2017年山东省临沂市高考数学二模试卷(理科)

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。

弘德中学高三数学期末备考（五）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. （5分）（2017?新课标H）幺宦=（）1+1A . 1+2i B. 1 - 2i C. 2+i D. 2 - i2 . （5 分）（2017?新课标H）设集合A={1 , 2, 4} , B={x|x 2- 4x+m=0} •若A A B={1},贝V B= （）A. {1 , - 3} B . {1 , 0} C. {1 , 3} D . {1 , 5}3. （5分）（2017?新课标H）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏4. （5分）（2017?新课标H）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）5.（5 分）（2017?新课标H）2x+3y-3<0设x, y满足约束条件-2x_3y+3^ 0 ,则z=2x+y的最小值是（A . - 15 B. - 9 C . 1A . 90 n B. 63 n C. 42 n D .6. （ 5分）（2017?新课标H ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A . 12 种B . 18 种C . 24 种D . 36 种7. （5分）（2017?新课标H ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩•老师 说：你们四人中有 2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲 的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A •乙可以知道四人的成绩B •丁可以知道四人的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩（5分）（2017?新课标H ）执行如图的程序框图，如果输入的 a=- 1，则输出的S=（）11 . （5 分）（2017?新课标 H ）若 x= - 2 是函数 f （x ） = （x2+ax - 1） ex - 1 的极值点，贝U f （x ） 的极小值为（ ）A . - 1B . - 2e - 3C . 5e - 3D . 112 . （5分）（2017?新课标H ）已知 △ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则 飞（丨：・+"）的最小值是（）A . - 2B . -C . -D . - 1三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13 . （ 5分）（2017?新课标H ） —批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有C .乙、丁可以知道对方的成绩 8.2 B .3 C .4（5 分）（2017?新课标 H ）2+y2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（573A . 2B .C .「D .10.（ 5分）（2017?新课标H ）已知直三棱柱则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（Vlo V3_D .3=1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线被圆 (x - 2))ABC - A1B1C1 中，/ ABC=120°, AB=2 , BC=CC1=1 , )V32放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= .n1『 ---15. （5分）（2017?新课标n ）等差数列｛an ｝的前n 项和为Sn , a3=3, S4=10,则 吐2k =16. （5分）（2017?新课标n ）已知 F 是抛物线C : y2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，贝U |FN|=.三、解答题：共70分.17. (12分)(2017?新课标n) A ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知sin (A+C )B_=8sin2 龙.(1 )求 cosB ;(2)若 a+c=6, A ABC 面积为 2,求 b .18. （12分）（2017?新课标n ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）,其频率分布直方图如图:t 频率/组距旧养殖法新养殖法（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于 50kg ”估计A 的概率；（2 ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量v 50kg箱产量＞ 50kg旧养殖法新养殖法）.附：P (K2>k0.050 0.0100.001 K3 >.841 6.635 10.828K 2= _____ n (ad-bc ) 2ta-Fb) Ccfdj (a+cD (b+d)19. （12分）（2017?新课标n ）如图，四棱锥 P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于111底面 ABCD , AB=BC= 2 AD ，/ BAD= / ABC=90 , E 是 PD 的中点.