数学知识点秋上海教育版数学九年级上册24.3《相似三角形》word导学案1-总结

相似三角形·基本知识讲义知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1.比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2.比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3.比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4.比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5.比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6.第四比例项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7.比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为ab b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质:bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cd a b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d ba dbc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

DABCE相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，A A ∠=∠， ADEB ∠=∠，AEDC ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形内容分析知识结构模块一：相似三角形的判定知识精讲2 / 31ABCA 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：A BCDEABCDEABCDEABCA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 14、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．6、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．ABCA 1B 1C 14 / 31【例1】如图，已知点P 是ABC ∆中边AC 上一点，联结BP ，要使ABP ∆∽ACB ∆，那么应 添加的一个条件为____________，或____________，或____________．【答案】C ABP ∠=∠，ABC APB ∠=∠，AB APAC AB=． 【解析】根据相似三角形的判定定理1和判定定理2，题 目中有公共角，只需要加上一个等角或夹这个角的两边对应成比例的条件即可．【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意对定理内容的把握，判定定理2一定是夹等角的两条边对应成比例．【例2】下列命题正确的是（ ） A ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B ．有一个角是106°的两个等腰三角形相似 C ．面积相等的两个直角三角形相似D ．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似【答案】B【解析】有一个角是40°的等腰三角形，不能确定这个角是顶角还是底角，即不能确定三 角形形状，A 错误；有一个角是106°的等腰三角形，可以确定这个角一定是等腰三角 形的顶角，则底角大小也必相同，根据相似三角形判定定理1，B 正确；面积相等的直 角三角形，底边长和高长都不能确定，形状不确定，C 错误；两边之比为3:5，不能确 定这两条边是否同为两直角边或者一斜边一直角边，即不能确定直角三角形形状相同，D 错误．【总结】考查相似三角形判定定理的应用，注意一定要对题目提供的条件进行分析的基础上再确定是否能用判定定理证明相似．【例3】下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则例题解析ABCPAB C与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据已知ABC ∆，得对应两直角边之比2ABBC=，三角形与ABC ∆相似，则两条直角边之比也为2，只有C 选项满足．【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．【例4】如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，:3:5AD DE =，AE = 8，BD = 4，则DC 的长等于（ ）A ．415B ．125C ．174D ．154【答案】D【解析】由:3:5AD DE =，AE = 8，可得3AD =，5DE =， 由C E ∠=∠，结合一对对顶角BDE ADC ∠=∠，可得BDE ∆∽ADC ∆，由此则有BD DE AD CD =，代入即为453CD =，即得:154CD =，故选D ． 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，注意题目中相似图形的对应关系，对应成比例的线段和点一定要准确．【例5】在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；A BCDE6 / 31乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A ．两人多对 B ．两人都不对C ．甲对乙不对D ．