世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(十七) 3.3

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课时提升作业(三十一)数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设数列{(-1)n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n= ( )【解析】选D.因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以S n==.【加固训练】若数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15【解析】选A.因为a n=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.(2015·青岛模拟)已知S n=+++…+,若S m=10,则m=( ) A.11 B.99 C.120 D.121【解析】选 C.因为==-,所以S m=-+-+…+-=-1.由已知得-1=10,所以m=120.故选C.3.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N*),则f(n)等于( )A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+3-1)D.(8n+4-1)【解析】选D.由题意知f(n)可看作以2为首项,23为公比的等比数列的前n+4项和,所以f(n)=4.(2015·杭州模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{}的前n项和为S n,则S2016的值为( )A. B.C. D.【解析】选D.由已知得b=,所以f(n)=n2+n,所以===-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.5.数列{a n}的通项公式a n=ncos,其前n项和为S n,则S2016等于( )A.2016B.1008C.504D.0【解析】选B.因为a n=ncos,所以当n为奇数时,a n=0,当n为偶数时,a n=其中m∈N*,所以S2016=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2016=a2+a4+a6+a8+…+a2016=-2+4-6+8-10+12-14+…+2016=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-2014+2016)=2×504=1008.故选B.【加固训练】(2015·合肥模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),S n是数列{a n}的前n项和,则S2016=( )A.22016-1B.3×21008-3C.3×21008-1D.3×22016-2【解析】选B.依题意得a n〃a n+1=2n,a n+1〃a n+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2016=(a1+a3+a5+…+a2015)+(a2+a4+a6+…+a2016)=+=3×21008-3,故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-12)+f(-11)+f(-10)+…+f(0)+…+f(11)+f(12)+f(13)的值为.【解析】抓住求和式子与函数f(x)=的特征,我们对自变量进行配对,当自变量之和为1时,研究函数值之和,即f(x)+f(1-x)=+ =+×=,共计配成13对,故所求的和为.答案:7.(2015·郑州模拟)设数列{a n}的通项公式为a n=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= .【解析】由a n=2n-10(n∈N*)知{a n}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n=2n-10≥0得n≥5,所以当n<5时,a n<0,当n≥5时,a n≥0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.答案:130【加固训练】(2015·郑州模拟)若数列{a n}是1,,,…,1+++…+,…,则数列{a n}的前n项和S n= .【解析】a n=1+++…+==2,所以S n=2=2=2=2=2n-2+.答案:2n-2+8.(2015·厦门模拟)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,a n=f(n)(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是.【解析】由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=,a3=f(3)=f(2)〃f(1)=[f(1)]3=,…,a n=f(n)=[f(1)]n=,所以S n=+++…+==1-,因为n∈N*,所以≤S n<1.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·洛阳模拟)已知等差数列{a n}满足:a3=7,a5+a7=26,{a n}的前n项和为S n.(1)求a n 及S n . (2)令b n =(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,则由已知得31571a a 2d 7,a a 2a 10d 26,=+=⎧⎨+=+=⎩解得1a 3,d 2.=⎧⎨=⎩所以a n =3+2(n-1)=2n+1, S n =3n+×2=n 2+2n.(2)由(1)知a n=2n+1,即数列{b n }的前n 项和T n =.【误区警示】(1)在解答本题时有两点容易造成失分:①利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误,不能准确求出首项a 1和公差d;②在求解数列{b n }的前n 项和时,不能熟练准确地利用裂项方法.