2018-2019学年人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 章末评估验收(三)

2019-2020年高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末过关检测新人教A 版选修2-1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．空间直角坐标系中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定1．解析：∵AB →＝(－2，－2，2)，CD →＝(1，1，－1)，又∵AB →＝－2CD →，∴AB →∥CD →，即AB ∥CD .答案：A2．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α相交2．解析：∵n ＝－2a ，∴a 与α的法向量平行，∴l ⊥α. 答案：B3．已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 3．解析：∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2－25×6＝0，∴〈a ，b 〉＝90°. 答案：C4．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较4．解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF ＝12CD 且EF ∥CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°，因为AE →·BC →＝0，AE →·CD →<0，所以AE →·BC →>AE →·CD →.答案：C5．如图，在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD →1等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．解析：BD →1＝BA →＋AD →＋DD 1→＝－a ＋b ＋c . 答案：D6．已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2，3，3)B ．P (－2，0，1)C ．P (－4，4，0)D ．P (3，－3，4)6．解析：逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内． 答案：A7．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 7．解析：由a ·b ＝0及(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，得3λa 2＝2b 2，又|a |＝2，|b |＝3，所以λ＝32，故选A.答案：A8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．解析：在△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0，∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：B9．已知A (－1，0，1)，B (0，0，1)，C (2，2，2)，D (0，0，3)，则sin AB →，CD →等于( )A ．－23 B.23 C.53 D ．－539．解析：AB →＝(1，0，0)，CD →＝(－2，－2，1)， 所以cosAB →，CD →＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝－21×3＝－23.所以AB →，CD →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.所以sinAB →，CD →＝1－cos2AB →，CD →＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. 答案：C10．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2，1)，已知点P (－1，3，2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．110．解析：P 点到平面OAB 的距离为d ＝|OP →·n ||n |＝|－2－6＋2|9＝2，故选B.答案：B11．(xx·北京卷)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥DABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 111．解析：设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则AD 1＝BD 1＝2，AB ＝2，∴S 1＝12×2×2＝2，S 2＝S △OCD 2＝12×2×2＝2，S 3＝S △OAD 3＝12×2×2＝ 2.故选D.答案：D12．已知OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．解析：设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，可得：x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________．13．解析：P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．答案：－214．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝________；若a ∥b ，则x ＝______．14．解析：若a ⊥b ，则－8－2＋3x ＝0，x ＝103；若a ∥b ，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x ，x ＝－6. 答案：103－615．设a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，a 1＝(1，1，1)，b 1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．15．解析：由题意，cos θ＝|cos 〈a 1，b 1〉|＝|a 1·b 1||a 1||b 1|＝（1，1，1）·（－3，4，0）3·5＝315.答案：31516．如图所示，已知二面角αl β的平面角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．16．解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ. 答案：3－2cos θ三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分11分)如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .17．证明：由平行六面体的性质 ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E →＝12C 1D 1→－AD →＋13A 1A →＝－12AB →－AD →－13AA 1→， NF →＝NB →＋BC →＋CF →＝12AB →＋AD →＋13CC 1→＝12AB →＋AD →＋13AA 1→，∴ME →＝－NF →，又M ，E ，N ，F 不共线，∴ME ∥NF .18．(本小题满分11分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．18．解析：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)ka ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF .19．证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．因为AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，所以A ，B ，C ，D ，P 的坐标分别为A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，22，0)，D (0，22，0)，P (0，0，2)．又E ，F 分别是AD ，PC 的中点， 所以E (0，2，0)，F (1，2，1)．所以PC →＝(2，22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →＝(1，0，1)． 所以PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0. 