《菱形》典型例题

菱形性质习题精选（含答案）菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015?模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED 是菱形，则EC的长度为．3．（2015?模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC 的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015?模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014?）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014?）菱形的周长为20cm，两个相邻的角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014?）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014?简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014?淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O 为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC 边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春?泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春?建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春?定县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋?东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD 边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME 交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．3 3． 4．16 5．8cm 2 6．5 7．5 8．5 9．35° 10．（5，4） 11．50° 12．20°13．3 14．4.8 15． 16．17． 18．2 19．（2，1）20． 21．4 22．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD 是菱形CE ⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt △BEC ≌Rt △DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵MC=MD ，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB=∠ACD ，BC=CD ，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF ⊥BC ，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BF=CF ，即点F 是边BC 的中点．29、（1）在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t .又∵AE=t ，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又AE =DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+??? ?? ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即即当103t =时，四边形AEFD 为菱形30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221??；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60o∴∠ADM=30o∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP 2+CD 2=PC 2∴16+X 2=(8-X) 2 解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝2）。

菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011?衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010?肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010?襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010?宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011?铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm 2．6．（2011?綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011?南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm 2．6题图7题图8题图9题图8．（2011?鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010?嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009?江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009?朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009?安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008?长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006?云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005?黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm 2．16．（2005?新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm 2．17．（2004?贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003?温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011?南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011?广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010?益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010?宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009?贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006?大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011?衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

18.2.2 菱形 练习题 一、选择题. 1、 菱形的面积为212cm，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为( ) A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 2、 菱形的对角线长分别是6和8，那么其边长是( ) A．5 B．10 C．20 D．40 3、 如图，在菱形ABCD中，110A，则CBD的度数是( ) A．90 B．70 C．55 D．35

第3题图 第4题图 第5题图 4、 如图，在菱形ABCD中，10BC，点E在BD上，F为AD的中点，FEBD，垂足为E，4EF，则BD长为( ) A．8 B．10 C．12 D．16 5、 如图，在平行四边形ABCD中，ABBC，下列结论错误的是( ) A．四边形ABCD是菱形 B．ABAD C．AOOC，BOOD D．BADABC

6、 下列说法中，正确的是( ) A．两邻边相等的四边形是菱形 B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形 C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线垂直的四边形是菱形 7、 在平行四边形ABCD中，添加以下哪个条件能判断其为菱形( ) A．ABBC B．BCCD C．CDAC D．ACBD 8、 如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是ADC和ABC的 平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是( ) A．∠A=60o B．DEDF C．EFBD D．BD 是EDF的平分线 二、填空题。

9、 如图，在菱形ABCD中，E，F分别在BC，DC上，BEDF，AEAB，若30EAF，则D

的度数是 ．

第9题图 第10题图 10、 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OEBC于点E，若6AC，8BD，则OE ． 11、 在直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为(3,0)，(,)xy，(0,4)，(6,)z，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则z的值为 ． 12、 已知AD为ABC的角平分线，点E、F为AB、AC的中点，连DE、DF使四边形AEDF为菱形，则添加条件 ．（只填一个条件）

菱形测试题及答案
一、选择题
1. 菱形的定义是什么？
A. 四边形的对角线互相垂直
B. 四边形的对角线相等
C. 四边形的对角线互相平分
D. 四边形的对角线互相垂直且相等
2. 菱形的面积如何计算？
A. 底乘高
B. 边长乘边长
C. 对角线乘积的一半
D. 边长的平方
3. 菱形的内角和是多少度？
A. 360°
B. 180°
C. 90°
D. 120°
二、填空题
4. 菱形的对角线互相________。

5. 菱形的对角线将菱形分成四个________的三角形。

三、判断题
6. 菱形的四条边都是相等的。

（）
7. 菱形的对角线不一定互相垂直。

（）
四、简答题
8. 请简述菱形的性质。

五、计算题
9. 若菱形的边长为10cm，求其面积。

答案：
一、选择题
1. D
2. C
3. A
二、填空题
4. 垂直且相等
5. 等腰直角
三、判断题
6. 正确
7. 错误
四、简答题
8. 菱形的性质包括：四条边相等，对角线互相垂直且相等，对角线互
相平分，内角和为360°。

