高二数学函数的单调性

高二数学函数的单调性

课 题

函数的单调性课 型新授时 间09/ 10 /

学习目标

1.了解函数的单调性与导数的关系；

2.能利用导数研究函数的单调性；

3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间

学习重点

利用导数研究函数的单调性

一、自主学习

1.（1）作出函数的图像，并指出其单调区间：

（2）作出函数的图像，并指出其单调区间：

2.作出函数f(x)=的图像，并用函数的单调性定义证明其在(0，+∞)上递减.

3. 函数的单调性是对函数变化的一种刻画，而导数也反映了函数变化的趋势，这两者之间有什么联系？

如果函数在区间上是增函数，那么对任意，当

时，则，即与同号。

而从函数的变化率来看，有，即导数.

你能解释函数在区间上是增函数与的关系吗？

结论：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数， 如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；

如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

请利用导数这一工具解决上面3个习题。

请总结利用导数求函数单调区间的基本步骤：

请总结利用导数证明函数单调性的基本步骤：

自学检测：见课本（文P76，理P29）练习

第1题：（1）；

（2）；

第2题：（1）；

（2）；

（3）；第3题（1）证明：

（2）证明：

二、问题探究

问题1：如何从导数的几何意义（切线的斜率）角度理解函数的单调性？

见《赢在课堂》自我检测部分第5题：；

问题2：若函数在某个区间上单调，那么在该区间上一定有或吗？1.求下列函数的单调区间：

（1）；（2）

2.已知函数在实数集R上单调递减，求实数的取值范围。（若在实数集R上单调呢？）小结：三、合作交流

例1.求下列函数的单调区间：

（1）函数的单调增区间是；

（2）函数的单调减区间是；

（3）函数的单调减区间是；

变式：若函数是区间上的减函数，则实数的取值范围是。

例2.（1）证明函数在上是增函数；

高中数学函数的单调性知识点总结

一、函数的单调性

1、什么是单调性

用单调性来描述一个函数的变化，就是说函数沿着正方向或者反方向的变化是有规律的，而不是曲折转变，也就是说，函数的变化都是连续的，这就是单调性。

2、单调性的三种情况

(1)上升函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递增，就可以说f(x)为上升函数，可以简写为f(x)为单调增函数。

(2)下降函数：如果在区间[a,b]内使得f(x)单调递减，就可以说f(x)为下降函数，可以简写为f(x)为单调减函数。

(3)常函数：函数f(x)在区间[a,b]上恒等于常数c，则称函数为常函数，常函数是不存在单调性的。

3、判断函数的单调性

依照函数的单调性情况，可以通过图形方法和导数法来判断函数的单调性：

(1)图形判断法，即根据函数图像大致的凸凹情况来判断函数的单调性。

(2)导数法，即当函数在其中一区间内正、负、零导数情况来判断函数的单调性。

二、函数的可导性 1、什么是可导性

可导性是指在其中一区间上，函数的导数存在且唯一，可以说是函数的一种性质，在数学教学中也常常称为连续性或者连续性。

可导代数函数的定义：在其中一区间上，若存在一个函数f(x)的导数f’(x)，并且所有的在该区间上的导数经过等价的变换得到f’(x)，就称f(x)在该区间上为可导函数。

高二导数单调性知识点

导数单调性是高二数学中重要的知识点之一。它描述了函数在其定义域内的变化趋势。在学习导数单调性时，我们需要了解导数的定义、单调递增和单调递减的概念，以及如何利用导数判断函数的单调性。下面将详细介绍这些知识点。

一、导数的定义

导数是函数在某一点处的变化率。设函数y=f(x)在点x=a处可导，则函数在该点的导数表示为f'(a)，即f'(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]／h。其中，h为自变量x的增量。

二、单调递增和单调递减

1. 单调递增

若对于定义在区间I上的函数f(x)，当 x1 < x2时，有f(x1) ≤

f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的。换句话说，就是函数呈现出递增的趋势。

2. 单调递减 若对于定义在区间I上的函数f(x)，当 x1 < x2时，有f(x1) ≥

f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。也就是说，函数呈现出递减的趋势。

三、导数与函数单调性的关系

1. 导数为正时的单调性

若函数y=f(x)在区间上可导，并且对于该区间上的每个点，其导数大于零，则函数在该区间上是单调递增的。

2. 导数为负时的单调性

若函数y=f(x)在区间上可导，并且对于该区间上的每个点，其导数小于零，则函数在该区间上是单调递减的。

3. 导数为零时的单调性

若函数y=f(x)在区间上可导，并且对于该区间上的每个点，其导数等于零，则函数在该区间上可能是单调递增或单调递减的。

4. 导数存在极值的单调性 若函数y=f(x)在区间上的某一点x0处导数存在，且在该点的导数由正变负，或由负变正，则函数在该点附近的某个区间上是单调递增或单调递减的。

综上所述，我们可以通过导数的正负来推断函数的单调性。当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能是单调递增或单调递减，需要再进一步分析。

导数单调性的应用不仅仅停留在纸面上的计算，它在实际问题中也有重要的应用。如在生产过程中，通过分析某个指标随时间的变化趋势，可以判断某一工艺步骤是否达到了最佳状态，进而优化生产效率。

高二数学知识点及公式

高二数学是整个高中数学学习的关键阶段，知识点和公式繁多，需要我们认真掌握和理解。以下是对高二数学常见知识点及公式的详细梳理。

一、函数部分

1、 函数的单调性

设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁ ＜ x₂ 时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或

f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。

函数单调性的判定方法：

（1）定义法：设 x₁、x₂ 是给定区间上的任意两个自变量的值，且 x₁ ＜ x₂，函数 f(x)在给定区间上具有单调性时，作差 f(x₂) f(x₁)，然后判断其正负。

（2）导数法：若函数 f(x)在区间 D 内可导，当 f'（x) ＞ 0 时，f(x)在区间 D 上单调递增；当 f'（x) ＜ 0 时，f(x)在区间 D 上单调递减。

2、 函数的奇偶性 对于函数 f(x)，如果对于定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝

f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

判断函数奇偶性的步骤：

（1）求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称。

（2）计算 f(x)，并与 f(x)进行比较。

3、 指数函数

指数函数的一般形式为 y ＝ a^x（a ＞ 0 且 a ≠ 1）。

指数函数的性质：

（1）当 a ＞ 1 时，函数在定义域内单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在定义域内单调递减。

（2）函数的图像恒过点 （0, 1)。

4、 对数函数

对数函数的一般形式为 y ＝ logₐx（a ＞ 0 且 a ≠ 1）。

对数函数的性质：

（1）当 a ＞ 1 时，函数在定义域内单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在定义域内单调递减。

（2）函数的图像恒过点 （1, 0)。 5、 幂函数