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概率论基础知识及其在matlab中的实现

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______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料

第三章 概率论基础知识及其在matlab中的实现 概率论与应用数理统计十就是研究随机现象统计规律性的一门科学，本章学习随机 及其发生的概率，多维随机变量的分布规律，参数估计与假设检验，方差分析与回归分析等概率统计的基本方法以及它们在MATLAB中实现方法。 3．1 随机时间及其概率 3．1．1 古典概率及其模型 由古典概率的定义知，古典概率基于这样两个原则：(1) 所有可能发生的结果只有有限个；(2)每一种可能出现的结果机会是相同的。在MATLAB中提供了一个在[0,1]区间上均匀分布的随机函数rand,其命令格式为： 命令格式1： rand(N) 功能： 返回一个NN的随机矩阵 命令格式2： rand(N,M) 功能： 返回一个MN的随机矩阵 命令格式2： rand(P1,P2,…,Pn)

功能： 返回一个nPPP21的随机矩阵 可以用计算机模拟掷硬币这一过程，为了模拟硬币出现正面或反面，规定随机数小于0.5时为反面，否则为正面，可以用round（）函数将其变成0—1矩阵，然后将整个矩阵的各元素值加起来再除以总的原始个数即为出现正面的概率。round（）函数的命令格式为： 命令格式： round(x) 功能：对向量或矩阵x的每个分量四舍五入取整。 现以联系掷10000次硬币为例，重复做100次试验模拟出现正面的概率。在matlab中的程序如下： for i =1：100 a(i) = sum(sum(round(rand(100))))/10000； end mx = max(a)； mn = min(a)； ma = mean(a)； a, mx, mn, ma 在该程序输出的四项中，a为实验100次中每次出现正面的频率，mx和mn分别为100次实验中出现正面频率的最大值和最小值，ma为100次试验出现正面的平均频率。运行结果如下： 这里要输入结果 下面介绍MATLAB中取整的几个函数命令： (1) 命令格式： fix(x) 功能： 对x朝零方向取整 (2) 命令格式： floor(x) 功能：对x朝负无穷大方向取整 (3) 命令格式： ceil(x) 功能：对x朝正无穷大方向取整

3．1．2 统计概率及其模型 ______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 由于古典概率是建立在事件发生的等可能基础上的概率，而现实生活中许多现象的出现并不是等可能的。例如某品种的玉米，当种下一粒后，其发芽与不发芽的机会并不相同。那么，这个概率就不能建立在等可能基础上，即不能使用古典概率的定义。 而统计概率的定义是建立在频率基础上的，就是说某事件出现 频率如果稳定在某数值附近，则称数值为该事件出现的概率。由于统计概型中的概率是一个理论上的数值，

实际问题中根本无法直接得到该数值，因而通常在试验次数充分多时，利用频率值近似代替概率值。在掷硬币的试验中，在试验次数充分多的情况下，掷硬币出现正面和反面的频率均在0.5左右，故出现正面和反面的概率均为 0.5。下面来看掷硬币时，当样本容量分别为 n = 10，100，1000，10000，100000，1 000 000 时频率的变化。在MATLAB中实现时程序代码如下： for I = i：6 a(i) = sum(round(rand(1,10-i)))/10^I； end 运算结果为： 这里输入运算结果 从上面运行的结果中可以看出，当样本容量不够大时，其频率的波动范围很大，即频率不够稳定，即使有时达到 0.5，但最大时已达到0.9，然而随着样本容量的增加，频率的

波动范围越来越小，相差仅有310左右。 3．1．3 条件概率、全概率公式与伯努利概率 若事件B的发生会影响到事件A的发生，则事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，条件的概率的计算公式为：

)()()|(BPABPBAP 若事件A的发与事件B的发生与否没有关系，即事件B发生与否不会影响到事件A的发生，反之亦然，则称事件A与事件B是相互独立的，这时有：

)()()(BPAPABP 例1 袋中有10只球，其中白球7只，黑球3只。分有放回和无放回两种情况，分三次取球，每次取一个，分别求：(1) 第三次摸到了黑球的概率，(2) 第三次才摸到黑球的概率，(3) 三次都摸到了黑球的概率。 解 当有放回地摸球时，由于三次摸球互不影响，因此三次摸球相互独立，从理论上可