(2)解决等差数列问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注: ①对通项公式与前n 项和公式记忆错误; ②基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;③判断一个数列是否为等差数列时,易忽略验证第一项.【加固训练】(2015·漳州模拟)在数列{a n }和{b n }中,已知a 1=2,a 2=6,a n+2a n=3(n∈N*),b n=,(1)求证:数列{b n}是等比数列.(2)求数列{a n}的通项公式.(3)若p n=,S n为数列{p n}的前n项和,求S n.【解析】(1)因为a n+2a n=3(n∈N*),所以====3,所以数列{b n}是以3为公比的等比数列.(2)由(1)可得到b n=b1q n-1=q n-1=×3n-1=3n,所以b n==3n,所以=31,=32,=33,……=3n-1,所以×××…×=31×32×33×…×3n-1,所以=31+2+3+…+(n-1)=.又因为a1=2,所以a n=a1×=2×.(3)由(2)得:a n=2×,所以p n=====-,所以S n=p1+p2+p3+…+p n=+++…+=2-=.10.(2014·安徽高考)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列{}是等差数列.(2)设b n=3n·,求数列{b n}的前n项和S n.【解析】(1)由已知可得所以{}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)得=1+(n-1)=n,所以a n=n2,从而b n=n〃3n,S n=1〃31+2〃32+3〃33+…+n〃3n, ①3S n=1〃32+2〃33+3〃34+…+(n-1)〃3n+n〃3n+1.②①-②可得-2S n=31+32+33+…+3n-n〃3n+1=-n〃3n+1=【加固训练】已知数列{a n}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,设b n+2=3l o a n(n∈N*),数列{c n}满足c n=a n·b n.(1)求数列{b n}的通项公式.(2)求数列{c n}的前n项和S n.【解析】(1)由题意,知a n=(n∈N*),又b n=3lo a n-2,故b n=3n-2(n∈N*).(2)由(1),知a n=,b n=3n-2(n∈N*),所以c n=(3n-2)×(n∈N*).所以S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×,于是S n=1×+4×+7×+…+(3n-5)×+(3n-2)×.两式相减,得S n=+3++…+-(3n-2)×=-(3n+2)×.所以S n=-×(n∈N*).(20分钟40分)1.(5分)(2015·重庆模拟)已知数列{a n}:,+,++,…,+++…+,…,那么数列{b n}=的前n项和S n为( )A. B. C. D.【解析】选B.a n==,所以b n===4(-),2.(5分)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2015项之和S2015等于( ) A.2008 B.2010 C.1 D.0【解析】选C.由已知得a n=a n-1+a n+1(n≥2),所以a n+1=a n-a n-1.故数列的前8项依次为2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且S6=0.因为2015=6×335+5,所以S2015=S5=2008+2009+1+(-2008)+(-2009)=1.【加固训练】在数列{a n}中,a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1),记S n为{a n}的前n项和,则S2015= .【解析】由a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0,该数列是周期为4的数列,a2013=a1=1,a2014=a2=-2,a2015=a3=-1,所以S2015=503(a1+a2+a3+a4)+a2013+a2014+a2015 =503×(1-2-1+0)+1-2-1=-1008.答案:-1008【方法技巧】数列求和的思路(1)等差数列和等比数列的前n项和公式是求和的基础.一般数列的求和问题往往通过变形整理,转化为这两类特殊数列的和的问题.例如,一类特殊数列的求和通过倒序相加法或错位相减法变形后,就可以转化为这两类数列的求和问题.(2)观察数列的特点是变形的基础.给定的数列有其自身的特点和规律,根据数列的特点和规律选择合适的方法变形是解题的突破口.3.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=a x(0<a<1),且f(1)+f(-1)=,若数列{f(n)}(n∈N*)的前n项和等于,则n等于( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.由f(1)+f(-1)=,得a+a-1=,即a+=,解得a=2(舍去)或a=,则数列{f(n)}是首项为a1=,公比q=的等比数列,所以S n==×=1-,由1-=得=,解得n=5,故选B.4.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n ,数列{b n }满足b 1=-1,b n+1=b n +(2n-1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式. (2)若c n =,求数列{c n }的前n 项和T n .【解析】(1)因为S n =3n ,所以S n-1=3n-1(n ≥2), 所以a n =S n -S n-1=3n -3n-1=2×3n-1(n ≥2). 当n=1时,2×31-1=2≠S 1=a 1=3,所以a n =n 13,n 1,23,n 2.-=⎧⎨⨯≥⎩又因为b n+1=b n +(2n-1),所以b 2-b 1=1,b 3-b 2=3,b 4-b 3=5,…,b n -b n-1=2n-3. 以上各式相加得 b n -b 1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.因为b 1=-1,所以b n =n 2-2n.所以数列{a n }的通项公式为a n =n 13,n 1,23,n 2,-=⎧⎨⨯≥⎩数列{b n }的通项公式为b n =n 2-2n. (2)由题意得c n =()n 13,n 1,2n 23,n 2.