《微积分初步》教案

《微积分初步》教案重庆广播电视大学九龙坡分校杨洪容

教学过程：

一．复习求积分方法，引入新课（涉及的公式及性质均用课件展示）

用定义，基本积分公式及直接积分法求积分，回忆复合函数求导法，以求

⎰xdx 2sin 引出换元积分法。（9392-p ，47p ）

（提问）求函数f(x)的不定积分的方法:

1、定义法：利用定义: F '(x)=f(x)(x ∈I)⇔⎰f(x)dx=F(x)+C,求函数f(x)的不定积分.

2、基本积分表法：利用基本积分表中的9个基本积分公式（课件展示）和不定积分的两个性质:①⎰[f(x)+g(x)]dx=⎰f(x)dx+⎰g(x)dx ② ⎰kf(x)dx=k ⎰f(x)dx

利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法.

求函数f(x)不定积分的实际过程中，我们不难发现，如果被积函数f(x)结构比较复杂时，我们很难用定义求出函数f(x)的不定积分。例如，对函数

x x x x f 3sin ln 1

)(+=

x >1, (临时板书)不能直接用公式求。

概括：由于基本积分表法求函数f(x)的不定积分，需要利用基本积分表中的公式，而基本积分表中的公式只有9个，这样能求不定积分的被积函数的种类和数量都太少，大量存在不定积分的被积函数。

（提问）复合函数的求导法是怎样的？换元积分法是把复合函数求导法则逆过来进行，通过适当的变量替换（换元，提示这是数学的基本思想方法），把某些不定积分化成基本积分表中所列函数的形式再计算出最终结果。

例如，对于不定积分⎰

xdx

2sin 不可以直接用基本公式⎰

+-=c

x xdx cos sin 来计

算，其原因是被积函数x 2sin 是复合函数，x u u y 2sin ==，，假如我们以u 为积分变量，则dx du 2=，解出

du dx 21=

，于是⎰⎰⎰=∙=udu du u xdx sin 21

21sin 2sin 而在上一

节中的基本积分公式表中的每一个公式，当以其他变量替代x 时仍然是成立的，即有

c u du u +-=⎰cos sin 因此有

注意到在求解中我们是将积分⎰xdx 2sin 转化为积分()

⎰

x xd 22sin 来进行的，而后一个积分是以x 2为积分变量的，故可视x u 2=，

利用积分公式求出结果。那么如何将后一个积分与前一个积分相联系呢？这正是解题的关键。实际上，我们是采取了改变积分变量的方法求积分，即

()x d dx dx 221

221=∙=

，而在dx 前面乘一个2是为了将dx 变为()x d 2“凑”上去的，

式子中的添加的因子21

是完全是为了前后两个积分的相等。这种积分方法称为第

一换元积分法，也称凑微分法。（求⎰

xdx

2sin 用临时板书，与学生一起分析过程）

二、进行新课 交代本节任务是完成不定积分的求法，而要运用换元法作为手段，作示范．

定理4.1 （第一换元法）（此定理及证明用课件展示，略说明证明过程，重

⎰+-=+-=c x c u xdx 2cos 2

1

cos 212sin

点在于渗透换元思想）

设()()c

u F du u f +=⎰

则有 ()()()()()c x F dx x x +='⎰ϕϕϕ （4-1） 其中()x ϕ是可微函数。

证 只需证明式（4-1）右端函数的导数等于左端的被积函数。

记()x u ϕ=，且有

()()[]()()()[]()x x f x u F c x F ϕϕϕϕ'=''='

+ 因此有式（4-1）成立。

第一换元积分的思想是：在不定积分()⎰

dx

x f 中，若()x F 可以变形为()()()x x f ϕϕ'1，

而函数()u f 1的原函数()u F 又比较容易得出，那可以用()x u ϕ=对原式作换元，这时相应地有()dx x du ϕ'=，于是有

()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰='=du

u f x d x f dx x x f dx x f 1

1

1

换元ϕϕϕϕ （过程很重要）

()()c

x F c u F ++ϕ还原求积分)(

注意：将()x f 可以变形为()()()x x f ϕϕ'1是学习中的一个难点，其困难之处是经常要“凑”上()x ϕ'，实际上，对于换元积分法的掌握基于我们对积分公式的熟悉，以及对复合函数分解的熟练，同时要会将微分公式反过来用。积分基本公式是积分计算的最终依据, 在积分计算时, 必须将积分号中的被积表达式与某个基本公式中被积表达式的形式完全相一致, 方可利用公式求出积分。

掌握积分的换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 利用换元法时，要把被积表达式分解出

，并凑成微分

,因此这

种方法也称为凑微分法． 例题讲解

dx x ⎰

- )25sin(

（1）“与公式相比较换元” 例1 求

⎰

-dx

x 1

21（板书）（详）

问题：请同学们观察不定积分

⎰

-dx

x 1

21的结构形式，它与基本积分公式表中的

哪个公式类似? 观察被积函数是一个复合函数，最外面一层是幂函数，可想到基本公式表中

c u du u ++=

+⎰111

αα

α这个公式。

解 被积函数可以写成()

2

1

12--x ，若令12-=x u ，可以利用积分公式

⎰++=

+c u du u 111

ααα对变量u 求解。

于是令12-=x u ，则dx du 2=，即

du dx 21

=

c x c u du u

dx x +-=+⨯==-⎰⎰

-

12221

211

2121

2

1

注意：在微分中我们已经习惯了dx y dy '=，而在积分计算中常常是要反过来使用，

即dy dx y ='。例如将）（12)2(2-==x d x d dx

例 2 求⎰xdx 2cos 2.（板书）（主要是学生求解，略）

问题：请同学们首先分析该例中的被积表达式2cos2xdx 与基本公式表中的哪个公式的被积表达式类似,然后请同学们利用该基本积分公式和例1中换元的方法对例2求解.

总结: 好,请同学们看黑板,将自己的解法与黑板上的解法进行对比,看看自己的解法中是否有不当之处，表达是否准确无误. 解:

C

x C

u udu x xd xdx +=+===⎰⎰⎰2sin sin cos )

2(2cos 2cos 2