九年级数学下册24圆课题三角形的内切圆学案 (新版)[沪科版]

内切圆的性质
01
02
03
内心性质
三角形的内心是三角形内 切圆的圆心，内心到三角 形三边的距离相等。
切线性质
内切圆的半径垂直于三角 形的三边，即内切圆的半 径是三角形的角的平分线。
面积性质
三角形的面积等于其内切 圆半径与三角形周长的乘 积的一半。
与三角形的关系
内切圆与三角形的边长关系
内切圆的半径与三角形的边长之间存在一定的关系，可以通 过公式计算。
05
练习与巩固
基础练习
基础概念理解
通过简单的题目，让学生理解三角形 的内切圆的基本概念和性质，如半径、 圆心等。
简单计算
让学生掌握如何计算三角形的内切圆 半径，以及如何利用内切圆半径解决 简单的几何问题。
提高练习
复杂计算
在基础练习的基础上，增加一些需要复 杂计算的题目，如求多个三角形的内切 圆半径等。
已知三角形一边和这边上的高作内切圆
总结词
利用三角形面积公式求出内切圆的半径，然后确定圆心和圆的位置。
详细描述
首先，根据三角形面积公式计算出已知边上的高所对应的三角形的面积。然后，根据公式 $r=sqrt{frac{2S}{l}}$，其中S为三角形面积，l为已知边上的高，计算内切圆的半径r。最后，根据圆心在 高的延长线上且与相对的顶点距离等于半径，确定圆心和圆的位置。
已知三角形一边和这边所对的角作内切圆
总结词
利用三角函数求出内切圆的半径，然后确定圆心和圆的位置。
详细描述
首先，根据三角函数计算出已知边所对的角的正弦值。然后，根据公式$r=frac{2Rsinfrac{A}{2}}{2}$，其中R为 三角形的外接圆半径，A为已知边所对的角，计算内切圆的半径r。最后，根据圆心在角的平分线上且与相对的边 距离等于半径，确定圆心和圆的位置。

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A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
7．(8 分)如图，已知在△ABC 中，BC＝7 cm，AC＝5 cm， AB＝6 cm.它的内切圆分别和 BC，AC，AB 切于点 D，E，F. 求 AF，BD，CE 的长．
解：设 AF＝x cm，BD＝y cm，CE＝z cm，依题意得
xx＋ ＋yz＝＝56，，解得yx＝＝42∴AF＝2 cm，BD＝4 cm，CE＝3 cm y＋z＝7， z＝3
15．(12 分)如图，在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，∠ C＝90°，⊙I 分别切 AC，BC，AB 于点 D，E，F，求 Rt△ ABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离．
解：连接 ID，IE，IF，IO，证四边形 CEID 为正方形， 求出 ID＝CE＝IF＝2，再求出 BF＝BE＝4，OF＝1，再在 Rt △IFO 中求 IO，即 IO＝ 5
)
A．三角形的内心到三边的距离相等 边垂直平分线的交点
B．三角形的内心是三条
C．三角形的内心是三边中线的交点 顶点的距离相等
D．三角形的内心到三个
2．(4 分)如图，圆 O 是△ABC 的内切圆，∠A＝40°，则∠BOC 的度数是( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
,第 2 题图)
【综合运用】 16．(16 分)如图 1，在△ABC 中，CA＝CB，点 O 在高 CH 上，OD⊥CA 于点 D，OE⊥CB 于点 E，以 O 为圆心， OD 为半径作⊙O. (1)求证：⊙O 与 CB 相切于点 E； (2)如图 2，若⊙O 过点 H，且 AC＝5，AB＝6，连接 EH， 求△BHE 的面积和 tan∠BHE 的值．

三角形的内切圆知识点 1三角形内切圆的看法及性质1．2017·广州如图24－5－1所示，⊙ O是△ ABC的内切圆，则点O是△ABC的()图 24－5－1A.三条边的垂直均分线的交点B．三条角均分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点2．以下说法错误的选项是()A．三角形的心里到三边的距离相等B．一个三角形必定有独一一个内切圆C．一个圆必定有独一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是齐心圆3．教材例题变式如图24－5－2所示，在△ ABC中，∠ A＝66°，点I是心里，则∠ BIC的度数为 ()图 24－5－2A. 114°B．122°C． 