--=⎧⎪⎨-⨯≥⎪⎩ 当n ≥2时,T n =-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1, 所以3T n =-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n , 相减得-2T n =6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n . 所以T n =(n-2)×3n -(3+32+33+…+3n-1) =(n-2)×3n -=.【加固训练】已知数列{a n}和{b n},数列{a n}的前n项和记为S n.若点(n,S n)在函数y=-x2+4x的图象上,点(n,b n)在函数y=2x的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)求数列{a n b n}的前n项和T n.【解析】(1)由已知得S n=-n2+4n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-2n+5.又当n=1时,a1=S1=3,也符合上式,所以a n=-2n+5.(2)由已知得b n=2n,结合(1)可得a n b n=(-2n+5)2n,所以T n=3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n+5)2n①,2T n=3×22+1×23+(-1)×24+…+(-2n+5)2n+1②,②—①可得T n=-6+(23+24+…+2n+1)+(-2n+5)2n+1=+(-2n+5)2n+1-6=(-2n+7)2n+1-14.5.(13分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明{a n+}是等比数列,并求{a n}的通项公式.(2)证明:++…+<.【解题提示】(1)将a n+1=3a n+1进行配凑,得“a n+1+”与“a n+”的关系,得证,然后求得{a n}的通项公式.(2)求得{}的通项公式,然后证得不等式.【解析】(1)因为a1=1,a n+1=3a n+1,n∈N*.所以a n+1+=3a n+1+=3(a n+).所以{a n+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列.所以a n+=,所以a n=.(2)=.=1,当n>1时,【加固训练】等差数列{a n}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为S n,且a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式.(2)证明:≤++…+<.【解析】(1)设等比数列的公比为q,因为a1,a4,a13分别是等比数列{b n}的b2,b3,b4,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,所以d2-2d=0,所以d=2或d=0(舍去).所以a n=3+2(n-1)=2n+1.等比数列{b n}的公比为==3,b1==1.所以b n=3n-1.(2)由(1)知S n=n2+2n.所以==,所以++…+===-<.因为+≤+=,所以-≥,所以≤++…+<.关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(十六)任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列说法中,正确的是( )A.小于的角是锐角B.第一象限的角不可能是负角C.终边相同的两个角的差是360°的整数倍D.若α是第一象限角,则2α是第二象限角【解析】选C.锐角的范围是,小于的角还有0角和负角,它们都不是锐角,所以A不正确;-300°角的终边就落在第一象限,所以B不正确;与角α终边相同的角都可以写成α+k·360°(k∈Z)的形式,其差显然是360°的整数倍,所以C正确;若α是第一象限的角,则k·360°<α<k·360°+90°,所以2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),所以2α是第一象限或第二象限或终边在y轴非负半轴上的角,所以D不正确.【误区警示】本题易因角的范围与象限角的概念不清而致误.锐角、小于的角是从范围而言的,而象限角是从终边的位置来说的,它们的概念不同,应对其正确区分,否则极易出错.2.已知角α的终边落在y轴上,则下列说法正确的是( )A.α=90°+k·360°,k∈ZB.α=90°+k·270°,k∈ZC.sinα=1D.cosα=0【解析】选D.终边落在y轴上的角α可表示为α=90°+k·180°,k∈Z,故A,B不正确;当α的终边落在y轴的正半轴上时,sinα=1,cosα=0,当α的终边落在y轴的负半轴上时,sinα=-1,cosα=0,故C不正确,D 正确.3.在半径为4的圆中,150°的圆心角所对的弧长为( )A.6B.600C.πD.π【解析】选D.150°的弧度数是×150=π,弧长l=4×π=π.4.若α为第二象限角,则+的值是( )A.0B.2C.-2D.不存在【解析】选A.α为第二象限角,则sinα>0,=1,tanα<0,=-1,所以+=0.5.(2015·鹰潭模拟)若sinαtanα>0,且<0,则角α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选D.若sinαtanα>0,则角α在第一、四象限;若<0,则角α在第三、四象限,故角α是第四象限角.6.(2015·太原模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]【解析】选A.由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上,所以有即-2<a≤3.即a的取值范围为-2<a≤3.7.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为( )A.{α|α=k·360°-45°,k∈Z}B.C.D.【解析】选D.角α的取值集合为∪=∪=,故选D.【误区警示】解答本题易误选C.出错的原因是忽视了角度数与弧度数是不同的单位,不能加减.二、填空题(每小题5分,共15分)8.-300°角的弧度数是.【解析】-300°角的弧度数是-300×=-π.答案:-π9.点P是始边与x轴的正半轴重合,顶点在原点的角θ的终边上的一点,若|OP|=2,θ=60°,则点P的坐标是.