABC V 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：DF ACEF AB=.3.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ??，求证：图3.1-6图3.1-7 图3.1-8 图3.1-9 图3.1-10DAC CBD ??.证明 在OAB V 与ODC V 中，,,AOB DOC OAB ODC ?行=?\OAB V ∽ODC V ， OA OB OD OC \=，即OA OD OB OC =. 又OAD V 与OBC V 中，AOD BOC ??，\OAD V ∽OBC V ， \DAC CBD ??.例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC =?，2AC CD CB =?；（2）2AD BD CD =?证明 （1）在Rt BAC V 与Rt BDA V 中，B B ??，BAC \V ∽BDA V ，2,.BA BCAB BD BC BD BA \==?即同理可证得2AC CD CB =?.（2）在Rt ABD V 与Rt CAD V 中，90o CCADBAD ?-??，Rt ABD \V ∽Rt CAD V ，2,.AD DCAD BD DC BD AD\==?即 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7 在ABC V 中，,,AD BC D DE AB E DF AC F ^^^于于于，求证：A E AB A F AC ??. 证明 AD B C ^Q ，\ADB V 为直角三角形，又DE AB ^，由射影定理，知2AD AE AB =?. 同理可得2AD AF AC =?.AE AB AF AC \??. 例8 如图3.1-14，在ABC V 中，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上的任意一点，BE 交AD 于点O .某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：图3.1-11图3.1-12图3.1-13（1） 当11211AE AC ==+时，有22321AO AD ==+.（如图3.1-14a ） （2） 当11312AE AC ==+时，有22422AO AD ==+.（如图3.1-14b ） （3） 当11413AE AC ==+时，有22523AO AD ==+.（如图3.1-14c ） 在图3.1-14d 中，当11AE AC n=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数）. 解：依题意可以猜想：当11AE AC n =+时，有22AO AD n=+成立. 证明 过点D 作DF //BE 交AC 于点F ，Q D 是BC 的中点，\F 是EC 的中点， 由11AE AC n =+可知1AE EC n =，22,.2AE AE EF n AF n\==+. 2.2AO AE AD AF n\==+ 想一想，图3.1-14d 中，若1AO AD n =，则?AEAC= 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.练习21．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:A D E B C D ES S V 四边形等于（ ） 图3.1-14A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？5．如图3.1-17,点C 、D 在线段AB 上，PCD V 是等边三角形，（1） 当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，ACP V ∽PDB V ？（2） 当ACP V ∽PDB V 时，求APB Ð的度数.习题3.1 A 组1．如图3.1-18，ABC V 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（ ）A ．DE =1，BC =7B ．DE =2，BC =6 C ．DE =3，BC =5D ．DE =2，BC =82．如图3.1-19，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（ ） A ．1：3 B ．1：4 C ．1：5 D ．1：6图3.1-15 图3.1-16 图3.1-17 图3.1-183．如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .4．如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC ^交AC 于F ，过F 作FG //AB 交AE 于G ，求证：2AG AF FC =?.B 组1．如图3.1-22，已知ABC V 中，AE ：EB =1：3，BD ：DC =2：1，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32 D ．22．如图3.1-23，已知ABC V 周长为1，连结ABC V 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A ．12002 B ．12003 C ．200212 D ．2003123．如图3.1-24，已知M 为ABCD Y 的边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积与ABCD Y 面积的比是（ ） A ．13 B ．14 C ．16 D ．5124．如图3.1-25，梯形ABCD 中，AD //BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF //AD .图3.1-19 图3.1-20图3.1-22 图3.1-23 图3.1-24 图3.1-21（1） 求证：OE =OF ；（2） 求OE OEAD BC+的值； （3） 求证：112AD BC EF+=.C 组1．如图3.1-26，ABC V 中，P 是边AB 上一点，连结CP . （1） 要使A C P V ∽ABC V ，还要补充的一个条件是____________.（2） 若ACP V ∽ABC V ，且:2:A PP B =，则:B C P C =_____.2．如图 3.1-27，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且B AC BD C D A ???. （1） 求证：BE AD CD AE ??；（2） 根据图形的特点，猜想BCDE可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.3．如图3.1-28，在Rt ABC V 中，AB =AC ，90o A?，点D 为BC 上任一点，DF AB ^于F ，DE AC ^于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF V 是什么形状的三角形，并证明你的结论.4．如图3.1-29a ，,,AB BD CD BD ^^垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF BD ^于F ，我们可以证明111AB CD EF+=成立. 图3.1-25图3.1-26 图3.1-27 图3.1-28若将图3.1-29a 中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b ，//,AB CD AD BC 、相交于E ，EF//AB 交BD 于F ，则：（1） 111AB CD EF +=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2） 请找出,ABD BCD S S V V 和EBD S V 之间的关系，并给出证明.第二讲 三角形与圆3.1 相似形 练习11．D2．设510,,,283DE AD x BF x x BC AB x ==∴==+ ，即103BF =. 3．535,.49AB BD BD cm AC DC ==∴=4．作//CF AB 交AD 于F ，则A B B DC FD C=，又A F C F A EF A ∠=∠=∠得,AC CF =AB BDAC DC∴=. 5．作//EG AB 交BC 于G ，,,EG CECEG CAB AB AC∴= 即,AC CE DB AB EG EG ==DF ACEF AB∴=.练习2 1．C2．12，183．2'''115346,()654.25ABC A B C S S =⨯⨯=∴=⨯= 4．（1）因为1////,2EH BD FG 所以EFGH 是平行四边形；（2）当A C B D =时，EFGH 为菱形；当,AC BD AC BD =⊥时，EFGH 为正方形.5．（1）当2CD AC BD =⋅时，ACP PDB ；（2）120oAPB ∠=.图3.1-29习题3.1 A 组1．B 2.B 3.9CDF S =4．BF 为直角三角形ABC 斜边上的高，2BF AF FC =⋅，又可证,AG BF =2AG AF FC ∴=⋅.B 组1．C 2.C 3.A4．（1）//,,EO AE DE OF AD BC EO OF BC AB DC BC ∴==== .（2） 1.OE OE AE BEAD BC AB AB +=+=（3）由（2）知1112.AD BC OE EF+== C 组1.(1)2AC AP AB =⋅或ACP B ∠=∠.(2):BC PC =2．（1）先证AEB ADC ，可得BE AE CD AD =；（2）,BC AB ADADE ACB DE AE AC∴== . 3．连AD 交EF 于O ，连OM ，ABC 为等腰直角三角形，且AEDF 为矩形，OM ∴为Rt AMD 斜边的中线，11,22OM AD EF ==MEF ∴ 为直角三角形.又可证BMF AME ≅ ，得MF ME =，故MEF 为等腰直角三角形.4．（1）成立，1111,.EF EF FD BF AB CD BD BD AB CD EF +=+=∴+= （2）111ABD BCD EBDS S S += ，证略.。