（1） 证明：直线 CE //平面PAB ;（2） 点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°求二面角 M - AB - D 的余弦 值.o ”窗亦氏产细14. (5 分)(2017?新 课标n)函数 f (x ) =sin 2x+ • ；cosx -」(x € [0，:])的最大值是20. (12分)(2017?新课标H)设0为坐标原点，动点M在椭圆C: " +y2=1上，过M做x 轴的垂线，垂足为N，点P满足【「=讣川.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x= - 3上，且「？〔」=1 •证明：过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦点F.21. (12 分)(2017?新课标H)已知函数f (x) =ax2 - ax- xlnx，且f ( x) >0.(1 )求a;(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0，且e- 2v f (x0)v 2 - 2.(二)选考题：共10分.22. (10分)(2017?新课标H)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为p cos 0 =4(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；兀(2)设点A的极坐标为(2, 5 ),点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值..=6,、选择题 2. 【解答】解：集合 A={1 , 2, 4} , B={x|x 2 - 4x+m=0}. 若 An B={1}，贝y 1€ A 且 1 € B ,可得1 - 4+m=0，解得 m=3 , 即有 B={x|x 2 - 4x+3=0}={1 , 3}. 故选：C .3. ［解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，•••宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2倍，•••从塔顶层依次向下每层灯数是以 2为公比、a 为首项的等比数列, 又总共有灯381盏, r2x42y-3<0y 满足约束条件 2x-3rH3> 0的可行域如图:z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1人完成, 可得：6". ：=36种.参考答案y=-3则z=2x+y 的最小值是：-15.解得 A (- 6,- 3),1.【解答】解: 故选D .3+L .一一;■一1.1+i.2• 381 =1'2则这个塔顶层有 故选B .4.［解答】解: 一半， =127a ,解得 a=3,3盏灯, 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 股?冰6=63,故选：B .V=n ?3X10 - 7tX 、 5.【解答】解: =2 - i ,6的圆柱的故选：D .7.【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩T 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） T 乙看到了丙的成绩，知自己的成绩T 丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D .&【解答】解：执行程序框图，有 S=0, k=1 , a= - 1,代入循环, 第一次满足循环，S=- 1, 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，:7 W6不成立 故选：B .C c 2 -4 a 2- ；，可得 e 2=4，即 e=2.c故选：A .10. 【解答】 解：如图所示，设 M 、N 、P 分别为AB , BB 1和B 1C 1的中点, 则AB 1、BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角I TT（因异面直线所成角为（0, --------- ］）, 可知2 2 ,NP==BC 1=¥ ；作BC 中点Q ,则APQM 为直角三角形； •/ PQ=1 , MQ 」AC ,2△ABC 中，由余弦定理得第二次满足循环， S=1, a = -1, k=3;第三次满足循环， S=- 2, a=1, k=4; 第四次满足循环， S=2, a= -1, k=5;第五次满足循环， S=- 3, a=1, k=6; 第六次满足循环， S=3, a = -1, k=7;.，退出循环输出，S=3;9.【解答】 解：双曲线C=1 （ a > 0, b > 0）的一条渐近线不妨为： bx+ay=0 ,圆（x - 2） 双曲线C : b 22+y 2=4的圆心（2, 0）,半径为：2,2 2务-工7=1 （ a >0, b > 0）的一条渐近线被圆（x - 2） 2+y 2=4所截得的弦长为 2, a 2 k.可得圆心到直线的距离为: 1处丨解得:a=1, k=2 ;2AC2=AB 2+BC 2- 2AB?BC?cos/ ABC=7,••• AC=-,••• MQ= =2在3QP中，MP=丽P(庐厚；在NMN中，由余弦定理得11. 【解答】解：函数f (x) = (x2+ax- 1) e x r,可得f'(x) = (2x+a) e x_ 1+ (x2+ax- 1) e x_ 1, x= - 2 是函数 f (x) = (x2+ax - 1) e x 1的极值点，可得：-4+a+ (3- 2a) =0.解得a= - 1.可得f'( x) = (2x- 1) e x-1+ (x2- x - 1) e x -1,=(x2+x - 2) e x-1,函数的极值点为：x= - 2, x=1 ,当x v - 2或x > 1时，f'( x) > 0函数是增函数，x € (- 2, 1)时，函数是减函数, x=1 时，函数取得极小值：f (1) = (12- 1 - 1) e1 1= - 1.