原理冲刺

核心考点解读——计数原理两个计数原理（II ）排列、组合（II ） 二项式定理（II ）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目以选择题、填空题为主，考查计数原理及二项式展开式中特定项或其系数等问题，2.从考查内容来看，主要考查利用两个计数原理及排列数、组合数公式，结合分类讨论思想考查完成事情的方法总数；考查利用二项式定理，求解二项展开式中特定项或其系数或系数的最大或最小问题等.3.从考查热点来看，排列、组合、二项式定理是高考命题的热点，根据两个计数原理及排列数、组合数公式确定完成事情的方法总数，同时注意方法的选用.二项展开式中特定项的系数问题是主要的考查内容，着重考查学生运用公式计算的能力.1.两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有n 类不同的方案，在第一类方案中有1m 种不同的方法，在第二类中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为12n N m m m =+++.(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一个步骤中有1m 种不同的方法，在第二个步骤中有2m 种不同的方法，…，在第n 个步骤中有n m 种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为12n N m m m =⨯⨯⨯.(3)两个计数原理的区别在于完成事情的方法是可以完成事情的所有，还是完成事情的某一个步骤.分类加法计数原理中的各种方法都是相互独立的，任何一种方法都能够完成这件事情；分步乘法计数原理中各个步骤的方法是相互联系的，只有各个步骤都完成，才能完成这件事情.要注意两个计数原理的综合应用. 2.排列、组合(1)排列与排列数：一般的，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示. 排列数公式：!A (1)(2)(1)()!mn n n n n n m n m =---+=-.个不同元素中取出2)21 m =-⋅1-1若n 为偶数，则第12n +项的二项式系数2C nn 最大；若n 为奇数，则第112n -+ 和112n ++项的二项式系数12C n n -和12C n n +最大. (3)利用二项展开式的通项求特定项的系数时，可以通过建立方程找到该项是展开式的哪一项，然后再求得该项的系数.(4)二项展开式的系数和或差问题的求解策略通常是采用赋值法，令1x =，则可以求得二项展开式中所有项的系数的和；令1x =-，则可以求得二项展开式中所有项的系数正、负相间的和；若上述两式相加或相减，则可以得到展开式中所有的奇数项系数的和与偶数项系数的和；令0x =，则可以求得展开式中常数项的系数.(5)求解两个二项式乘积中一些特定项或特定项的系数的问题可以根据多项式的乘法法则，弄清楚这些特定的项的构成规律，然后再进行具体的计算.1．（2017高考新课标I ，理6）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．352．（2017高考新课标II ，理6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种3．（2017高考新课标III ，理4）错误!未找到引用源。