123°D．132°4．教材习题24.5 第 2 题变式如图24－5－3，在△ ABC中，内切圆I 与边 BC， CA，AB 分别相切于点D， E， F，若∠ A＝70°，则∠ EDF＝________°.图 24－5－ 35．2018·湖州如图 24－ 5－ 4，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ ABC＝40°，则∠ BOD的度数是________．图 24－5－4别为 S1， S2， S3，则 S1________S2＋ S3.(填“＜”“＝”或“＞”)图 24－5－5知识点 2作三角形的内切圆7．为美化校园，学校准备在如图24－ 5－ 6 所示的三角形空地上修筑一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛( 保留作图印迹，不要求写作法) ．图 24－5－68．如图 24－ 5－ 7 所示，O是△ABC的心里，过点O作 EF∥ AB，与 AC，BC分别交于点E，F，则()图 24－5－7A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤ AE＋BF9．如图 24－ 5－ 8，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则以下说法正确的选项是()图 24－5－8A．点O是△ABC的心里B．点O是△ABC的外心C．△ABC是等边三角形D．△ABC是等腰三角形10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有以下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，如图24－ 5－ 9，勾 ( 短直角边 ) 长为 8 步，股 ( 长直角边 ) 长为 15 步，问该直角三角形能容纳的圆形( 内切圆 ) 直径是多少？” ()图 24－5－9A．3 步B． 5 步C．6 步D． 8 步11．如图 24－ 5－ 10，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝ 40°，延长AC到点D，使CD＝BC，点P 是△ ABD的心里，则∠ BPC的度数为()图 24－ 5－10A． 105°B．110°C． 130°D．145°12．如图 24－ 5－ 11， Rt △ABC的内切圆⊙O切斜边AB于点D，切BC于点E，BO的延长线交 AC于点 M.求证： BO· BC＝ BD·BM.图 24－ 5－1113．教材习题 24.5 第 5 题变式如图 24－ 5－ 12，E为△ABC内一点，AE的延长线交△ABC的外接圆⊙ O于点 D，且 DB＝DC＝ DE.求证： E 为△ ABC的心里．图 24－ 5－1214．如图 24－5－ 13，在等腰三角形ABC中，CA＝CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙ E 分别与边 AD， BC相切于点 F， G.(1)求证： AF＝ BG；(2)过点 E作 EH⊥ AB于点 H，试一试究线段 EH与线段 AB的数目关系，并说明原由．图 24－ 5－13︵︵24－ 5－ 14① .(1)判断△ ABC的形状，并证明你的结论；(2)设 AE与 DF订交于点 M，如图②， AF＝2FC＝4，求 AM的长．图 24－ 5－14教师详解详析[ 解析 ]∵∠ A ＝ 66°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝ 114° . ∵点 I 是心里，11∴∠ IBC ＝2∠ ABC ，∠ ICB ＝2∠ ACB ，∴∠ IBC ＋∠ ICB ＝ 57°，∴∠ BIC ＝ 180°－ 57°＝ 123° . 应选 C .4． 55 [ 解析 ] 连接 IE ， IF ，∵⊙ I 内切于△ ABC ，∴∠ IEA ＝∠ IFA ＝ 90°，∴∠ EIF ＝1180°－∠ A ＝ 110° . 由圆周角定理，得∠ EDF ＝ 2∠ EIF ＝ 55° .5． 70° [ 解析 ] ∵△ ABC 的内切圆⊙ O 与 BC 边相切于点 D ， ∴ OB 均分∠ ABC ， OD ⊥ BC ，1 1 ∴∠ OBD ＝ ∠ ABC ＝ × 40°＝ 20°，22∴∠ BOD ＝ 90°－∠ OBD ＝ 70° . 6．