以求得：(1) 第三次摸到黑球的概率为3.0103；(2) 第三次才摸到黑球的概率为

147.0103107107；(3) 三次都摸到黑球的概率为027.0103103103。

在MATLAB中模拟这一过程时，可在[0，1]区间上产生三次随机数来模拟三次摸球，当随机数小于0.7时可认为摸到了白球，否则认为摸到了黑球。重复610次分别求上述三种情况出现的概率。程序如下： a = round(rand(1000000,3) – 0.2)； for i= 1：6 b = a(1：10^i,3； ______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 c(i) =sum(b)/(10^i)； end c for i =1：6 b = (~a(1:10^i,1))&(~a(1:10^i,2))&a(1:10^i,3); d(i) = sum(b)/(10^i); end d for I = 1:6 b=a(1:10^i,1)&a(1:10^i,2)&a(1:10^i,3); e(i) = sum(b)/(10^i); end e 运行结果为: 这里加入运行结果 执行结果中c为第三次摸到黑球的概率,d为第三次才摸到黑球的概率,e为三次都摸到黑球的概率.可以看到,随着试验次数的增加,其频率都会逐渐稳定在理论值附近. 当无放回地摸球时,由于第二次摸球会受到第一次的影响,而第三次摸球又会受到前两次的影响,因而三次摸球相互影响,并不独立.从理论上可求得:

(1) 第三次摸到黑球的概率为3.08192103829710382931078396107,

(2) 第三次才摸到黑球的概率为175.08396107 (3) 三次都摸到了黑球的概率为008.08192103 用计算机模拟该过程时,在[0,1]区间模拟第一次摸球,当值小于0.7时认为摸到了白球,否则认为摸到了黑球;第二次摸球时由于少了一个球,故可在区间长度为0.9的区间上模拟,若第一次摸到白球,可将区间设为[0.1,1],否则区间设为[0,0.9];第三次摸球可依次类推,其模拟程序如下: a = rand(1000000,3); a(:,1) = round(a(:,1) – 0.2); a(:,2) =round(a(:,2)*0.9 – 0.2 – 0.1*((a:,1) – 1)); a(:,3) =round(a(:,3)*0.8 – 0.2 – 0.1*(a(:,1) –1) –0.1*(a(:,2) –1)); for i=1:6 b =a(1:10^i,3); c(i) = sum(b)/(10^i); end c for i =1:6 b = (~a(1:10^i,1)) & (~a(1:10^i,2)) & a(1:10^i,3); d(i) =sum(b)/(10^i); end d for i =1:6 ______________________________________________________________________________________________________________ 精品资料 b =a(1:10^i,1) & a(1:10^i,2) & a(1:10^i,3); e(i) =sum(b)/(10^i); end e 运行结果为 上面在理论上计算第三次摸到黑球的概率时,用到了全概率公式:

若nAAA,,,21构成一个完备事件组,且事件B的发生总是伴随着事件),,2,1(niAi中的某一个发生而发生,则

)|()()(1iniiABPAPBP 下面将用到伯努利概型,所谓伯努利概型是指: 在相同条件下,进行n次独立重复试验,每次试验只有事件A发生或不发生两种结果,且

,)(pAP qpAP1)( 这里第三次摸到黑球的四种情况分别是:{白,白,黑},{白,黑,黑},{黑,白,黑},{黑,黑,黑}.这四种情况构成了完备事件组.现考虑下面问题: (1) 当不放回时,已知第三次摸到了黑球,问前两次是黑球的概率为多少? (2) 若有放回地连续摸10次,则恰有三次摸到黑球的概率是多少? 第一问是一逆概率问题,由逆概率公式即贝叶斯公式得到其概率应为

0278.03611038192103

第二问则属伯努利概型,这里A为{摸到的是黑球},故3.0)(AP , 7.0)(AP.于是由二项概率公式有,10次有放回摸球中,恰有三次摸到黑球的概率为 2668.07.03.073310C 在MATLAB中实现这两个过程的程序如下: a = rand(100000,3); a(:,1) = round(a(:,1) –0.2); a(:,2) = round(a(:,2)*0.9 – 0.2 –0.1*a(:,1) –1)); a(:,3) = round(a(:,3)*0.8 –0.2 –0.1*(a(:,1) –1) –0.1*(a(:,2) –1)); for i=1:6 b =a(1:10^I,3); c(i) =sum(b); b =a(1:10^i,1) & a(1:10^i,2) & a(1:10^i,3); d(i) = sum(b); e(i) =d(i)./c(i); end 这里添加运行结果 a = round(rand(1000000,10) –0.2); for I =1:6 b =sum(a(1:10^i, :),2) –3;