故选：A .12. 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则 A (0, . ■：), B (- 1 , 0), C (1 , 0),设P (x, y),则口卜(-x，品-y), ■= (- 1 - x,- y), '「= (1 - x,- y), 则页?(莎更=2x2- 2嫡+2y2=2[x2+ (y-字)]cos/ MNP=7〔0 •又异面直线所成角的范围是（0,二AB i与BC 1所成角的余弦值为1vTo•••当x=0, y=、？时，取得最小值 2X(-3 )=-1,242故选：B是一个二项分布模型， 其中，p=0.02 ,n=100 ,16.【解答】解：抛物线C : y 2=8x 的焦点F (2,0) , M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1,贝U M 的纵坐标为： |FN|=2|FM|=2 .〔1 | -」=6.故答案为：6. 三、解答题17.【解答】 解：(1) sin (A+C ) =8sin 2=, /• sinB=4 (1 - cosB ), ••• sin 2B+cos 2B=1 ,14.【解答】 解：f (x ) =sin 2x+ .「； C OSX —亠=1 - cos x4 :2::+ 「；cosx — 令 cosx=t 且 t € [0 , 1], 则 f (t ) = - t 2 + :甘丄=—4(t —)2+1 ,当 t=L 时，f (t )2即f (x )的最大值为1, 故答案为：1max =1 ,15.【解答】 解：等差数列 可得a 2=2，数列的首项为1 S =ntn+l)S n ={a n }的前 n 项和为 S n , a 3=3, S 4=10, 1，公差为1,,=—2(丄亠， 畀 ntn+l) ‘口 n+1S 4=2 (a 2+a 3) =10,I'L则£k=l=2[1 -与亠丄…+ ]=2 (1 -n+12nn+1故答案为: Ml13.【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验,则 DX=npq=np (1 - p ) =100X0.02 >0.98=1.96 . 故答案为：1.96.16 (1 — cosB ) 2+COS 2B=1 ,•••( 17cosB - 15) ( cosB - 1) =0, (2)由(1)可知 sinB=£_,17S ZABC =』ac?sinB=2, 217 2…ac=IT=a 2+c 2 - 15= (a+c ) 2 -2ac - 15=36 - 17 - 15=4, • b=2.18.【解答】解：(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由 P (A ) =P ( BC ) =P ( B ) P ( C ),则旧养殖法的箱产量低于 50kg : (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040 ) X5=0.62, 故P (B )的估计值0.62,新养殖法的箱产量不低于 50kg : (0.068+0.046+0.010+0.008 ) X5=0.66, 故P (C )的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P (A ) =P ( B ) P ( C ) =0.62 >0.66=0.4092 ;箱产量v 50kg箱产量> 50kg总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法34 66 100 总计96104200=5>(37.5 >0.004+42.5 >.020+47.5 >.044+52.5 >.068+57.5 >.046+62.5 >.010+67.5 >.008), =5 X10.47, =52.35 (kg ).新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35 ( kg )方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面积:(0.004+0.020+0.044 ) X5=0.034 , 箱产量低于55kg 的直方图面积为：(0.004+0.020+0.044+0.068 ) >5=0.68 > 0.5,…cos• b 2=a 2+c 2- 2accosB=a 2+c 2- 2则K 2=• A 发生的概率为0.4092; (2) 2>列联表：〜15.705100X100X96X104由 15.705 > 6.635,•••有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； (3) 由 题 意 可 知新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35 ( kg ).19.【解答】(1)证明：取PA 的中点F ,连接EF , BF ，因为E 是PD 的中点, 二 AD ,2••• BCEF 是平行四边形，可得 CE // BF , BF?平面PAB , CF?平面PAB , •••直线CE //平面PAB ; (2)解：四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD , AB=BC= ±AD , / BAD= / ABC=90 , E 是 PD 的中点.取AD 的中点O , M 在底面 ABCD 上的射影 N 在0C 上，设AD=2，贝U AB=BC=1 , 0P=., •••/ PCO=60，直线BM 与底面ABCD 所成角为45° 作NQ 丄AB 于Q ,连接MQ ,20.