高考数学答题模板：第8讲 统计和古典概型的综合问题

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计数原理与古典概率

一、排列组合

1.排列组合的定义：

(1)排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.

(3)组合

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(4)组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.

【说明】 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．

2．活用排列数与组合数的公式及性质

公式 排列数公式

Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

＝n！n－m！ 组合数公式

Cmn＝AmnAmm

＝nn－1…n－m＋1m！

＝n！m！n－m！

性质 (1)Ann＝n！；

(2)0！＝1 (1)C0n＝1；

(2)Cmn＝Cn－mn；

(3)Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1

备注 n，m∈N*，且m≤n

3．破解排列、组合问题的十种方法与技巧

(1)特殊元素优先安排；

(2)合理分类与准确分步；

(3)排列、组合混合问题先选后排； mnAmnC

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(4)相邻问题捆绑处理；

(5)不相邻问题插空处理；

(6)定序问题排除法处理；

(7)分排问题直排处理；

(8)“小集团”排列问题先整体后局部；

(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．

二、熟记二项式定理及通项

1.二项式定理：

(1)定理

公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)叫做二项式定理．

(2)通项

Tk＋1＝Cknan－kbk为展开式的第k＋1项．

[说明] ①Crnan－rbr是第r＋1项，而不是第r项；

专题18 古典概型与统计

一、解答题

1．（2022年全国新高考II卷数学试题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

【答案】(1)47.9岁；

(2)0.89；

(3)0.0014．

【解析】

【分析】

（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（2）设A{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1()PAPA即可解出；

（3）根据条件概率公式即可求出． 2 (1)

平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x

550.020650.017750.006850.002)1047.9（岁）．

(2)

设A{一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以

()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89PAPA．

(3)

设B“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由已知得：

16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23PBPCPBC,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16PBCPCPBCCBPBBPP．

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概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算,统计图表的识别等知识为主的综合题,以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算.

“大题规范解答——得全分”系列之（十)

概率与统计的综合问题答题模板

[典例］ (2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了１00名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有9５％的把握认为“体育迷”与性别有关?

非体育迷 体育迷 合计

男

女

合计

（2)将日均收看该体育节目不低于５0分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有２名女性,若从“超级体育迷”中任意选取２人，求至少有1名女性观众的概率．

附K2=错误!,

P(Ｋ２≥k) 0.05 ０．01

k 3.841 6.635

[教你快速规范审题]

１．审条件，挖解题信息 --

-- 错误!―→

10０名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷,女体育迷10名

借助直方可确定图错误!

2.审结论,明解题方向

观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性

需要＼x(确定a,b,c,d及K2的值)

3．建联系，找解题突破口

由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→错误!―→错误!

1．审条件，挖解题信息

错误!―→错误!

由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数

2．审结论，明解题方向ﻩ

[考情分析]概率与统计的综合问题是高考的热点，一般以解答题形式考查，通常以考查随

机事件的概率、相互独立事件、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列、期望及方差、

回归分析、独立性检验为主，有时也与函数、数列、不等式等知识综合考查．

考点一求离散型随机变量的分布列、均值与方差

例1(2023·湖北宜昌模拟)据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的选择，

一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种

特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选

择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其

中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生)．

(1)若从样本中选一名学生，已知这名小学生佩戴眼镜，那么，该学生佩戴的是角膜塑形镜的

概率是多少？

(2)从这8名佩戴角膜塑形镜的学生中，选出3人，求其中男生人数X的期望与方差；

(3)若将样本的频率当作估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20名小学生，

求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望与方差．

解(1)根据题中样本数据，设“这名小学生佩戴眼镜”为事件A，“这名小学生佩戴的眼镜是角

膜塑形镜”为事件B，“这名小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB，则P(A)＝24

100

＝0.24，P(AB)＝8

100＝0.08，故所求的概率为P(B|A)＝P（AB）

P（A）＝0.08

0.24＝1

3，所以从样本中选

一名学生，已知这名小学生佩戴眼镜，则该学生佩戴的是角膜塑形镜的概率是1

3.

(2)依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中选3人，男生

人数X的可能取值为0，1，2，

P(X＝0)＝C36

C38＝20

56＝5

14，

P(X＝1)＝C12C26

C38＝30

56＝15

28，

P(X＝2)＝C22C16

C38＝6