＜[ 解析 ] 过点 P 作 PD ⊥ AB 于点 D ， PE ⊥ AC 于点 E ， PF ⊥ BC 于点 F ，∵ P 是△ ABC 的心里，∴ PD ＝ PE ＝PF.111∵ S 1＝ 2AB ·PD ， S 2＝ 2BC ·PF ， S 3＝2AC ·PE ， AB ＜ BC ＋AC ，∴ S 1＜ S 2＋ S 3.7．解：以以以下图的⊙ O.8． C [ 解析 ] 连接 OA ， OB ，则 AO ，BO 分别是∠ CAB 与∠ CBA 的均分线， ∴∠ EAO ＝∠ OAB.∵ EF ∥ AB ，∴∠ EOA ＝∠ OAB ， ∴∠ EOA ＝∠ EAO ，∴ AE ＝ EO.同理可得： FO ＝ BF ， ∴ EF ＝ AE ＋BF. 应选 C .9． A [ 解析 ] 如图，过点 O 作 OM ⊥ AB 于点 M ， ON ⊥ BC 于点 N ， OQ ⊥ AC 于点 Q.∵ DE ＝ FG ＝HK ，∴ OM ＝ ON ＝ OQ ， 即点 O 到△ ABC 三边的距离相等，∴点 O 是△ ABC 的心里．应选 A .1． B 2． C 3． C10．C [ 解析 ] 依据勾股定理得斜边长为82＋ 152＝ 17，则该直角三角形能容纳的圆形8＋ 15－ 17＝ 3( 步 ) ，则直径为 6 步．故( 内切圆 ) 半径 r ＝2选 C.11．D[ 解析 ]连接PD，连接AP并延长交BC于点 E，∵AB＝ AC，∠ A＝ 40°，1∴∠ ABC＝∠ ACB＝2(180 °－∠ A) ＝ 70°.∵CD＝ CB，∴∠ D＝∠ CBD，而∠ ACB＝∠ D＋∠ CBD，1∴∠ CBD＝∠ ACB＝ 35°，∴∠ ABD＝ 35°＋ 70°＝ 105° .∵点 P 是△ ABD的心里，∴AP 均分∠ BAC， BP均分∠ ABD，1∴AE 垂直均分 BC，∠ PBD＝∠ABD＝ 52.5 °，2∴∠ PBC＝ 52.5 °－ 35°＝ 17.5 ° .∵PE 垂直均分 BC，∴ PB＝ PC，∴∠ PBC＝∠ PCB＝ 17.5 °，∴∠ BPC＝ 180°－ 17.5 °－ 17.5 °＝ 145° .12． [ 解析 ] 连接 OD，证明△ BOD∽△ BMC即可．证明：连接 OD，∵⊙ O为Rt△ ABC的内切圆， D， E 均为切点，∴ OD⊥ AB，∠ OBD＝∠ MBC.又∵∠ C＝ 90°，∴∠ ODB＝∠ C＝ 90°，BO BD∴△ BOD∽△ BMC，∴＝，BM BC即 BO·BC＝BD·BM.︵︵13．证明：连接BE，∵ DB＝DC，∴ DB＝ DC，∴∠ DAB＝∠ DAC＝∠ DBC，∴ AD为∠ CAB的均分线．∵DB＝ DE，∴∠ DBE＝∠ DEB，即∠ DAB＋∠ ABE＝∠ DBC＋∠ CBE，∴∠ ABE＝∠ CBE，∴ BE均分∠ ABC，∴ E 为△ ABC的心里．14．解： (1) 证明：如图，设△ACD的内切圆⊙ E 与边 AC相切于点I ，∵△ ACD的内切圆⊙ E 与边 BC相切于点G，∴ CI＝ CG.同理可得AI ＝ AF.∵CA＝ CB，CI ＝ CG，∴ AI ＝BG，∴ AF＝ BG.1(2)EH ＝ AB.2原由：如图，过点 E 作 EH⊥ AB于点 H，连接 AE，BE， CE，由⊙ E 是△ ACD的内切圆可知∠ACE＝∠ BCE.在△ ACE和△ BCE中，CA＝ CB，∠ACE＝∠ BCE，CE＝ CE，∴△ ACE≌△ BCE(SAS)，∴∠ AEC＝∠ BEC， AE＝ BE.∵ E 是△ ACD的内切圆的圆心，∠ADC＝90°，1∴∠ AEC＝ 90°＋2∠ ADC＝ 135°，∴∠ BEC＝∠ AEC＝ 135°，∴∠ AEB＝ 90° .又∵ AE＝ BE，∴△ ABE为等腰直角三角形．1∵EH⊥ AB于点 H，∴ EH＝2AB.15．解： (1) △ ABC为等腰三角形．证明：∵△ ABC的内切圆⊙ O与 AB， BC，AC分别相切于点D， E， F，∴∠ CFO＝∠ CEO＝∠ BDO＝∠ BEO＝ 90° .∵四边形的内角和为360°，∴∠ EOF＋∠ C＝ 180°，∠ DOE＋∠ B＝180° .︵︵∵EF＝ DE，∴∠ EOF＝∠ DOE，∴∠ B＝∠ C，∴ AB＝AC，∴△ ABC为等腰三角形．(2)连接 OB， OC， OD， OF，如图，∵在等腰三角形ABC中， AE⊥ BC，∴ E 是 BC的中点，即BE＝ CE.由题意得AF＝ AD＝ 4， CF＝ CE＝2， BD＝BE，∴BD＝ CF＝2，AM AF2∴DF∥ BC，∴ ＝＝ . AEAC32 2∵AE＝ AC－ CE＝ 4 2，2 82∴AM＝42×3＝3.。

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24.5 三角形的内切圆。