【解答】 解：(1 )设M (X 0, y 0),由题意可得 N (X 0, 0), 设P (x , y ),由点P 满足J '= m故新养殖法产量的中位数的估计值为50+十〜52.35( kg ),所以EF |二AD,AB=BC= =AD ，/ BAD= / ABC=90 , • BC // 2 可得: 可得: BN=MN , CN= 2_1MNBC=1 , 1+_BN 2=BN 2,3BN=—2MN=Vs2所以/ MQN 就是二面角 M - AB - D 的平面角,可得(X - X 0, y )=护(0, y o ), 可得 x - x o =o , 沪.■:yo ,0v X V 丄时 h ' (x )v 0、当 x >丄时 h ' (x )> 0,a a又因为 h (1) =a - a - In 仁0 , 所以一=1，解得a=1;a(2)证明：由(1)可知 f (x ) =x 2 - x - xlnx , f'( x ) =2x - 2 Tnx ,令 f ' (x ) =0,可得 2x - 2- lnx=0，记 t (x ) =2x - 2 -lnx ，贝U t '(x ) =2 -丄,且不妨设f '(X )在(0, X 0)上为正、在(X 0, X 2)上为负、在(X 2, +8)上为正, 所以f (x )必存在唯一极大值点X 0,且2x 0- 2 - lnX 0=0,即有X o =x ,代入椭圆方程 2=1 , 可得厶+ 2X 2+y 2=2； m ), P (/J cos a逅sin a ?(- ：cos a- 2cos 2 a+ :■:ms in —2sin 2 a =1, 即有点P 的轨迹方程为圆 (2)证明：设Q (- 3, V ? 1.1=1，可得(-../■J cos a 即为-3门 3(1+*® 口旳) V2sin^ 解得m= 即有Q (- 3, V2sin^ ), 2椭圆；+y 2=1 的左焦点F (- 1, 0), 由 k oQ =—k PF = V2sinCX 血白inQ ⑴匸“Q +1 由 k oQ ?k PF = - 1, 可得过点P 且垂直于OQ 的直线 21.【解答】(1)解：因为则f (x )等价于h (x ) 典sin a , ( 0W 幺 2 n), 3-V^cos a m -^2.sin ) =1, =1 (x ) =ax 2- ax - xlnx=x (ax - a - lnx ) (x > 0), =ax - a - lnx >p令 t (x ) =0,解得：x=-所以t (x )在区间(0,i )上单调递减，在(—2 2,+s)上单调递增,因为h' (x ) =a -丄，且当x所以 h (x ) min = h ^~),X 0, X 2,—x o — x o l nx o = - — x o +2x o — 2由 f ' ( —) V 0 可知 X 0V —丄e综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点 x o ,且e 2V f （x o ）v 2 2. （二）选考题22.【解答】 解：（1）曲线C i 的直角坐标方程为：x=4 , ，…y o =[选修4-5:不等式选讲] 23.【解答】 证明：(1)由柯西不等式得：(a+b ) (a 5+b 5) 当且仅当即a=b=1时取等号，(2)v a 3+b 3=2,••( a+b ) (a 2 — ab+b 2) =2, •••( a+b ) [ (a+b ) 2— 3ab]=2 , ••( a+b ) 3— 3ab (a+b ) =2,=ab ,由X o V 丄可知f （ X 0）V（2 X 0 —1 11护7max =由均值不等式可得: 仏)3-23(a+b)=ab <(~2)2,••( a+b ) 3 —所以f （X 0）=所以f （X ）在（0, X 0）上单调递增，在（X 0, 一）上单调递减,e设P （X, y ），M （4，y0），则专•/ |OM||OP|=16,=16，2 即(x 2+y 2 ) ( 1+匚)=16,' 2I• x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2,即（x 2+y 2） 两边开方得：X 2+y 2=4x , 整理得：（X — 2） 2+y 2=4 （X 工0, •••点P 的轨迹C 2的直角坐标方程：（2）点A 的直角坐标为A （1 ,•曲线C 2的圆心（2 , 0）到弦OA 的距离d=：」厂刁=：-；, |OA|? （2+ . ；） =2+ -；. 2=16X 2,(X — 2) 2+y 2=4 (X M0 .V3),显然点A 在曲线C 2上, |OA|=2 ,所以 f (x o )> f (丄)= )2= (a 3+b 3)2>4•••△ AOB 的最大面积(a+b) 3W2,••• a+b<2,当且仅当a=b=1时等号成立.。

2016年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足＝i，则z的模是（）A．B．C．1D．2．（5分）已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，B＝{m，2n}，若A∩B＝{1}，则m+n＝（）A．5B．6C．7D．83．（5分）甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s 1＞s2B．，s1＞s2C．，s 1＜s2D．，s1＜s24．（5分）将函数f（x）＝cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，] 5．（5分）已知tan（﹣x）＝2，则sin2x＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）已知f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若f（x）+g（x）＝3x，则下列结论正确的是（）A．f（1）＝B．g（1）＝C．若a＞b，则f（a）＞f（b）D．若a＞b，则g（a）＞g（b）7．