【解析】设P(x,y),由三角函数的定义,得sin60°=,cos60°=,所以x=2cos60°=1,y=2sin60°=,故点P的坐标为(1,).答案:(1,)10.已知角α的终边经过点(1,-1),始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,则角α的取值集合为.【解题提示】先由角α的终边经过点(1,-1)在[0,2π)或(-2π,0]内确定一个角,再加上2kπ(k∈Z).【解析】如图,由图易知,在[0,2π)内,α=π,所以角α的取值集合为.答案:【一题多解】你还知道本题的其他解法吗?本题还可进行如下解答:由图易知,在[-2π,0)内,α=-,所以角α的取值集合还可表示为.答案:(20分钟40分)1.(5分)下列各选项中正确的是( )A.sin300°>0B.cos(-305°)<0C.tan>0D.sin10<0【解析】选 D.300°=360°-60°,则300°是第四象限角;-305°=-360°+55°,则-305°是第一象限角;因为-π=-8π+π,所以-π是第二象限角;因为3π<10<π,所以10是第三象限角.故sin300°<0,cos(-305°)>0,tan<0,sin10<0,选D.2.(5分)一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )A.1B.C.或D.或【解析】选C.弦长等于半径,弦把圆分成两部分,所对的圆心角为或,故弦所对的圆周角为或.3.(5分)已知α=-2015°,则与角α终边相同的最小正角为,最大负角为.【解题提示】写出与α终边相同的角的集合,确定最小正角和最大负角.【解析】α可以写成-6×360°+145°的形式,则与α终边相同的角可以写成k·360°+145°(k∈Z)的形式.当k=0时,可得与角α终边相同的最小正角为145°,当k=-1时,可得最大负角为-215°.答案:145°-215°4.(12分)角α的终边上的点P与A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求++的值. 【解析】由题意得P(a,-b),Q(b,a),所以sinα=,cosα=,tanα=-,sinβ=,cosβ=,tanβ=,所以++=-1-+=0.【加固训练】已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x.求sinα+的值.【解析】因为P(x,-)(x≠0),所以点P到原点的距离r=,又cosα=x,所以cosα==x.因为x≠0,所以x=±,所以r=2.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,有sinα=-,=-,所以sinα+=--=-;当x=-时,同理可求得sinα+=.5.(13分)(能力挑战题)如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.【解析】设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,则t·+t·=2π.所以t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒.设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在·4=的位置,则x C=-cos·4=-2,y C=-sin·4=-2.所以C点的坐标为(-2,-2).P点走过的弧长为π·4=π,Q点走过的弧长为π·4=π.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(十一)函数与方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)的一个零点所在的区间是( )1.函数f(x)=ln(x+1)-2xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选 B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)-2的定义域为(-1,0)∪(0,+≦),x结合四个选项可知,f(x)在(0,+≦)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-2的一个零点所在的区间是(1,2).x2.(2015·天津模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+∞)【解析】选 A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=1,a>0,再根据2f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).x+2的零点个数为( )3.(2015·合肥模拟)函数f(x)=log2x-12A.0B.1C.3D.2【解析】选D.转化为判断y=log 2x 与y=12x-2两函数图象的交点的个数,作图象如下:图象有两个交点,因此函数零点个数为2个.4.(2014·湖北高考)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x 2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}7【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R 上的奇函数,求出函数在R 上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数的零点就是方程的解,问题得以解决.【解析】选D.由f(x)是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时,f(x)=x 2-3x,所以f(x)=22x 3x,x 0,x 3x,x 0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩所以g(x)=22x 4x 3,x 0,x 4x 3,x 0.⎧-+≥⎪⎨--+<⎪⎩由2x 0,x 4x 30≥⎧⎨-+=⎩解得x 1=3,x 2=1,由2x 0,x 4x 30<⎧⎨--+=⎩解得故选D.5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】选B.