函数与方程
一．课标要求：
1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；
2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．命题走向
函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。 三．要点精讲
1．方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数
))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的零点：
１）△＞０，方程02
=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(
0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法
二分法及步骤：
对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：
①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；
②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；
即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；
从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；
若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。 3．二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2
+n 。
（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=
2
1
(p +q )。 若－
a
b
2
2)=m ，f (q )=M ；
若x 0≤－a b 2b
2)=m ；
若－
a
b
2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。 （3）二次方程f (x )=ax 2
+bx +c =0的实根分布及条件。
①方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0；
②二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,
2,042r f a r a
b
ac b ③二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧>⋅>⋅<-
<>-=∆⇔;
0)(,0)(,2,
042p f a q f a q a
b p a
c b ④二次方程f (x )=0在区间(p ，q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0，或f (p )=0(检验)或
f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ，q )内成立。 四．典例解析
题型1：方程的根与函数零点
例1．（1）方程lg x +x =3的解所在区间为（ ）
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，+∞)
（2）设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。 解析：
（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y =lg x 与y =-x +3的图象(如图)。它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排
除A ，D 至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比
较困难了。实际上这是要比较0x 与2的大小。当x =2时，lg x =lg2，
3-x =1。由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C 。
（2）原方程等价于⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧-=-->->->-x
a x x x a x x )3)(1(0030
1
即⎩
⎨⎧<<-+-=313
52
x x x a
构造函数)31(352
<<-+-=x x x y 和a y =，作出它们
的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：
①当31≤13=
a 时，原方程有一解； a