甲不对，乙对【答案】C【解析】直角三角形扩张以后得到的三角形三边分别与原三角形平行，得到两三角形三个内 角都相等，根据相似三角形判定定理1，可知相似，甲对；乙向外扩张后，矩形两邻边分别变为5和7，3557≠，两矩形的边不对应成比例，可知两矩形不相似，乙不对，故选C ．【总结】对于三角形来讲，三角形个内角相等则各对应边比例相等，可以得到两三角形相似，对于其它的多边形来说，角相等不能保证相似，必须再确定两图形的对应边对应成比例才能判定相似，注意相似成立的条件．【例6】如图，ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则 MN =______．【答案】125． 【解析】连结AM ．由AB = AC = 5，M 为BC 中点， 可知AM BC ⊥，3BM CM ==，由勾股定理可得：224AM AC CM =-=．由面积法，可得：AM MC MN AC ⋅=⋅，即得431255AM MC MN AC ⋅⨯===． 【总结】考查图形性质的综合应用，本题中也可用“子母三角形”通过相似解题．【例7】如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP // DF ，且与AD 相交于点P ，则图中有______对相似的三角形．【答案】6．【解析】////AB CD AD BC ，，结合BP // DF ，由相图1图2 11 1 1111 ABCD EFPABCNMABCDEF似三角形预备定理，知CDF ∆、BEF ∆、ABP ∆、AED ∆四三角形两两相似，即共有6对相似三角形．【总结】考查相似三角形的预备定理，由平行可证相似，同时考查相似三角形的传递性．【例8】如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，AB = 8，AD = 3，BC = 4， 点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】与是相似三角形，根据相似三角形判定定理2，首先易得 90A B ∠=∠=︒，则只需要两三角形夹直角的两边对应成比例即可，分成两种情况讨论，即AD AP BP BC =或AD APBC BP=，可分别得到2AP =或6AP =或247AP =，即满足条件的P 点有3个，故选C ． 【总结】考查相似三角形判定定理2的应用，注意进行分类讨论，要经过准确计算，不能直接分两种情况得出两种结果．【例9】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32B ．76C ．256D ．2【答案】B【解析】根据勾股定理，可得225AB BC AC =+=，则有 1522BD AB ==，由90BDE ACB ∠=∠=︒，A ∠为公共角， 根据相似三角形判定定理1，可证ABC ∆∽EBD ∆，则有AB BD BE BC =，代入线段可求得256BE =，则76CE BE BC =-=． 【总结】考查相似三角形判定定理和性质的综合应用，先判定再应用性质．【例10】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线 段DE 上一点，且AFE B ∠=∠． （1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；（2）若AB = 8，AD =63，AF =43，求AE 的长．【答案】（1）略；（2）6ABCD PABCDE8 / 31AB CDEF【解析】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，////AB CD AD BC ∴，．180ADF DEC B C ∴∠=∠∠+∠=︒，． 180AFE AFD AFE B ∠+∠=︒∠=∠，， AFD C ∴∠=∠，∴ADF ∆∽DEC ∆．（2）解：由（1）ADF ∆∽DEC ∆，∴AF AD CD DE=， 即43638DE=，解得：12DE =． AE BC ⊥，∴90EAD ∠=︒，根据勾股定理，即得：226AE DE AD =-=．【总结】考查相似三角形判定定理1，和相似三角形的相关性质的结合应用，先判定再应用性质，过程中注意对相关图形及性质的应用．【例11】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是 边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=． 【答案】略．【解析】证明：（1）AD // BC ，AB = DC ，GBAD CDA∴∠=∠．AB DC AD AD==，，ABD DCA∴∆≅∆．ACD ABD∴∠=∠．CDE ABD∠=∠，ACD CDE∴∠=∠．//AC DE∴．AD // BC，∴四边形ACED是平行四边形．（2）//AD BC，∴AD DFBC FB=．AD DFBC AD DF FB∴=++．四边形ACED是平行四边形，∴AD CE=，∴AD DFBC CE DF FB=++，即AD DFBE DB=．//AD BE，∴DG ADGB BE=，∴DG DFGB DB=．【总结】考查相似中有平行线的情况，即可直接利用图形中的“A”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化．【例12】如图，在ABC∆中，AB = AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，DF⊥AC，DF 与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．（1）求证：2AD DG BD=；（2）联结CG，求证：ECB DCG∠=∠．【答案】略【解析】证明：（1）1122AB AC AE AB AD AC===，，，AD AE∴=．AB CDEFG10 / 31BAD CAE ∠=∠， BAD CAE ∴∆≅∆， ABD ACE ∴∠=∠．