时间：5月29日今日心情：核心考点解读——计数原理n m ++.n m ⨯⨯.2)(n m -+2)21⋅.2)(2)21n m -+=⋅C C (k n k kn n n n ab b n -++++∈N 2,,)n ：二项式系数，1.(2016高考新课标I ，理x 3的系数是.（用数字填写答案）【答案】10(0r =，1，2，…，5)，得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.2.(2016高考新课标II ，理5)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．9【答案】B【解析】由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短路径的条数为6，再从F 处到G 处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318⨯=，故选B.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．3.(2016高考新课标III ，理12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个【答案】C【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：【名师点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．4．(2015高考新课标I ，理10)25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 A.10 B.20 C.30 D.60【答案】C【解析】25()x x y ++的展开式的通项为2515C (),rr r r T x x y -+=+令232,()r x x =+则的通项为23633C ()C ,k k k k kx x x --=令65,k -=则=1k ，∴25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为2153C C =30.故选C.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项式展开式中某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.5.(2015高考新课标II ，理15)4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【答案】【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．6．(2014新课标II ，理13)()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =______.(用数字填写答案)【解析】因为10110r r r r T C x a -+=，所以令107r -=，解得3r =，所以373410T C x a ==157x ，所以3310C a =15 【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，考查计算能力.属于基础题.7. (2014高考新课标I ，理13)()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.(用数字填写答案)【答案】20-【解析】由题意，8()x y +展开式通项为818C k k kk T x y -+=，08k ≤≤．当7k =时，77788C 8T xy xy ==；当6k =时，6262678C 28T x y x y ==，故()()8x y x y -+的展开式中27x y 项为726278()2820x xy y x y x y ⋅+-⋅=-，故展开式中27x y 系数为20-．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题.1．(福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟（一）数学（理）试题)设(sin cos )d a x x x π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 A. 1B.1256C. 64D.1642．(山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题)二项式展开式的常数项为A.B.C. 80D. 163．(宁夏银川市2017届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题)某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法A.B.C.D.4．(北京市西城区2017届高三二模数学理科试题)大厦一层有A ，B ，C ，D 四部电梯，人在一层乘坐电梯上楼，其中人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有__________种．（用数字作答）5．(四川省绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学（理）试题)已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为__________．（用数字作答）1．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有几种． A.27B.30C.33D.362．同时抛掷三颗骰子一次，设A =“三个点数都不相同”，B =“至少有一个6点”，则(|)P B A 为3．已知54(12)(1)x ax -+的展开式中的系数为2，则实数的值为________．1．【答案】D【解析】由题意，知00(sin cos )d (sin cos )|2a x x x x x ππ=+=-=⎰，所以22112nnx x ax x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又第4项的二项式系数最大，所以6,1n x ==时，6621112264x x ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即各项系数和为164，故选D. 2．【答案】C当时，4445C (2)80T =-=.故选C. 3．【答案】C【解析】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有36C 种，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，而这两种选法均有33C 种，因此考生共有3363C 2C 18-=种．4．【答案】36【解析】先从人中选择2人坐同一电梯有23C 3=种，在将“2”个元素安排坐四部电梯有24A 12=种，则不同的乘坐方式有31236⨯=种，故答案为36.5．【答案】120【解析】由题意得，令，则，解得，即展开式的通项为2515(C )2rr r r T x x y -+=+，令，则223235C (2)T x x y =+，又二项式的展开式中项为，所以展开式中的系数为25C 12120⨯=.1.【答案】B【解析】由题意可知，这名教师去个地区有两种情况，一是甲、丙和另外一人(不是乙)共同去一地，另外名教师分别去一个地区，有1323C A 中不同的方法；二是有两个地区去人(甲、丙已经确定一组)，另外一个地区去人，有2333C A 种不同的方法，所以共有13232333C A C A 30+=种方案，故选B. 2.【答案】A【解析】A =“三个点数都不相同”包含基本事件共有111654C C C 120=种，其中不含点的基本事件共有111543C C C 60=，所以A 中“至少有一个点”的基本事件1206060-=种，因此A. 3.【答案】【解析】由二项展开式的通项公式得展开式中的系数为1145C 2C 4102, 3.a a a -=-=∴=。

高考数学冲刺指南假设检验的原理与步骤详解高考数学冲刺指南：假设检验的原理与步骤详解在高考数学中，假设检验是一个重要的知识点，也是统计学中的关键内容。

对于许多同学来说，理解和掌握假设检验的原理与步骤可能具有一定的挑战性，但只要我们耐心梳理，就能攻克这个难关，为高考数学加分。

首先，我们来了解一下什么是假设检验。

简单来说，假设检验就是根据样本数据来判断关于总体的某个假设是否成立。

比如，我们可能会假设某个班级学生的平均身高是 170 厘米，然后通过收集样本数据来验证这个假设是否正确。

假设检验的基本原理基于小概率事件原理。

小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，如果在一次试验中竟然发生了，我们就有理由怀疑原假设的正确性，从而拒绝原假设。

接下来，让我们详细探讨假设检验的步骤。

第一步，提出原假设（H₀）和备择假设（H₁）。

原假设通常是我们想要检验其是否成立的假设，备择假设则是与原假设对立的假设。

例如，原假设是某品牌电池的平均使用寿命不低于 500 小时，即 H₀：μ≥500；备择假设就是该品牌电池的平均使用寿命低于 500 小时，即H₁：μ<500。

第二步，确定检验统计量。

检验统计量是根据样本观测值计算出来的一个数值，它用于衡量样本与原假设之间的差异程度。

选择合适的检验统计量取决于所研究的问题和数据的类型。

常见的检验统计量有 z 统计量、t 统计量等。

第三步，确定显著性水平（α）。

显著性水平表示在原假设为真的情况下，拒绝原假设的概率。

通常，我们取α ＝ 005 或α ＝ 001。

这意味着如果我们拒绝了原假设，而实际上原假设是正确的，那么我们犯错误的概率不超过 5%或 1%。

第四步，根据给定的显著性水平和检验统计量的分布，确定拒绝域。

拒绝域是使得我们拒绝原假设的检验统计量的取值范围。

第五步，计算检验统计量的值，并将其与拒绝域进行比较。

如果检验统计量的值落在拒绝域内，我们就拒绝原假设；否则，我们就不拒绝原假设。

瓜豆原理1.动点轨迹直线型最值问题【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ）【精典例题】1、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A B C ．1 D ．22、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．3、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．4、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．2.动点轨迹圆或圆弧型最值问题动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。