高考数学 考点03 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词试题解读与变式

命题
∀x ∈ M , p(x) ∃x0 ∈ M , p(x0 )
命题的否定
∃x0 ∈ M , ¬p(x0 ) ∀x ∈ M ,¬p(x)
重点考向
考向一 判断复合命题的真假
2
1．判断“ p ∧ q ”、“ p ∨ q ”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题 p、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断． 注意：一真“或”为真，一假“且”为假． 2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．
7
变式拓展
1．【答案】B 【解析】由 20＝30 知 p 为假命题；令 h(x)＝x3＋x2－1，则 h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程 x3＋x2－1＝0 在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p)∧q 为真命题，故选 B．
3．【答案】C 【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以 选 C.
特称命题“ ∃x0 ∈ A，q ( x0 ) ” 存在 x0 ∈ A，q ( x0 ) 成立
至少有一个 x0 ∈ A，q ( x0 ) 成立 对有些 x0 ∈ A，q ( x0 ) 成立 对某个 x0 ∈ A，q ( x0 ) 成立 有一个 x0 ∈ A ，使 q ( x0 ) 成立
3．含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：
A．0
B．1
C．2
D．3
6．下面四个命题：
p1 ：命题“ ∀n ∈ N, n2 > 2n ”的否定是“ ∃n0 ∉ N, n02 ≤ 2n0 ”；
p2 :向量 a= (m,1), =b (1, −n) ，则 m = n 是 a ⊥ b 的充分且必要条件；

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲解读1．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 命题趋势探究预测2019年高考主要考查：复合命题真假的判断、全称命题与存在性命题的否定以及利用命题的真假求参数范围．题型主要以选择题、填空题为主． 知识点精讲1．简单的逻样联结词（1）一般地，用联结词“且”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命颐，记作p q ∧，读作“p 且q ； （2）一般地，用联结词“或”把命题p 和q 联结起来，得到一个新命题．记作p q ∨，读作“p 或q ”； （3）一般地，对一个命题p 否定，得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定”． 逻辑联结词的真值规律如表1-2所示．表1-2口诀:（1）“p 且q ”，一假则假，全真才真；（2）“p 或q ”，一真则真，全假才假；（3）“p ⌝”，真假相对．2．全称量词与存在童词（1）全称量词与全称命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．全称命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”．（2）存在量词与特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（特称命题也叫存在性命题）． 3．含有一个量词的命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题．全称命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝． （2）特称命题的否定是全称命题．特称命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝． 注：全称、特称命题的否定是高考常见考点之一． 区别否命题与命题的否定:①只有“若p ，则q ”形式的命题才有否命题，而所有的命班都有否定形式(在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式)；命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝，而否定形式为“若p ，则q ⌝”．②一个命题与其否定必有一个为真，一个为假；而一个命题与其否命题的真假无必然联系． 题型归纳及思路提示题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假 思路提示判断命题真假的一般步骤为： （1）确定命题的构成形式；（2）判断所用的逻辑联结词联结的每个简单命题的真假； （3）报据真值表判断新命题的真假． 例1．15 判断下列命题的真假． （1）24既是8的倍数，也是6的倍数； （2）矩形的对角线互相垂直或相等； （3）菱形不是平行四边形； （4）30≥．分析：解题步骤为分析命题的构成、联系真值表、下结论．变式1（2017·山东）已知命题01)0p x ln x ∀>+>:,(；命题q ：22a b a b 若＞，则＞ ， 下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝变式2 已知命题,p q ，则“p 或q 为真”是p 且q 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件变式3(2016·商丘模拟)已知命题p ：函数1(10)1x y aa a >≠＋＝＋且的图象恒过点()1,2－；命题q ：已知//αβ平面平面，则直线//m α是直线//m β的充要条件．则下列命题为真命题的是( )A ． p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．( )p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝题型8 含有一个量词的命题的否定 思路提示（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”)．再否定结论； （2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提； （3）注意命题的否定与否命题的区别；（4）当p ⌝的真假不易判断时，可转化为去判断p 的真假．例1．16 写出下列命题的否定并判断其真假．（1）:p 不论m 取何实数，方程210x mx +-=必有实数根； （2）:p 有的三角形的三条边相等； （3）:p 菱形的对角线互相垂直；（4）0:N p x ∃∈，200210x x -+≤．评注:命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及其否定如表1-3所示． 表1-3特别地，联结词“且”的否定为“或”， “或”的否定为“且”．“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”，“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”．即)()()(q p q p ⌝∨⌝=∧⌝，)()()(q p q p ⌝∧⌝=∨⌝，与集合的德摩根法则可类比记忆．变式1 命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ）A ．不存在0x R ∈，02x ≤B ．存在0x R ∈，020x≥ C ．对任意的R x ∈，20x≤D ．对任意的R x ∈，20x >变式2（2017·成都七中半期）设命题:(0,),tan 2p x x x π∀∈<，则p ⌝为（）A.000(0,),tan 2x x x π∃∈≥ B ．(0,),tan 2x x x π∀∈≥ B.000(0,),tan 2x x x π∃∈<D ．(0,),tan 2x x x π∀∈=题型9 根据命题真假求参数的范围例 1．17 命题p :关于x 的不等式2240x ax ++>，对一切R x ∈恒成立，q ：指数函数()()32xf x a =-是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．分析 由命题p 或q 为真，p 且q 为假，则p 与q 中有且只有一个为真命题，由此进行讨论．评注：正确理解p 或q 为真，p 且q 为假的含义是解本题的关键点．把p 和q 在数轴上表示出来，在q p 中去掉q p ，剩余部分就是所求，即()pqp q ð．变式1 已知命题P ：关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+≤的解集为ϕ；命题q ：函数()22xy a a =-为增函数．若命题q p ∧为真命题，则实数a 的取值范围为变式2 给定两个命题：P ：对任意实数x ，都有210ax ax ++>恒成立．Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．例1.18已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( ) A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞)D ．(－∞，－12]变式1已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对任意的x 1，x 2∈[1,4]有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________________．最有效训练3（限时45分钟）1．(2015·浙江)命题“**()()n N f n N f n n ∀∈∈≤，且”的否定形式是( ) A ．**()()n N f n N f n n ∀∈∉>，且B ．**()()n N f n N f n n ∀∈∉>，或C ．0000()*()*n N f n N f n n ∃∈∉>，且D ．0000()*()*n N f n N f n n ∃∈∉>，或2．已知p ，q 是简单命题，则“q p ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p :存在),0(,+∞∈b a ，当1=+b a 时，+a 1;31=b命题q :任意01,2≥+-∈x x R x 恒成立，则下列命题中是假命题的是（ ）10．(2016·郑州一模)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤0D ．a ≥013.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．高中数学知识点高考资料高考历年考试真题。