（5分）已知a＝∫sin xdx，若从[0，10]中任取一个数x，则使|x﹣1|≤a的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，面P AC⊥面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝P A＝PC＝2，M，N为线段PC上的点，若MN＝，则三棱锥A﹣MNB的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）对于同一平面内的单位向量，，，若与的夹角为60°，则（﹣）•（﹣2）的最大值为（）A．B．2C．D．310．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得2x+y2e y﹣a＝0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1+，e]B．[1+，e]C．（1，e]D．（2+，e]二、填空题11．（5分）已知双曲线﹣y2＝1的一条渐近线与直线l：3x+y+1＝0垂直，则此双曲线的焦距为．12．（5分）已知条件P：x2﹣3x+2＞0；条件q：x＜m，若￢p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．14．（5分）现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种．（用数字作答）15．（5分）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是．三、解答题16．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝6，cos∠ADC＝﹣．（1）若∠CAB＝，求AC的长；（2）若BD＝9，求△ABD的面积．17．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝CD，∠ADC＝45°．（1）若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD＝2，AA1＝λAC，二面角A﹣A1C1﹣D的平面角的余弦值为，求λ的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝6，S5＝45；数列{b n}前n项和为T n，且T n﹣2b n+3＝0．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和Q n．19．（12分）某高中为适应“新高考模式改革”，满足不同层次学生的需要，决定从高一年级开始，在每周的周二、周四、周五的课外活动期间同时开设物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规格：各科达到预定的人数时称为满座，否则称为不满座），统计数据表明，以上各学科讲座各天满座的概率如表：（1）求一周内物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率；（2）设周四各辅导讲座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（13分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣lnx．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（3）求证：++…+＞ln（n+1）（n∈N•）．21．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过椭圆+＝1的焦点G与y轴垂直的直线与抛物线C交于点H，且|HF|＝2|GH|．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1、l2，分别交C于点A，B和点M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（3）在（2）的条件下，求△FPQ外接圆面积的最小值．2016年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足＝i，则z的模是（）A．B．C．1D．【解答】解：＝i，∴z＝i+zi，∴z＝＝＝+，∴|z|＝＝，故选：B．2．（5分）已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，B＝{m，2n}，若A∩B＝{1}，则m+n＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：A＝{2，log7m}，B＝{m，2n}，A∩B＝{1}，∴1∈A且1∈B，∴log7m＝1，2n＝1∴m＝7，n＝0，∴m+n＝7．故选：C．3．（5分）甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＞s2B．，s1＞s2C．，s1＜s2D．，s1＜s2【解答】解：∵甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图设s 1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，∴＝（18+19+23+27+28）＝23，＝（17+18+21+26+28）＝22，＝[（18﹣23）2+（19﹣23）2+（23﹣23）2+（27﹣23）2+（28﹣23）2]＝82，，＝[（17﹣22）2+（18﹣22）2+（21﹣22）2+（26﹣22）2+（28﹣22）2]＝94，S2＝，∴，s 1＜s2．故选：D．4．（5分）将函数f（x）＝cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：将函数f（x）＝cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y＝cos（2x+），即g（x）＝cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k＝0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．