依据零点的意义,转化为函数y=x分别和y=-2x的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得x1<0<x2<1<x3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.【解析】由已知条件得2a+b=0,即b=-2a,),g(x)=-2ax2-ax=-2ax(x+12则g(x)的零点是x=0,x=-1.2答案:0,-127.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为.【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2 015x+log2 015x )内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+≦)内有且仅有在区间(0,12 015一个零点.根据对称性可知函数在(-≦,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.答案:38.若二次函数f(x)=x2-2ax+4在(1,+∞)内有两个零点,则实数a的取值范围为.【解析】据二次函数图象应满足:即解得2<a<.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:方法一:运用根与系数的关系.设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根,则有x 1+x2=2a,x1x2=4. ①要使原方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1,则需满足将①代入上述不等式组中,解之,得2<a<.方法二:运用求根公式.方程x2-2ax+4=0的两根为x1,2==a〒;且Δ>0,得a>2或a<-2.要使两根均大于1,只需小根a->1即可,解之得2<a<.答案:【加固训练】若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为.【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.所以Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.答案:0或-三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4〓(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用.【加固训练】是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.【解析】因为Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9+>0,所以若存在实数a满足条件, 则只需f(-1)〃f(3)≤0即可.f(-1)〃f(3)=(1-3a+2+a-1)〃(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.综上所述,a的取值范围是∪(1,+≦).10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】因为f(x)=4x+m〃2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m〃2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,m=〒2,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.(20分钟40分)1.(5分)(2015·长沙模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )A.11(,)42B.(1,2)C.1(,1)2D.(2,3)【解析】选C.由图象可知0b1,a b10,a 01,2⎧⎪<<⎪++=⎨⎪⎪<-<⎩故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1),所以函数g(x)=ln x+f′(x)的零点为函数y=ln x与函数y=-f′(x)=-2x-a交点的横坐标,分析两函数图象得函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是1(,1)2.2.(5分)(2015·石家庄模拟)设函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0,⎧-+≥⎨+<⎩若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )A.2026(,]33B.2026(,)33C.11(,6]3D.11(,6)3【解析】选D.函数f(x)=2x6x6,x0,3x4,x0⎧-+≥⎨+<⎩的图象如图,不妨设x1<x2<x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,且x1满足-73<x1<0,则x 1+x 2+x 3的取值范围是-73+6<x 1+x 2+x 3<0+6,即x 1+x 2+x 3∈11(,6)3.3.(5分)(2015·成都模拟)已知f(x)=-2|2|x|-1|+1和g(x)=x 2-2|x|+m(m ∈R)是定义在R 上的两个函数,则下列命题: ①函数f(x)的图象关于直线x=0对称;②关于x 的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k ∈(0,1); ③关于x 的方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根的充要条件是m ∈[0,1]; ④若∃x 1∈[-1,1],∃x 2∈[-1,1],f(x 1)<g(x 2)成立,则m ∈(-1,+∞). 其中正确的命题有 (写出所有正确命题的序号).【解析】因为f(x)=-2|2|x|-1|+1为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,故①正确;作出f(x)=-2|2|x|-1|+1的图象,如图所示,可知,关于x 的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k ∈(-1,1),故②错误;在同一坐标系中作出f(x)=-2|2|x|-1|+1和y=x 2-2|x|的图象,由图象可知当m ∈7(1,)4-时方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根,故③错;由题可知,只需当x ∈[-1,1]时,f(x)min <g(x)max 即可.