分析法证明不等式
2013-12-07
分析法证明不等式
已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√2【1】
∵a⊥b
∴ab=0
又由题设条件可知，
a+b≠0(向量)
∴|a+b|≠0.
具体的，即是|a+b|>0
【2】
显然，由|a+b|>0可知
原不等式等价于不等式：
|a|+|b|≤(√2)|a+b|
该不等式等价于不等式：
(|a|+|b|)≤[(√2)|a+b|].
整理即是：
a+2|ab|+b≤2(a+2ab+b)
【∵|a|=a. |b|=b. |a+b|=(a+b)=a+2ab+b
又ab=0,故接下来就有】】
a+b≤2a+2b
0≤a+b
∵a，b是非零向量，
∴|a|≠0,且|b|≠0.
∴a+b>0.
推上去，可知原不等式成立。
作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。
注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以PDF格式阅读原文。”
就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。
下面我给你介绍一些解不等式的方法
首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)
然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。
在考试的时候方法最多的是用函数的方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。找到他的最小值，最大值。
在结合要求的`等等
一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。
还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法
这种方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。
若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?
解：ab-3=a+b>=2根号ab
令T=根号ab,
T^2-2T-3>=0
T>=3 or T<=-1(舍)
即，根号ab>=3，
故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)。