所以PC →⊥BF →，PC →⊥EF →. 所以PC ⊥BF ，PC ⊥EF . 又BF ∩EF ＝F ， 所以PC ⊥平面BEF .20．(本小题满分12分)(xx·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角DAEC 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥EACD 的体积．20．(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解析：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A ­xyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量， 由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥EACD 的高为12.三棱锥EACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.21.(本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.21．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，P (0，1，m )，C (0，1，0)，D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)．则BD →＝(－1，－1，0)，BB 1→＝(0，0，1)，AP →＝(－1，1，m )，AC →＝(－1，1，0)． 又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知，AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2， 依题意得22＋m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝63. 故当m ＝63时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 22．(本小题满分12分)(xx·广州一模)如图，在棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点F 在棱B 1B 上，且满足B 1F ＝2FB .(1)求证：EF ⊥A 1C 1；(2)在棱C 1C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时C 1G 的长； (3)求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．22．(1)证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则A (a ，0，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12a ， F (a ，a ，13a )，所以A 1C 1→＝(－a ，a ，0)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，－16a .因为A 1C 1→·EF →＝－a 2＋a 2＋0＝0， 所以A 1C 1→⊥EF →. 所以EF ⊥A 1C 1.(2)解析：设G (0，a ，h )，因为平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1， 平面ADD 1A 1∩平面AEGF ＝AE ，平面BCC 1B 1∩平面AEGF ＝FG ，所以FG ∥AE .所以存在实数λ，使得FG →＝λAE →.因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，12a ，FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，h －13a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，h －13a ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，0，12a . 所以λ＝1，h ＝56a .所以C 1G ＝CC 1－CG ＝a －56a ＝16a .故当C 1G ＝16a 时，A ，E ，G ，F 四点共面．(3)解析：由(1)知，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，12a ，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，13a .设n ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋12az ＝0，ay ＋13az ＝0.取z ＝6，则x ＝3，y ＝－2.所以n ＝(3，－2，6)是平面AEF 的一个法向量． 而DD 1→＝(0，0，a )是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则cos θ＝|n ·DD 1→||n |·|DD 1→|＝|0×3＋0×（－2）＋a ×6|32＋（－2）2＋62×|a |＝67. 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67.2019-2020年高中数学 第三章 立体几何单元测试练习 理 新人教A 版选修2-1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列四个命题中，真命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3D ．43．一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A ．2 3B ．4 3C ．4D ．84．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A ．54B ．54πC ．58D ．58π5．设三条不同的直线a 、b 、c ，两个不同的平面α，β，b α，c α.则下列命题不成立的是( ) A ．若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β B ．“若b ⊥β，则α⊥β”的逆命题 C ．若a 是c 在α的射影，b ⊥a ，则c ⊥b D ．“若b ∥c ，则c ∥α”的逆否命题 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23 B.33 C.23D.637．设P 是平面α外一点，且P 到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是( ) A ．梯形 B ．圆外切四边形 C ．圆内接四边形 D ．任意四边形 8．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( ) A ．①② B．②③ C．①④D ．③④9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 210．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BB 1＝4，长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R －PQMN 的体积是( )A ．6B ．10C ．12D ．不确定11．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β12．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是直线，给出下列命题： ①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥β；③若m ，n 在γ内的射影互相垂直，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是________．14．如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的图的序号)．15．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3，分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝VAEA 1－DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B －C 1F 1C .若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，则截面A 1EFD 1的面积为________．