5．（5分）已知tan（﹣x）＝2，则sin2x＝（）【解答】解：由tan（﹣x）＝2，得，即，解得tan x＝﹣．∴sin2x＝．故选：B．6．（5分）已知f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若f（x）+g（x）＝3x，则下列结论正确的是（）A．f（1）＝B．g（1）＝C．若a＞b，则f（a）＞f（b）D．若a＞b，则g（a）＞g（b）【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∵g（x）是定义在R上的偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），∵f（x）+g（x）＝3x，①在上述等式中，以﹣x代x，得：f（﹣x）+g（﹣x）＝3﹣x，∴﹣f（x）+g（x）＝3﹣x，∴f（x）﹣g（x）＝﹣3﹣x，②由①②可得f（x）＝（3x﹣3﹣x），g（x）＝（3x+3﹣x），∴f（1）＝，g（1）＝，故A，B不正确∵函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）单调递增，∴a＞b，则f（a）＞f（b），故C正确；对于D，利用对勾函数的性质，可知不正确．故选：C．7．（5分）已知a＝∫sin xdx，若从[0，10]中任取一个数x，则使|x﹣1|≤a的概率为（）【解答】解：∵a＝∫sin xdx＝（﹣cos x）|＝2∴|x﹣1|≤2的解为：﹣1≤x≤3，故：从[0，10]中任取一个数x，则使|x﹣1|≤a的概率为：＝，故选：B．8．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，面P AC⊥面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝P A＝PC＝2，M，N为线段PC上的点，若MN＝，则三棱锥A﹣MNB的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取AC中点O，连接BO，∵AB＝BC，BO⊥AC，∵面P AC⊥面ABC，∴由面面垂直的性质可得，BO⊥面P AC，∵AB＝BC＝P A＝PC＝2，AC＝AC，∴△ABC≌△APC，又AB⊥BC，∴AP⊥PC，即△APC为直角三角形，在Rt△ABC中，由AB＝BC＝2，得AC＝，∴OB＝，则V A﹣MNB＝V B﹣AMN，又MN＝，∴V A﹣MNB＝V B﹣AMN＝．故选：A．9．（5分）对于同一平面内的单位向量，，，若与的夹角为60°，则（﹣）•（﹣2）的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：∵同一平面内的单位向量，，，若与的夹角为60°，设＝（1，0），＝（，），＝（cosα，﹣sinα），∴﹣＝（，﹣），﹣2＝（1﹣2cosα，﹣2sinα），∴（﹣）•（﹣2）＝﹣cosα+sinα＝+2sin（α﹣30°），∵﹣1≤sin（α﹣30°）≤1，∴﹣≤+2sin（α﹣30°）≤，∴（﹣）•（﹣2）的最大值为，故选：C．10．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得2x+y2e y﹣a＝0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1+，e]B．[1+，e]C．（1，e]D．（2+，e]【解答】解：由2x+y2e y﹣a＝0成立，解得y2e y＝a﹣2x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得2x+y2e y﹣a＝0成立，∴a﹣2≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得2+≤a≤e，其中a＝2+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是（2+，e]．故选：D．二、填空题11．（5分）已知双曲线﹣y2＝1的一条渐近线与直线l：3x+y+1＝0垂直，则此双曲线的焦距为2．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的一条渐近线为：y＝，双曲线﹣y2＝1的一条渐近线与直线l：3x+y+1＝0垂直，可得：＝﹣1，a＝3．所求双曲线的焦距为：2c＝2＝2．故答案为：2．12．（5分）已知条件P：x2﹣3x+2＞0；条件q：x＜m，若￢p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m＞2．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即p：x＞2或x＜1，￢p：1≤x≤2．若￢p是q的充分不必要条件，则{x|1≤x≤2}⊊{x|x＜m}，即m＞2，故答案为：m＞2．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1014．（5分）现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有54种．（用数字作答）【解答】解：当甲，乙带不同兴趣小组时：A32A33＝36种，当甲，乙带同一个兴趣小组时，A31C31C21＝18种，根据分类计数原理可得，共有36+18＝54种，故答案为：54．15．（5分）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是[e，7]．【解答】解：∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，∴5﹣3a≤4﹣a，∴a≥．