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1994年全国高中数学联赛试卷

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1994年全国高中数学联赛试题

第 一 试

一、选择题(每小题6分，共36分)

1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x, 不等式axbxcsincos.0都成立的充要条件是

(A)a,b同时为0,且c>0 (B)abc22

(C)abc22 (D)abc22

2、给出下列两个命题：(1).设a,b,c都是复数，如果abc222,则abc2220.(2).设a,b,c都是复数，如果abc2220,则abc222.那么下述说法正确的是

(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误

(C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确

3、已知数列{}an满足3411aannn(),且a19,其前n项之和为Sn,则满足不等式||Snn61125的最小整数n是

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

4、已知0104ba,,则下列三数:xaba(sin)logsin,yaba(cos)logcos,

zaba(sin)logcos的大小关系是

(A)x

5、在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是

(A)(,)nn2 (B)(,)nn1 (C)(,)02 (D)(,)nnnn21

6、在平面直角坐标系中,方程||||xyaxyb221(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是

(A)三角形 (B)正方形

(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分，共54分)

1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(1,1)和(2,2)，若直线lxmym:0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是______.

2.已知xyaR,[,],44且xxayyya332040sinsincos则cos()xy2=_____.

3.已知点集Axyxy{(,)|()()()}3452222, Bxyxy{(,)|()()()}4552222,则点集AB中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.

4.设0,则sin(cos)21的最大值是______.

5.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于,则sin=___

6.已知95个数aaaa12395,,,,, 每个都只能取+1或1两个值之一,那么它们的两两之积的和aaaaaa12139495的最小值是___.

第 二 试

一、(本题满分25分) x的二次方程xzxzm2120中,zzm12,,均是复数，且zzi12241620，设这个方程的两个根,满足||27,求||m的最大值和最小值。

二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。

三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I,

B60,AC,A的外角平分线交圆O于E,证明:

(1) IO=AE (2) 213RIOIAICR()

四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集PPPP{,,,}121994, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G).

(1)求m(G)的最小值m0

(2)设G*是使mGm(*)0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形。 ABCOIE

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精编版-1994年山东高考理科数学真题及答案

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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共65分)

一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

(1) 设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则BA ( )

(A) {0} (B) {0，1}

(C) {0，1，4} (D) {0，1，2，3，4}

(2) 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 ( )

(A) (0，+∞) (B) (0，2) (C) (1，+∞) (D) (0，1)

(3) 极坐标方程4cos所表示的曲线是 ( )

(A) 双曲线 (B) 椭圆 (C) 抛物线 (D) 圆

(4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( )

(A) 2ctg2tg (B) 2ctg2tg

(C) 2cos2sin (D) 2cos2sin

(5) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 ( )

(A) 511个 (B) 512个 (C) 1023个 (D) 1024个

(6) 在下列函数中，以2为周期的函数是 ( )

(A) y=sin2x+cos4x (B) y=sin2xcos4x

(C) y=sin2x+cos2x (D) y=sin2xcos2x

(7) 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 ( ) (A) 323 (B) 283

(C) 243 (D) 203

(8) 设F1和F2为双曲线42x－y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是 ( )

1994中国数学奥林匹克(第九届全国中学生数学冬令营)

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佚 名

【期刊名称】《中等数学》

【年(卷),期】1994(000)001

【摘 要】第一天 (1994年1月12日上午8:00—12:30) 一、设ABCD是一个梯形(AB∥CD),E是线段AB上一点,F是线段CD上一点,线段CE与BF相交于点H,线段ED与AF相交于点G。

【总页数】1页(P24-24)

【正文语种】中 文

【中图分类】G634.605

【相关文献】

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1994高一希望杯数学竞赛汇编 1998

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班级 姓名

一、选择题

1、)(xf是定义域为R的奇函数，下列结论中正确的是--------------------------（ ）

（A）0)()(xfxf （B）0)()(xfxf

（C）0)()(xfxf （D）0)()(xfxf

2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1与A1B所成角相等于------------------------（ ）

（A）300 （B）450 （C）600 （D）900

3、2cos12sin122等于--------------------------------------------------------（ ）

（A）2sin2cos（B）2sin2cos（C）2sin2cos（D）2sin2cos

4、等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC中点，沿BM把它折为二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为-----------------------------（ ）

（A）300 （B）600 （C）900 （D）1200

5、以下函数中，在区间)0,(上是增函数的函数是-------------------------------（ ）

（A）)(log5.0xy（B）2)1(xy（C）21xy（D）xxy1

6、已知},34|{ZkkM，},322|{ZkkN，},2|{ZkkP，则集合M、N、P满足关系式------------------------（ ）

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备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题05三角函数与解三角形A辑

历年联赛真题汇编

1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列，则sin𝐴cot𝐶+cos𝐴sin𝐵cot𝐶+cos𝐵的取值范围是( )

A．(0,+∞) B．(0,√5+12) C．(√5−12,√5+12) D．(√5−12,+∞)

2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a，b，c使得af(x)+bf(x－c)=1对任意实数x恒成立，则𝑏cos𝑐𝑎的值等于( )

A．−12 B．12 C．−1 D．1

3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC，若对任意t∈R，|𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ −𝑡𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ |≥|𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ |，则△ABC一定为( )

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．答案不确定

4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC内接于单位圆，三个内角A，B，C的平分线延长后分别交此圆于A1，B1，C1.则𝐴𝐴1⋅cos𝐴2+𝐵𝐵1⋅cos𝐵2+𝐶𝐶1⋅cos𝐶2sin𝐴+sin𝐵+sin𝐶的值为( )

A．2 B．4 C．6 D．8

5．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x的方程𝑥2+4𝑥cos𝜃+cot𝜃=0有重根，则θ的弧度数为(

)

A．𝜋6 B．𝜋12或5𝜋12 C．𝜋6或5𝜋12 D．𝜋12

6．【2003高中数学联赛（第01试）】若𝑥∈[−5𝜋12,−𝜋3]，则𝑦=tan(𝑥+2𝜋3)−tan(𝑥+𝜋6)+cos(𝑥+𝜋6)的最大值

是( )

A．125√2 B．116√2 C．116√3 D．125√3