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1.(2016·浙江高考理科·T4)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ( )
A.∀x∈R,∃n∈N
*,使得nB.∀x∈R,∀n∈N
*,使得nC.∃x∈R,∃n∈N
*
,使得n2

D.∃x∈R,∀n∈N
*
,使得n2

【解题指南】根据量词的否定判断.
【解析】选D.∀的否定是∃,∃的否定是∀,n≥x2的否定是n2
.

考点03 逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2．全称量词与存在量词（1）理解全称量词与存在量词的意义.（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、逻辑联结词1．常见的逻辑联结词：或、且、非∧，读作“p且q”；一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q∨，读作“p或q”；用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作p q⌝，读作“非p”．对一个命题p的结论进行否定，得到一个新命题，记作p2．复合命题的真假判断“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表（真值表）来确定：3．必记结论含有逻辑联结词的命题的真假判断：∧中一假则假，全真才真．（1）p q∨中一真则真，全假才假．（2）p q（3）p 与p ⌝真假性相反．注意：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.不能混淆这两者的概念. 二、全称命题与特称命题 1．全称量词和存在量词2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择.3．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所示：考向一 判断复合命题的真假1．判断“p q ∧”、“p q ∨”形式复合命题真假的步骤： 第一步，确定复合命题的构成形式； 第二步，判断简单命题p 、q 的真假； 第三步，根据真值表作出判断．注意：一真“或”为真，一假“且”为假．2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式． 3．当p q ∨为真，p 与q 一真一假；p q ∧为假时，p 与q 至少有一个为假.典例1 设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是 A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧⌝（）（）D ．p q ∨⌝（）【答案】A【解析】取a ＝c ＝（1,0），b ＝（0,1）知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题； ∵a ∥b ，b ∥c ，∴存在λ，μ∈R ，使a ＝λb ，b ＝μc ， ∴a ＝λμc ，∴a ∥c ，∴命题q 是真命题．∴p ∨q 为真命题． 故选A.【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如：a ≥3是a >3或a ＝3；xy ＝0是x ＝0或y ＝0；x 2＋y 2＝0是x ＝0且y ＝0.1．已知命题p ：∀x ∈R,2x<3x；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是 A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )考向二 判断全称命题与特称命题的真假要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.典例2 下列命题中是假命题的是A ．,,αβ∃∈R 使sin()sin sin αβαβ+=+B ．ϕ∀∈R ，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数C ．m ∃∈R,使243()(1)mm f x m x -+=-是幂函数，且在(0,)+∞上单调递减D ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点 【答案】B【名师点睛】全称命题与特称命题的真假判断在高考中出现时，常与数学中的其他知识点相结合，题型以选择题为主，难度一般不大.2．若命题22:421p x ax x a x ∀∈++≥-+R ，是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(]2-∞，B ．[2+)∞，C ．(2,)-+∞D ．(2,2)-考向三 含有一个量词的命题的否定一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.典例3 已知命题()31,,168p x x x ∀∈+∞+>：，则命题p 的否定为A ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+≤： B ．()31,,168p x x x ⌝∀∈+∞+<：C ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤： D ．()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+<：【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为()30001,,168p x x x ⌝∃∈+∞+≤：.故选C.3．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 A ．0x x ∀∈>R ， B ．000x x ∃∈>R ，C ．0x x ∀∈≤R ，D ．000x x ∃∈≤R ，1．设命题:,2ln 2xp x Q x ∃∈-<，则p ⌝为 A ．,2ln 2xx Q x ∃∈-≥ B ．,2ln 2xx Q x ∀∈-< C ．,2ln 2x x Q x ∀∈-≥D ．,2ln 2xx Q x ∀∈-=2．设集合2{|02},{|2}M x x N x x x =∈<≤=∈≥R R ，则 A ．,x N x M ∀∈∈ B ．,x M x N ∀∈∈ C ．00,x N x M ∃∉∈D ．