小学奥数36个经典(16-19)

1 第16讲 逻辑推理 内容概述 体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应——“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示．需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题．

典型问题 1．共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记3分，第三名记2分，第四名记1分．已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分．问总分第二名在铅球项目中的得分是多少? 【分析与解】 每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11×4=44分，而第一，

三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为44(1711)16分 其中第四名得分最少为4分，此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分； 那么第二名只能为12分，此时第四名4分． 于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、1l、4分，而17只能是 5+5+5+2，4只能是1+1+1+1. 不难得到下表：

由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分． 2．4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数．问：输给第一名的队的总分是多少?

【分析与解】 四个队共赛了244362C场，6场总分m在12(=6×2)与18(=6×3)之间． 由于m是4个连续自然数的和，所以m=2＋3＋4=5＝14或m=3+4+5=18． 如果m=18，那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾． 所以m=14，14=3×2+2×4表明6场中只有2场分出胜负．此时第一、二、三、四名得分依次为5、4、3、2． 则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名． 即输给第一名的队得4分．

如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条,AB，表示A胜,B各队用它们的得分来表示． 2

评注：常见的体育比赛模式 N个队进行淘汰赛，至少要打1N场比赛：每场比赛淘汰一名选手；

N个队进行循环赛，一共要打2(1)2NNNC场比赛：每个队要打1N场比赛．

循环赛中常见的积分方式： ①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分； 核心关系：总积分=2×比赛场次； ②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分； 核心关系：总计分=3×比赛场次-1×赛平场次． 3． 6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分．现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同．已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分?最少可得多少分? 【分析与解】 每轮赛3场，最多产生339分，四轮最多4936分．现在有4场踢成平局，每平一场少1分，所以总分为364132． 前三名得分的和至少为78924. 所以后三名的得分的和至多为32248.

第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为459,这不可能，所以第5名最多得3分，图(a)为取3分时的一种可能的赛况图． 显然第5名最少得1分，图(b)为取1分时的一种可能的赛况图．

评注：以下由第5名得分情况给出详细赛况： 3

4．某商品的编号是一个三位数．现有5个三位数：874，765，123，364，925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．那么这个三位数是多少? 【分析与解】 方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字．五个数，就要有五次相同，列出这五个数：874，765， 123，364，925百位上五个数各不相同，十位上有两个6和两个2，个位上有两个4和两个5． 因此，商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定5个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟5个数中的一个百位数字相同． 若商品编号的个位数字是5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要求(事实上，十位数字只能取7，而十位上只有一个7)． 若商品编号的个位数字是4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2，可取十位数字为2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7，所以商品的编号为724． 如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字．因此解的过程中用“拿走”这一说法是恰当的． 方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5． 如果是3，那么874，765，364，925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字(百位有一个相同，十位有两个相同)，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾． 如果是5，那么765，925的个位数字是5，从而商品号码的十位数字不是6、2，因此必须是7．这时123、364中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾． 所以，该商品号码的个位数字只能是4，而且这个号码应为724． 即这个三位数为724． 5．某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁．求最大的男孩的岁数． 【分析与解】 本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩． 当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10岁，那么最小的男孩为1046－＝岁，则4岁定是最小的女孩，那么最大的男孩是4+4：8岁，满足题意； 当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10岁，那么最小的女孩为10—4=6岁.则4岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为4+4=8岁，也就是说4个年龄不同的女孩的年龄在6—8之间，显然得不到满足． 于是，最大的男孩为8岁． ． 6．某次考试满分是100分，A，B，C，D，E这5个人参加了这次考试． A说：“我得了94分．” B说：“我在5个人中得分最高．” C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数．” D说：“我的得分恰好是5个人的平均分．” E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二．” 问这5个人各得了多少分? 【分析与解】 B、E分别为第一、二名，C介于A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，得5人平均分的人为最后一名，显然不满足． 于是D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98或96(如果为100，则B、E无法取值)，D、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94，有E比C高2分，则E、D、C、A得分依次为98、98、96、94或97、96、95、94.对应5个人的平均分为98或96，而B的得分对应为104或98，显然B得不到104分． 所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94． 7．在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶．其命中情况如下： ①每人4发子弹所命中的环数各不相同； ②每人4发子弹所命中的总环数均为17环； 4

③乙有2发命中的环数分别与甲其中的2发一样，乙另2发命中的环数与丙其中的2发一样： ④甲与丙只有1发环数相同； ⑤每人每发子弹的最好成绩不超过7环． 问：甲与丙命中的相同环数是几? 【分析与解】 条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之． 第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过7环、四发子弹命中的环型不相同，和为17环的所有情况； 第二步：在这些情况中去掉不符合条件③、④的，剩下的就是符合全部条利的情况，即为答案． 满足条件①、②、⑤的只有如下四种情况：

甲乙 .763117()17.754117()AB杯都有和；杯

丙 .753217()45.654217()CD杯都有和杯 从上述四个式子中看出式A与式B有数字1、7相同；式B与式D有数字4和5相同．式B既与式A有两个数字相同，又与式D有两个数字相同，式B就是乙． 式A与式D对应为甲和丙． 式A与式D相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6． 5

第17讲 赛况分析 内容概述 赛况分析是一些学校近年考试的热点，我们再给出几例，希望大家在掌握了下面的知识点以后，多多练习． 常见的体育比赛模式： N个队进行淘汰赛，至少要打N-1场比赛：每场比赛淘汰一名选手；

N个队进行循环赛，一共要打2NNN-1C2（）场比赛：每个队要打N-1场比赛． 循环赛中常见的积分方式： ①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分； 核心关系：总积分=2×比赛场次； ②三分制：胜一场得3分，平一场得1分。负一场得0分； 核心关系：总计分=3×比赛场次一1×赛平场次．

典型问题 2．一次围棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每队不少于2人，每个人都与其他的9人比赛，每盘胜者得2分，负者得0分，平居各得1分．结果乙队平均得分为5.2分，丙队平均分17分，试求甲队的平均分． 【分析与解】 因为每队的总分均为整数，所以乙队为5人，那么乙队的总为26分．考虑丙队的情况：选手所能得到的最高分为18分，而丙队中的最高不少于17分． 当最高分为18分，次高分至多为16分，第三名至多14分，„„，前两名的平均分为17分． 当最高分为17分，次高分至多为17分，第三名至多14分，„„，第一名/前两名的平均分为17分． 因为丙队不少于2人，所以丙队2人，则丙队的总分为34分．

所以甲队有10-5-2=3人，总分为210C2263430分，所以平均分为30÷3=10分． 4．五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛．胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．最后发现各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平，那么这五支球队的得分从高到低依次是多少? 【分析与解】 每个队各赛4场，共赛5×4÷2：10场．第三名得7分，与第一名打平，那么剩下的3场，得6分，只能是3+3+0，即第二名的比赛输了，所以只能是1+0+／+3+3． 那么，第一名为／+3+1+3+3，第二名为0+／+3+3+3，第三名为1+0+／+3+第四名为0+0+0+／+3，第五名为0+0+0+0+／． 所以，这五支球队的得分从高到低依次是10、9、7、3、0． 6. 有五支足球队进行循环赛，每两个队之间进行一场比赛，胜者得3分，平者各得1分，负者得0分．现在还有一些比赛没有进行，各个队目前的得分恰好是五个连续的偶数，其中甲队积2分，并且负于乙队，那么乙队现在积多少分?