中考数学专题复习:专题一 数与式
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专题一 数与式
【专题分析】
本专题的主要考点有实数的有关概念,科学记数法,非负数的性质,实数的运算;幂的运算,整式的运算,因式分解;分式的概念,分式的加减,分式的混合运算;二次根式的有关概念,二次根式的性质,二次根式的运算等.中考中数与式的考查一般以客观张题为主,但分式的化简求值经常有开放型题目.数与式的考查常见题型以选择题或填空题为主,整式和分式的化简求值一般以解答题的形式进行考查.数与式在中考中所占比重约为20%~25%. 【解题方法】
解决数与式问题的常用方法有数形结合法,特殊值法,分类讨论法,整体代入法,设参数法,逆向思维法等. 【知识结构】
【典例精选】:
计算:2-1
-3tan 60°+(π-2 015)0
+⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
-12.
【思路点拨】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零次幂以及绝对值的概念计算即可.
【自主解答】
解:原式=12-3×3+1+1
2
=-1.
把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y)
C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
【思路点拨】首先提取公因式y,再利用完全平方公式进行二次分解即可.答案:C
规律方法:
利用两种方法结合的分解因式题目,提公因式后不要忘记利用公式法二次分解,分解因式要在规定的范围内分解彻底.
先化简,再求值:(x+3)(x-3)+2(x2+4),其中x= 2.
【思路点拨】原式第一项利用平方差公式展开,第二项去括号,合并同类项得到最简结果,将x的值代入计算即可求出代数式的值.
【自主解答】
解:原式=x2-9+2x2+8=3x2-1.
当x=2时,原式=3×(2)2-1=5.
规律方法:
整式的计算,要根据算式的特点选择合适的方法,可先选择乘法公式展开,然后合并;或先因式分解,然后计算.
先化简,再求值:
m-3
3m2-6m
÷
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
m+2-
5
m-2,其中
m是方程x2+3x+1
=0的根.
【思路点拨】在化简时要先算括号里面的,再把除法变为乘法,然后分解因式并约分,最后相乘.
【自主解答】
解:原式=
m-3
3m m-2
÷
m2-9
m-2
=
m-3
3m m-2
×
m-2
m+3m-3
=
1
3m m+3
.
∵m是方程x2+3x+1=0的根,∴m2+3m+1=0,∴m2+3m=-1,即m(m+3)=-1,
∴原式=1
3×-1=-
1
3
.
规律方法:
1.本题采用了整体代入法求解,这是求代数式的值常用的方法,体现了整
体思路的应用.
2.分式的化简求值是先化简,再求值;化简时一定要化到最简,结果是最简分式或整式.
【能力评估检测】
一、选择题
1.已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm 3,则用科学记数法表示该数为( A )
A .1.239×10-3 g/cm 3
B .1.239×10-2 g/cm 3
C .0.123 9×10-2 g/cm 3
D .12.39×10-4 g/cm 3 2.下列运算错误的是( B )
A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫120
=1 B .x 2+x 2=2x 4
C .|a |=|-a | D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 23=b
3
a
6
3.下列运算错误的是( D )
A.
a -
b 2
b -a 2=1 B.
-a -b
a +b
=-1 C.
0.5a +b 0.2a -0.3b =5a +10b 2a -3b D. a -b a +b =b -a
b +a
4.下列二次根式中,不能与2合并的是( C ) A.
1
2
B. 8
C. 12
D.18 5.若m =
2
2
×(-2),则有( C ) A .0 6.(2015·绍兴鲁迅中学模拟)下列三个分式12x 2, 5x -14m -n ,3 x 的最简公分 母是( D ) A .4(m -n )x B .2(m -n )x 2 C. 14x 2 m -n D .4(m -n )x 2 7.已知x -1x =3,则4-12x 2+3 2x 的值为( D ) A .1 B. 32 C. 52 D. 7 2 【解析】把x -1 x =3两边同乘x ,得x 2 -1=3x ,即x 2 -3x =1,所以4-12 x 2 +32x =4-12(x 2-3x )=4-12×1=7 2 . 8.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的: 根据此规律确定x 的值为( ) A .135 B .170 C .209 D .252 【解析】观察前四个表格中的数字,第1个表格中 9=2×4+1,第2个表格中20=3×6+2,第3个表格中35=4×8+3,第4个表格中54=5×10+4,且每个表格中左下角的数字是右上角数字的一半,左上角的数字比左下角数字小1,所以b =1 2 ×20=10,a =b -1=9,x =20×10+9=209.故选C. 答案: C 9.实数a ,b 在数轴上对应的点的位置如图所示,计算|a -b |的结果为( C ) A .a +b B .a -b C .b -a D .-a -b 【解析】由图可知,a <0,b >0,所以a -b <0,所以 |a -b |=-(a - b ),C 正确. 10.如图,在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为 (a +2)的小正方形(a >2),将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积为( C ) 第1个 第2个 第3个 第4个 … … …