易得f(x)min =-1,g(x)max =m,所以m ∈(-1,+≦),所以④正确.答案:①④【加固训练】(2015·南充模拟)已知函数f(x)=(](]x 1,1,1x 2,x 1,3,⎧∈-⎪⎨--∈⎪⎩其中m>0,且函数f(x)满足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5个根,则实数m 的取值范围是 .【解题提示】根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=x 3与第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据Δ可求得m 的范围.【解析】因为当x ∈(-1,1]时,将函数化为方程x 2+22y m=1(y ≥0),所以实质上为一个半椭圆,同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]时的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,如图,由图易知直线y=x 3与第二个半椭圆(x-4)2+22y m=1(y ≥0)相交,而与第三个半椭圆(x-8)2+22y m=1(y ≥0)无公共点时,方程恰有5个实数根,将y=x 3代入(x-4)2+22y m=1(y ≥0)得,(9m 2+1)x 2-72m 2x+135m 2=0,令t=9m 2(t>0),则(t+1)x 2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-4〓15t(t+1)>0,得t>15,由9m 2>15,且m>0得同样由y=x 3与第三个半椭圆(x-8)2+22y m=1(y ≥0)联立所得方程Δ<0可计算得综上可知m∈(3.答案:4.(12分)(2014·郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-≦,0)时,-x∈(0,+≦).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=22x2x,x0,x2x,x0.⎧-≥⎪⎨--<⎪⎩(2)当x∈[0,+≦)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-≦,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).(x>0).5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+2ex(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.≥【解析】(1)因为x>0时g(x)=x+2ex等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+≦),因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.所以m的取值范围是[2e,+≦).【一题多解】本题(1)还可以采用如下解法:(x>0)的大致图象如图:作出g(x)=x+2ex可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.所以m的取值范围是[2e,+≦).(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,(x>0)的大致图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所作出g(x)=x+2ex以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+≦).关闭Word文档返回原板块。

【规范解答】选B.将三视图还原为几何体即可.如图所示,几何体为三
棱柱.
悟·技法 1.根据几何体确认三视图的技巧 由实物图画三视图或判断选择三视图,按照“正侧一样高,正俯一样长, 俯侧一样宽”的特点确认. 2.根据三视图还原几何体的技巧策略 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. (2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图 . (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
命题角度2:根据三视图还原直观图(几何体的结构特征)
【典例3】(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图所示,网格纸的各小格都是正
方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
(本题源于教材必修2P15T4)
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
【解题提示】结合三视图进行判断,特别注意垂直关系的转化.
②三视图的画法: 虚线 (ⅰ)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成_____. 正前 方、 (ⅱ)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_____ 正左 方、_____ 正上 方观察几何体画出的轮廓线. _____
(3)空间几何体的直观图.
斜二测 画法来画,基本步骤是: 空间几何体的直观图常用_______
(2)选B.命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;
命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰 ;命题③对;命题④错,必 须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以 .
【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变 的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依 据题意判定. (2)利用反例对结构特征进行辨析,即要说明某个命题是错误的,只要 举出一个反例即可.