16．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AA 1的中点，在对角面BDD 1B 1上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为________．选择题答案13. 14.15. 16.三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知正三棱锥V－ABC的侧棱长为4，俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的三视图；(2)求出侧视图的面积．18．(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝AA1＝2，D是AB的中点．(1)求证：CD⊥平面ABB1A1；(2)求二面角D－A1C－A的正切值．19．(12分) 图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4，AB ＝22，M ，N 分别是棱CC 1，AB 中点．(1)求证：CN ⊥平面ABB 1A 1；(2)求证：CN ∥平面AMB 1；(3)求三棱锥B 1－AMN 的体积．20．(12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝12CD ＝1，M 为PB 的中点．(1)试在CD 上确定一点N ，使得MN ∥平面PAD ；(2)点N 在满足(1)的条件下，求直线MN与平面PAB 所成角的正弦值．21．(12分) 如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点． (1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值； (3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论． ．22．(14分)圆柱OO1内有一个三棱柱ABC－A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径.(1)求证：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)设AB＝AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC－A1B1C1内的概率为p.①当点C在圆周上运动时，求p的最大值；②记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°＜θ≤90°).当p取最大值时，求cos θ的值.立体几何单元测试（理科）参考答案一、选择题1．B 在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．2．A ①两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故①不正确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面，故④不正确；据平面的性质可知③正确．3．C 由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由主视图的面积为32，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为S ＝8×12×1×1＝4. 4．A 设圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h ，H ，则r R ＝hH， 又πR 2＝9·πr 2，∴R ＝3r ，∴H ＝3h .∴13πR 2·H －13πr 2h ＝52.即13πR 2·H －13π·19R 2·13H ＝52，∴13πR 2H ＝54.5．B 命题C 即为三垂线定理；命题D 中的原命题即为线面平行的判定定理，所以D 正确；命题A 显然成立；对于命题B ，若α⊥β，则b 与β的位置关系都有可能．6．D 如图，连接BD 交AC 于O ，连接D1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，易知∠DD 1O 即为所求． 设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 7．B P 到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则P 在平面α内的射影到四边形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆．8．C 由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．9．B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a . 如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a2， 设球的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2.∴S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.10．A 四棱锥R －PQMN 的底面积为S ＝S △PQM ＋S △MNP ＝12PQ ·AC ＋12MN ·AC ＝12(PQ ＋MN )·AC ＝12(1＋3)×32＝6 2.其高h ＝322，V R －PQMN ＝13Sh ＝13×62×322＝6.11．D ∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α.∴AB ⊄β，l β.∴AB ∥β.故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．12．B 本题为线面位置关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用．①错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；②正确，不妨过直线m 作一平面与α，β同时相交，交线分别为a ，b ，由α∥β知a ∥b ，又m ∥α⇒m ∥a ，∴m ∥b ，又m ⊄β，∴m ∥β；③错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；④错，以正方形两平行棱，或一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例．二、填空题13．解析： 由三视图知该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥．因此，其体积V ＝13π·12×3＝33π. 14．解析： 图①为空间四边形D ′OEF 在前面(或后面)上的投影．图②为空间四边形D ′OEF 在左面(或右面)上的投影．图③为空间四边形D ′OEF 在上面(或下面)上的投影．答案： ①②③ 15．解析： 设AE ＝x ，BE ＝6－x ，V1＝VAEA 1－DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B －C 1F 1C ，且V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，所以12×(3x )×4∶(6－x )×3×4∶12×(3x )×4＝1∶4∶1，解得x＝AE ＝2，∴A 1E ＝A 1A 2＋AE 2＝13， ∴SA 1EFD 1＝413.答案： 41316．解析： 取CC 1的中点F ，连接EF ，EF 交平面BB 1D 1D 于点N ，且EN ＝FN ，所以F 点是E 点关于平面BB 1D 1D 的对称点，则AM ＋ME ＝AM ＋MF ，所以当A ，M ，F 三点共线时，AM ＋MF 最小，即AM ＋ME 最小， 此时AM ＋MF ＝AF ＝AC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CC 122＝3a 2.答案： 32a 三、解答题17．解：(1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝42－23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.18．解析： (1)证明：因为AC ＝CB ，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，所以CD ⊥AB ， 又因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，又∵AB ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1. (2)建立如图所示的空间直角坐标系，∵AC ＝CB ＝AA 1＝2，∴A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (1,1,0)，C (0,0,0)，C 1(0,0,2)． 