五、计算题
9. 菱形的面积 = 对角线乘积的一半= 10cm × 10cm ÷ 2 = 50cm²。

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。

菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为8和6，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为______．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长为．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=7，BD=4，则菱形ABCD的面积为_______．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB= 25cm，AC=4cm，则BD的长为__cm，菱形ABCD的面积为cm2．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE=DF，连接CE，CF．求证：CE=CF．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．(1)求证：AF=DF；(2)若∠BAD=70°，求∠FDC的度数．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD为菱形．(只填一种情况即可)【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD 的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC是菱形；(2)连接BE，若AB=6，AD=9，则BE的长为．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF ⊥DC于点F，且BE=DF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形(2)若∠EAF=60°，CF=2，求菱形ABCD的面积．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD 为菱形ABCD 的对角线，已知∠A =50°，则∠BDC 的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.33(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD 中，过顶点C 作CE ⊥BC 交对角线BD 于E 点，已知∠A =134°，则∠BEC 的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线BD =43，∠BAD =120°，则菱形ABCD 的面积是()A.83B.8C.163D.435(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0、3，0，点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F 在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．10(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．三、解答题11(2023春·湖南郴州·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长．12(2023·福建泉州·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC =2，BE=7．(1)求菱形ABCD的面积．(2)求BD的长．13(2023·江苏镇江·统考二模)如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，连接BF并延长，交AD的延长线于点E，连接CE．(1)求证：△DFE≌△CFB；(2)当BD、BC满足关系时，四边形BCED是菱形．14(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，过点C作CE⊥AD于点E，过点A作AF⊥CD于点F，且AF=CE．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若OB=8，OC=6，求AF的长．15(2023·浙江温州·校考三模)如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=BE，连接AE，DF，EF，ED平分∠AEF．(1)求证：四边形AEFD是菱形．(2)若∠BDC=45°，DE=2CF，AB=102，求▱ABCD的面积．16(2023春·浙江·八年级专题练习)已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．(1)求证：四边形ABGE是菱形；(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．17(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．18(2023·全国·模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在直线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若DF=BC=8，AB=AF，求AB的长．。