∵5﹣3a≤b≤4﹣a，∴﹣3≤≤﹣1．从而≤7，∵lnb≥a，∴≥（b≥），设f（x）＝（x≥），则f′（x）＝，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x＝e时，f′（x）＝0，∴当x＝e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min＝f（e）＝e．∴≥e，∴的取值范围是[e，7]．故答案为：[e，7]．三、解答题16．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝6，cos∠ADC＝﹣．（1）若∠CAB＝，求AC的长；（2）若BD＝9，求△ABD的面积．【解答】解：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝6，cos∠ADC＝﹣，∴sin∠ADC＝，∠ACD＝∠CAB＝．△ACD中，由正弦定理可得＝，即＝，∴AC＝8．（2）若BD＝9，∵∠DAB＝π﹣∠ADC，∴cos∠DAB＝﹣cos∠ADC＝，∴sin∠DAB＝＝．△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠DAB，即81＝36+AB2﹣2•6•AB•，∴AB＝9，∴△ABD的面积为•AD•AB•sin∠DAB＝•6•9•＝18．17．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝CD，∠ADC＝45°．（1）若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD＝2，AA1＝λAC，二面角A﹣A1C1﹣D的平面角的余弦值为，求λ的值．【解答】证明：（1）连结A1C，交AC1于点E∵AA1＝AC，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC，又AA1∥CC1，∴AA1C1C为正方形，∴A1C⊥AC1，在△ACD中，AD＝，∠ADC＝45°，由余弦定理，得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos45°＝2CD2+CD2﹣2＝CD2，∴AC＝CD，∴AD2＝AC2+CD2，∴CD⊥AC，又AA1⊥CD，AA1∩AC＝A，∴CD⊥平面A1ACC1，∵AC1⊂平面A1ACC1，∴AC1⊥CD，∴AC1⊥平面A1B1CD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ACC1，CC1⊥平面ABC，以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），∴＝（﹣2，0，2λ），＝（﹣2，2，2λ），设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，解得＝（λ，0，1），由（1）知⊥平面A1ACC1，∴是平面A1ACC1的一个法向量，∴二面角A﹣A1C1﹣D的平面角的余弦值为：cosθ＝＝＝．解得λ＝2．∴λ的值为2．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝6，S5＝45；数列{b n}前n项和为T n，且T n﹣2b n+3＝0．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和Q n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝6，S5＝45；∴，解得a1＝d＝3．∴a n＝3+3（n﹣1）＝3n．∵T n﹣2b n+3＝0．∴n＝1时，b1﹣2b1+3＝0，解得b1＝3．n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3＝0，可得：b n﹣2b n+2b n﹣1＝0，化为b n＝2b n﹣1，∴数列{b n}是等比数列，首项为3，公比为2．∴b n＝3×2n﹣1．（2）∵c n＝，∴c n＝．∴n＝2k（k∈N*）为偶数时，数列{c n}的前n项和Q n＝（a1+a3+…+a n﹣1）+（a2+a4+…+a n）＝+＝2n﹣1++n．n＝2k﹣1（k∈N*）为奇数时，数列{c n}的前n项和Q n＝Q n+1﹣a n+1＝2n+1﹣1+﹣3（n+1）＝2n+1+．∴Q n＝．19．（12分）某高中为适应“新高考模式改革”，满足不同层次学生的需要，决定从高一年级开始，在每周的周二、周四、周五的课外活动期间同时开设物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规格：各科达到预定的人数时称为满座，否则称为不满座），统计数据表明，以上各学科讲座各天满座的概率如表：（1）求一周内物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率；（2）设周四各辅导讲座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座为事件A，由题意得：物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率：P（A）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝×＝，P（X＝4）＝＝，∴随机变量X的分布列为：∴EX＝＝．20．（13分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣lnx．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（3）求证：++…+＞ln（n+1）（n∈N•）．