显然平面A 1AC 的法向量为m ＝(0,1,0)，设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n ＝0A 1C →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2z ＝02x ＋2z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，令m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－33，∴二面角D －A 1C －A 的余弦值为33，其正切值为 2.19．[解析] (1)证明：因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，又因为CN ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CN . 因为AC ＝BC ＝2，N 是AB 中点，所以CN ⊥AB .因为AA 1∩AB ＝A ，所以CN ⊥平面ABB 1A 1.(2)证明：取AB 1的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，AB 1中点， 所以NG ∥BB 1，NG ＝12BB 1.又因为CM ∥BB 1，CM ＝12BB 1，所以CM ∥NG ，CM ＝NG .所以四边形CNGM 是平行四边形．所以CN ∥MG . 因为CN ⊄平面AMB 1，GM ⊂平面AMB 1，所以CN ∥平面AMB 1.(3)由(2)知GM ⊥平面AB 1N .所以VB 1－AMN ＝VM －AB 1N ＝13×12×22×4×2＝43.20．解析： 方法一：(1)过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，则MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形， ∴EM 綊DN .又∵EM 綊12AB ，而AB ＝12CD ，∴DN ＝14CD ，∴DN ＝12.(2)∵MN ∥ED ，∴直线MN 与平面PAB 所成的角即为直线ED 与平面PAB所成的角．∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB ，∴∠DEA 为直线ED 与平面PAB 所成的角． 由题设计算得DE ＝52，∴sin∠DEA ＝AD DE ＝255. 方法二：过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，则MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形．以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，如图所示．则由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12、N ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0.(1)∵D N →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴|D N →|＝12.(2)∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB .又∵N M →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，D A →＝(－1,0,0)，∴cos〈N M →，D A →〉＝NM →·DA →|NM →|·|DA →|＝152·1＝255，∴直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为255.21．解析： (1)证明：连接AC 、BD ，则BD ⊥AC ，∵BM MA ＝BNNC，∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN .又∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥MN ，∵BD ∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1.又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1，∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN .(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M (1，t,0)，N (t,1,0)，B 1(1,1,1)，P (0,0，23)， B (1,1,0)，A (1,0,0)，∵MB 1→＝(0,1－t,1)，B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，23.又∵BP ⊥平面MNB 1， ∴MB 1→·B P →＝0，即t －1＋23＝0，∴t ＝13，∴MB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，1，M N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，0. 设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧MB 1→·n ＝0M N →·n ＝0，得x ＝y ，z ＝－23y . 令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)．∵AB ⊥平面BB 1N ，∴A B →是平面BB 1N 的一个法向量，A B →＝(0,1,0)．设二面角M －B 1N －B 的大小为θ，∴cos〈n ，A B →〉＝，3，－，1，22＝32222.则二面角M －B 1N －B 的余弦值为32222.(3)存在点P ，且P 为DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1.证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连接PE ，则PE ∥BD ，∴PE ⊥平面ACC 1.∵PE ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.22．【解析】(1)因为A 1A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC ⊥AC .又AC ∩A 1A ＝A ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1，而BC ⊂平面B 1BCC 1，所以平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1.(2)①设圆柱的底面半径为r ，则AB ＝AA 1＝2r ，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V 1＝12AC ·BC ·2r ＝ACBCr .又因为AC 2＋BC 2＝AB 2＝4r 2. 所以AC ·BC ≤AC 2＋BC 22＝2r 2，当且仅当AC ＝BC ＝2r 时等号成立. 从而V 1≤2r 3，而圆柱的体积V ＝πr 2·2r ＝2πr 3，故p ＝V 1V ≤2r 32πr 3＝1π， 当且仅当AC ＝BC ＝2r ，即OC ⊥AB 时等号成立.所以p 的最大值等于1π. ②由①可知，p 取最大值时，OC ⊥AB .于是，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz (如图)， 则C (r,0,0)，B (0，r,0)，B 1(0，r,2r ).因为BC ⊥平面A 1ACC 1，所以＝(r ，－r,0)是平面A 1ACC 1的一个法向量.设平面B 1OC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，取z＝1，得平面B1OC的一个法向量为n＝(0，－2,1)，因为0°＜θ≤90°，所以cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝|2r5×2r|＝105.。

行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条
直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个 平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共 线向量即可.