中考菱形探索题探索性试题是中考中的热点之一．在中考试题中，出现了一些和相似三角形有关的中考探索试题．为帮助你复习好相似三角形有关内容，现请欣赏几道探索题．一.条件探索题条件探索性试题就是给出了结论，要求探索使结论成立所具备的条件．例1如图1，点E,F 分别是菱形ABCD 中BC,CD 边上的点（E,F 不与B,C,D 重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AE=AF,并证明.分析:本题主要是考查三角形全等的方法和菱形性质，由菱形性质可知AB AD =、B D ∠=∠，若用SAS 需要添加BE DF =条件;若用ASA 需要添加条件BAE DAF ∠=∠或BAF DAE ∠=∠;若用ASA 需要添加条件∠AEB=∠AFD.解:添加条件：BE DF =或BAE DAF ∠=∠或BAF DAE ∠=∠等.若添加条件BE DF =.证明如下：四边形ABCD 是菱形AB AD ∴=B D ∠=∠在ABE △和ADF △中AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ADF ∴△≌△AE AF ∴=.评注:只需添加一条边或一个角满足三角形的判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成SSA 的形式.二.结论探索型探索结论试题是给出了条件，要求根据所给条件探索可能得到的结论．例2 如图2，在□ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．（1）求证：ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．分析：(1)问主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定；（2）问主要考查直角三角形的性质和菱形的判定.解:(1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CB A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AED CFB ∴△≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形．证明：AD BD ⊥，ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边（或90ADB ∠=） E 是AB 的中点，12DE AB BE ∴==． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形.评注:判定一个四边形是菱形一般是在平行四边形的基础上来判定.三.探索存在型存在性问题是指在一定的条件下,探索某种数学对象是否存在的问题.例3如图3，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．⑴证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；⑵试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；⑶在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．分析:本题考查了平行四边形的性质以及旋转等知识.(1)当旋转角是90时,AB ∥EF ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证；（2）易证△AOF ≌△COE,∴AF=EC.(3)由(2)知EO=FO,则EF 、BD 互相平分,若旋转到EF ⊥BD 位置, 四边形BEDF 是菱形,再根据勾股定理和等腰三角形性质计算旋转角的度数.解：⑴证明：当90AOF ∠=时，AB EF ∥，又AF BE ∥，∴四边形ABEF 为平行四边形． ⑵证明：四边形ABCD 为平行四边形，AO CO FAO ECO AOF COE ∴=∠=∠∠=∠，，．AOF COE ∴△≌△．AF EC ∴=⑶四边形BEDF 可以是菱形．理由：连接BF DE ，，由⑵知AOF COE △≌△，得OE OF =， EF ∴与BD 互相平分．∴当EF BD ⊥时，四边形BEDF 为菱形．在Rt ABC △中，2AC ==，1OA AB ∴==，又AB AC ⊥，45AOB ∴∠=，45AOF ∴∠=，AC ∴绕点O 顺时针旋转45时，四边形BEDF 为菱形．评注:本题是一道综合型的有关菱形的探索问题，求解时一定要抓住问题的实质，找准求解的切入点.《菱形的性质与判定》典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC∠的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．例2已知：如图，在菱形ABCD中，ABCE⊥于AD,于F．CFE⊥求证：.AE=AF例 3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，D，︒=∠的度数.BAE，求CEF∠18EAF︒∠60==∠例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且DFAD=．求证：GH垂直平分CF．例 5 如图，ABC D中，AB=，E、F在直线CD上，且AD2=．DE=CDCF求证：AFBE⊥．例6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB，E为AB的中点，四边形BCDE90=是平行四边形．求证：AC与DE互相垂直平分参考答案例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.21BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形．∴.120260︒=⨯︒=∠ABC（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.212121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，AD AB = ，∴DF AD BE AB -=-，∴.AF AE =例3 解答：连结AC .∵四边形ABCD 为菱形，∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB∵︒=∠60EAF ，∴CAF BAE ∠=∠∴ACF ABE ∆≅∆∴AF AE =∵︒=∠60EAF ，∴EAF ∆为等边三角形.∴︒=∠60AEF∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，∴CEF ∠+︒=︒+︒601860∴︒=∠18CEF说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证AC F ABE ∆≅∆例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF ．证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =∴四边形BGDH 是平行四边形∵DF AD =，∴BC DF =在△DFH 和△BCH 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =∵四边形BGDH 是平行四边形∴四边形BGDH 是菱形∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =∴GH 垂直平分FC ．例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1 ∵ED CD =，∴ED AB =在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG =∵AB AD 2= ∴AB AG =同理：BH AB = ∴BH AG =∵BH AG //∴四边形ABHG 是平行四边形∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形 ∴BE AF ⊥．例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形．所以要连结AD证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点 ∴BE CE AE ==∵四边形BCDE 是平行四边形∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，∴四边形ABCE 是平行四边形∵EC AE = ∴ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分．。

《18.2.2 菱形》教案第一课时教学目的1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．重点、难点1．教学重点：菱形的性质1、2．2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．课堂引入1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．例习题分析例1 （补充）已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．例2 （教材P108例2）略随堂练习1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．课后练习1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．《18.2.2 菱形》教案第二课时教学目的1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．重点、难点1．教学重点：菱形的两个判定方法．2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．例题的意图分析本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3．课堂引入1．复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．例习题分析例1 已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴ EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．又 EF⊥AC，∴AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．※例2（选讲）已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF 中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．随堂练习1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。