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝x﹣，∴f（1）＝0，又f′（1）＝1+，∴f′（1）＝1，从而曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1；（2）解：∵f′（x）＝a+＝，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即ax2﹣x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，也就是a恒成立．由于，得．∴a；（3）证明：由（2）知，当a＝1时，f（x）＝（x﹣）﹣lnx在（0，+∞）上是增函数，又f（1）＝0，∴f（x）＞f（1）＝0，即当x＞1时，（x﹣）﹣lnx＞0，lnx成立．不妨令，∴，即ln（n+1）﹣lnn，由此，得ln2﹣ln1，ln3﹣ln2，…ln（n+1）﹣lnn，以上n个式子累加可得：ln（n+1）＜，即得原不等式成立．21．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过椭圆+＝1的焦点G与y轴垂直的直线与抛物线C交于点H，且|HF|＝2|GH|．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1、l2，分别交C于点A，B和点M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（3）在（2）的条件下，求△FPQ外接圆面积的最小值．【解答】解：（1）由椭圆+＝1，可得焦点G（0，±4），不妨取G（0，4），把y＝4代入抛物线方程可得：42＝2px，解得x H＝．∵|HF|＝2|GH|，∴+＝2×，p＞0，解得p＝4．∴抛物线C的方程为y2＝8x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则点P，由题意可设直线l1d的方程为：y＝k（x﹣2）（k≠0）．由，化为k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，△＝64k2+64＞0，∵直线l1交C于两点A，B，∴x1+x2＝4+，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，可得点P．由题意可知：直线l2的斜率为﹣，同理可得Q（2+4k2，﹣4k）．k≠±1时，有≠2+4k2．直线PQ的斜率k PQ＝＝，直线PQ的方程为：y+4k＝（x﹣2﹣4k2），整理为k（x﹣6）﹣（1﹣k2）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（6，0），k＝±1时，直线PQ的方程为：x＝6，也经过点E（6，0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（6，0）．（3）由点P，Q（2+4k2，﹣4k）．可得：|PQ|2＝+＝＝64．当且仅当k＝±1时取等号，此时△FPQ为直角三角形，△FPQ外接圆面积S＝＝，故当|PQ|2取最小值64时，S取得最小值16π．。

⎨ ⎩绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2）理科数学注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3 + i 1. 1+ i= （ ）A.1+ 2iB.1- 2iC.2 + iD.2 - i2. 设集合 A = {1, 2, 4} ， B = {x x 2 - 4x + m = 0}．若 A B = {1} ，则 B = （ ）A ．{1, -3}B ．{1, 0}C ．{1, 3}D ．{1, 5}3. 我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1 盏B ．3 盏C ．5 盏D ．9 盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A ． 90B ． 63 ⎧2x + 3y - 3 ≤ 0C ． 42D ． 365. 设 x ， y 满足约束条件⎪2x - 3y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（ ）⎪ y + 3 ≥ 023 15 10 y PA + A ． -15B ． -9C ．1D ．96. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12 种B ．18 种C ．24 种D ．36 种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的 a = -1 ，则输出的 S = （）A ．2B ．3C ．4D ．59. 若双曲线C : xa 2 2- = 1（ a > 0 ， b > 0 ）的一条渐近线被圆b 2( x - 2)2+ y 2 = 4 所截得的弦长为 2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D ．10. 已知直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， ∠AB C = 120 ， AB = 2 ， B C = CC 1 = 1，则异面直线AB 1 与B C 1 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 25 5 311. 若 x = -2 是函数 f (x ) = (x 2 + ax -1)e x -1`的极值点，则 f (x ) 的极小值为（）A. -1B. -2e -3C. 5e -3D.112. 已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 ⋅ (PB PC ) 的最32 33323 ⎡ ⎤ 小值是（ ）A. -2B. - 32C. -4 3D. -1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。