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matlab正态分布概率计算

matlab正态分布概率计算

要在MATLAB中计算正态分布概率，您可以使用内置的统计函数如normpdf, normcdf, 和norminv。

以下是一些常见示例：
1. 使用normpdf计算正态分布的概率密度函数（probability density function, PDF）：
mu = 0; % 均值
sigma = 1; % 标准差
x = 0; % 要计算概率密度的点
pdf_value = normpdf(x, mu, sigma); % 返回概率密度
2. 使用normcdf计算正态分布的累积分布函数（cumulative distribution function, CDF）：
mu = 0; % 均值
sigma = 1; % 标准差
x = 0; % 要计算累积分布的点
cdf_value = normcdf(x, mu, sigma); % 返回累积分布
3. 使用norminv计算正态分布的逆累积分布函数（inverse cumulative distribution function, inverse CDF）：
mu = 0; % 均值
sigma = 1; % 标准差
p = 0.5; % 概率
x_value = norminv(p, mu, sigma); % 返回对应概率的值
上述示例中的mu 和sigma 分别表示正态分布的均值和标准差，x表示要计算其概率密度或累积分布的点，p表示要计算其值的概率。

不同的函数可以用于不同的计算需求。

matlab累积概率分布

matlab累积概率分布

matlab累积概率分布
累积概率分布是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量
小于或等于某个值的概率。在matlab中，我们可以使用cumulative
distribution function（CDF）函数来计算累积概率分布。

CDF函数的输入参数是随机变量的值和分布的参数，输出结果是小

于或等于该值的概率。例如，对于正态分布，我们可以使用
normcdf函数来计算累积概率分布。下面是一个示例代码：

x = -3:0.1:3; % 定义随机变量的取值范围

mu = 0; % 正态分布的均值
sigma = 1; % 正态分布的标准差
y = normcdf(x, mu, sigma); % 计算累积概率分布

plot(x, y); % 绘制累积概率分布图

xlabel('随机变量的取值');
ylabel('累积概率分布');
title('正态分布的累积概率分布');

从图中可以看出，随着随机变量取值的增加，累积概率分布也逐渐

增加。当随机变量取值为正无穷大时，累积概率分布为1；当随机
变量取值为负无穷大时，累积概率分布为0。

除了正态分布，matlab还提供了许多其他分布的累积概率分布函

数，如指数分布、伽马分布、泊松分布等。这些函数可以帮助我们
更好地理解随机变量的分布特征，从而更好地进行数据分析和建模。

累积概率分布是概率论中的一个重要概念，它描述了随机变量小于

或等于某个值的概率。在matlab中，我们可以使用CDF函数来计
算累积概率分布，并通过绘制图表来更好地理解分布特征。

MATLAB数学实验

MATLAB数学实验

实验三 圆周率的计算学号： 姓名：XX一、 实验目的1. 本实验涉及概率论、定积分、三角函数等有关知识，要求掌握计算π的三种方法及其原理。

2. 学习和掌握数学软件MATLAB 的使用方法。

二、 实验内容圆周率是一个极其驰名的数。

从有文字记载的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们的兴趣。

作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。

仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。

事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代又一代数学家为此献出了自己的智慧和劳动。

回顾历史，人们对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。

π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。

德国数学家康托说：“历史上一个国家所算的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。

”直到19世纪初，求圆周率的值还是数学中的头号难题。

1. 圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。

即用圆的内接或外切多边形来逼近圆的周长。

Archomedes 用正96边形得到35位精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph V an Ceulen 用正2^62边形得到了35位精度。

这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。

随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意得发现了许多计算圆周率的公式。

下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。

除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。

1) Machin 公式2391a r c t a n451a r c t a n 16-=π ()121...753arctan 121753--++-+-=--n x x x x x x n n 这个公式由英国天文学教授John Machin 于1706年发现。

他利用这个公式计算到100位的圆周率。

Machin 公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。

matlab的联合概率分布

matlab的联合概率分布

matlab的联合概率分布
在MATLAB中，可以使用不同的方法来计算联合概率分布。

一种方法是使用蒙特卡罗方法进行模拟，通过多次抽样来估计联合概率分布。

另一种方法是使用已知的概率密度函数或概率质量函数来计算联合概率分布。

例如，假设有两个随机变量X和Y，它们都服从正态分布，并且它们之间存在线性关系。

可以使用MATLAB中的mvtnorm函数来计算这两个变量的联合概率分布。

该函数接受两个向量作为输入，分别表示X 和Y的均值和协方差矩阵，并返回一个矩阵，其中每个元素表示相应联合值的概率密度。

另外，如果已知两个随机变量的联合概率分布，可以使用MATLAB中的histogram函数来绘制直方图以可视化分布。

该函数接受一个向量作为输入，表示联合概率分布的值，并绘制一个直方图来显示分布的概率密度。

需要注意的是，联合概率分布的计算和可视化方法可能因具体情况而异，具体取决于所使用的数据和分布类型。

建议参考MATLAB的文档或使用MATLAB的在线帮助来获取更详细的信息和其他示例。