重难聚焦
③要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向
量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可. (3)面面平行
∴z= 12.
∴n=
1,-
1 2
,
1 2
即为平面SCD 的法向量.
典例透析
题型一
题型二
题型三
典例透析
反思任一平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一 次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的 两个向量是不共线的,赋值时应保证所求法向量为非零向量,本题 中的法向量的设法值得借鉴.
知识梳理
【做一做2-2】 若两个不同平面α,β的法向量分别为μ=(1,2,-1),
υ=(-3,-6,3),则( )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α与β相交但不垂直
D.以上均不正确
解析:∵α,β
的法向量满足
μ=−
1 3
������,
∴μ∥υ,∴α∥β.
答案:A
重难聚焦
1.求一个平面的法向量的一般步骤 剖析:若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要先建立空间直
角坐标系,再用待定系数法求解,一般步骤如下: (1)设出平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量
a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组
������·������ = 0, ������·������ = 0.

• 『规律总结』 空间向量的坐标运算类似于 平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用 的关键．这些公式为我们用向量的知识解决 立体几何问题提供了有力的工具．
• 〔跟踪练习1〕 • 已知向量 a＝(2，－3,1)、b＝(2,0,3)· (b＋c)＝______ ； ] (1)b＋c＝(2,0,5)，a· (b＋c) •＝(2(2)( a＋ 2b＝ )· (a－2b)＝__________． ，－3,1)· (2,0,5) 9．
(2)向量平行、垂直，向量的模、夹角的坐标表示： 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a1＝λb1， a2＝λb2， a ＝λb . 3 3 ①若 a∥b(b≠0)，则_______________
②若 a⊥b，则 a· b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
2 2 3 a ＋ a ＋ a 1 2 3 ③|a|＝ a· a＝__________________ ；
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b ④cos〈a，b〉＝|a||b|＝ 2 2 2 2 2 2． a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3
2．向量的坐标及两点间的距离公式 → (x －x ，y －y ，z －z ) 2 ____ 1 ____ 2 ____ 1 ____ 2____1 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝ ____ ______，
• (1)空间向量的线性运算及数量积的坐标 表示 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a 1－ ， a 2－ a 3－ b3)b＝(b ，b ，b )，则 • 设a(＝ (b a11 ， a2b， a ) ， 2， 3 1 2 3 (λa1，λa2，λa3)(λ∈R) • ①a ab ＋ b ＝ 1 1＋a2b2＋a3b3 ______________________________； • ②a－b＝ ______________________________； • ③λa＝

数学人教A 选修2-1第三章 空间向量与立体几何单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )． A ．(－4，－8,6) B ．(－4，－8，－6) C ．(－6，－8,4) D ．(4,8，－6)2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255- 4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B C ．4 D ．8 5．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b c B ．2133++a b c C ．2133-+a b c D ．2133-+a b c 6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B ．10a C ．10a D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________．11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a ba b ，知89==λ＝－2或255．4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ．6答案：A 解析：设PA ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝⎫⎪⎪⎝⎭． 则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n．7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n ． 9答案：32解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足，则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3． ∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1，∴cos θ＝11212AB CD AB CD⋅==⨯． 由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ． 又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．在直角△PAC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(0,，M 3,22⎛-- ⎝，N 3,22⎛- ⎝，Q 33⎛ ⎝⎭． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM＝32-⎝，AN＝32-⎝，知30,230.2x y x y -+=+=取z ＝－1，得m ＝(0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛- ⎝⎭，QN＝32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)． 于是cos 〈m ，n〉＝·||||33=m n m n ． 所以二面角A －MN －Q的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BDAB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ． 所以PB ＝PC ＝PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ， 则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝PA ＝，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝2.在直角△PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =cos ∠AEQ ＝222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q ． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1， ∴111C P C D xAC CD x==-． 由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭， ∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ，高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0． 由此可得12x =，故CD ＝C 1D ． 答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ． 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． (3)求点C 到平面B 1DP 的距离． 答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)， 则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。