00,x M x N ∃∈∉3．下列命题中的真命题是A ．∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －34．已知命题p ：“,a b a b ∀>>”，命题q ：“000,20x x ∃<>”，则下列为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧⌝ C ．p q ∨D ．p q ∨⌝5．已知函数()3f x x =和()12xg x -=，命题()():,p f x g x 在定义域内都是增函数；命题:q 函数()()y f x g x =-的零点所在的区间为（0，2），则在命题：,,p q p q p q ∧∨⌝∧中，真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．36．下面四个命题：1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∉≤N ”； 2p :向量()(),1,1,m n ==-a b ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件；3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”；4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 是假命题.其中为真命题的是 A ．12,p pB ．23,p pC ．24,p pD ．13,p p7．命题“x ∃∈R ，()2110x m x --+<”为假命题，则实数m 的取值范围为__________．8．已知命题:P x ∀∈R ， ()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022xa ≤，若命题P Q∧为真命题，则实数a 的取值范围为__________．1．（2017山东文科）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝ 2．（2015湖北文科）命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-1．【答案】B【解析】由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．3．【答案】C【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.1．【答案】C【解析】由含有一个量词的命题的否定的概念可得p ⌝：,2ln 2xx Q x ∀∈-≥，故选C ．【名师点睛】（1）该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.（2）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 2．【答案】B【解析】由22x x ≥得02x ≤≤，即}{|02N x x =∈≤≤R ，所以M N ⊆，根据全称命题的特点和子集的定义，得出正确选项为B ．【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题.错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义.解本题时，先由不等式22x x ≥求出x 的范围，写成集合即为N ，再得出集合M ，N 之间的关系，最后得到正确的选项. 3．【答案】D4．【答案】C【解析】对于命题p ，当a =0，b =−1时，0>−1，但是|a |=0，|b |=1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题.对于命题q ，000,20x x ∃<>，如1011,2=0.2x -=->所以命题q 是真命题. 所以p q ∨为真命题. 故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.（2）复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. （3）求解此类问题时，先判断命题p 和q 的真假，再判断选项的真假.【名师点睛】首先判断简单命题,p q 的真假，再由复合命题的真值表可判断复合命题的真假. 复合命题的真值表：熟练记忆和掌握上述真值表便可顺利求解. 6．【答案】B【解析】对于1p ：命题“2,2n n n ∀∈>N ”的否定是“0200,2n n n ∃∈≤N ”，所以1p 是假命题； 对于2p :向量()(),1,1,m n ==-a b ，所以⊥a b 等价于m −n =0即m =n ，则m n =是⊥a b 的充分且必要条件，所以2p 是真命题；对于3p ：“在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是“在ABC △中，若sin sin A B ≤，则A B ≤”，所以3p 是真命题；对于4p ：若“p q ∧”是假命题，则p 或q 是假命题，所以4p 是假命题. 故答案为B.【名师点睛】本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. 7．【答案】[]1,3-【解析】命题“x ∃∈R ，()2110x m x --+<”是假命题，则命题的否定是：“x ∀∈R ，()2110x m x --+≥”是真命题，则()2140m ∆=--≤，解得13m -≤≤，故答案为[]1,3-.【名师点睛】应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型：（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题时，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．【答案】B【解析】由0x =时，210x x -+≥成立知p 是真命题；由221(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q∧⌝是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假． 2．【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C. 【名师点睛】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，属识记基础题.。