AD CD DF AC =⊥，， AF CF ∴=． GAC ACE ∴∠=∠．ABD GAD ∴∠=∠． ADB GDA ∠=∠， ADG ∴∆∽BDA ∆．AD DGBD AD∴=，即证2AD DG BD =． （2）AD CD =，2AD DG BD =，2CD DG GB ∴=⋅． 即CD GB DG CD=． GDC BDC ∠=∠， GDC ∴∆∽CDB ∆． DBC DCG ∴∠=∠． AB AC =，同（1）易证ECB DBC ∠=∠，ECB DCG ∴∠=∠．【总结】本题综合性较强，一方面考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，另一方面考查了相似三角形的判定及性质，解题时注意对条件认真分析以及灵活运用．【例13】在ABC ∆中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点D 是射线BC 上的一点（不与端点重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，求BD 的值．【答案】14或50或64．【解析】由AB = 40，AC = 24，BC = 32，三角形三边满足222AC BC AB +=，即ABC ∆为直 角三角形，其中90ACB ∠=︒，D 在射线BC 上，相似三角形对应关系不确定，可知存 在以下几种情形：（1）D 在线段BC 上，此时ADC ∆∽BAC ∆，则有AC DCBC AC=，可得18DC =，则321814BD BC DC =-=-=；（2）D 在线段BC 延长线上，ADC ∆∽BAC ∆时，同（1）可得50BD BC DC =+=； （3）D 在线段BC 延长线上，DAC ∆∽BAC ∆时，则有DAC ∆≌BAC ∆，264BD BC ==．【总结】相似三角形的存在性问题，题目未给明对应关系，一定要注意进行分类讨论，本题中的点在射线上则更需要注意在线段延长线上时的情况．【例14】正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，求当BM 为多少时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为多少？【答案】12BM =时四边形ABCN 有最大面积58． 【解析】由90B ∠=︒，则有90BAM AMB ∠+∠=︒，AM ⊥MN ，则90NMC AMB ∠+∠=︒，NMC BAM ∠=∠，由90B C ∠=∠=︒，可证ABM ∆∽MCN ∆．则AB BMMC CN =，设BM x =，则1MC x =-，2CN x x =-， 则有()()2211115122228ABCNS CN AB BC x x x ⎛⎫=+⋅=-++=--+ ⎪⎝⎭． 由此可知当12x =，即12BM =时，四边形ABCN 有面积最大值58．【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型，综合二次函数的最值问题．【例15】如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG ∆的周长为______cm ．【答案】12．【解析】设DF x =，根据翻折的性质，则有EF x =， 6AF x =-，在Rt AEF ∆中，用勾股定理，则有222AE AF EF +=，即()22236x x +-=，解得154x =， 则94AF =，由90A ∠=︒，则有90AFE AEF ∠+∠=︒， 同时90FEG D ∠=∠=︒，则90AEF EBG ∠+∠=︒，ABCDE FGH QA BCDNM12 / 31K MNHG FEDC BA得：AFE BEG ∠=∠，由90A B ∠=∠=︒，可证AEF ∆∽BGE ∆．则AE AF EFBG BE GE==，即9153443BG GE ==，解得4BG =，5EG =，故12EBG C cm ∆=． 【总结】考查“一线三直角”得到相似的基本模型．【例16】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 2 cm ，D 为BC 的中点，若动 点E 以1 cm /s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设点E 的运动时间为t 秒，联结DE ，当t 为何值时，BDE ∆是直角三角形？【答案】955t =或5t =或35t =或1155t =． 【解析】根据勾股定理，可得2225AB AC BC =+=，点E 沿 A B A →→运动时，B ∠大小固定不变，可能存在90DEB ∠=︒和 90EDB ∠=︒两种情形：（1）当90DEB ∠=︒时，由B B ∠=∠，90DEB C ∠=∠=︒，得DEB ∆∽ACB ∆，则有DB EBAB BC =，即1225EB =，得55EB =，此时存在两种情形，即955t =或1155t =； （2）当90EDB ∠=︒时，由B B ∠=∠，90EDB C ∠=∠=︒，得EDB ∆∽ACB ∆，则有EB DBAB BC =，即1225EB =，得5EB =，此时存在两种情形，即5t =或35t =． 【总结】本题主要考查动点的分类讨论问题，注意运动过程中的不变量．【例17】如图，ABC ∆中，4AB = 5AC ，AD 为ABC ∆的角平分线，点E 在BC 的延长线上， EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG = FD ，联结EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中点，求AGFD的值．【答案】43． 【解析】延长AC 到M ，使AM AB =，连结DM ，过点M 作//MN AD 交GE 于点N ，交BE 于K ．∵AD 为ABC ∆的角平分线， ∴点D 到AB 、AC 的距离相等． 则54ABD ACD S BD AB CD S AC ∆∆===．ABCDEAB AM BAD MAD AD AD =∠=∠=，，，BAD MAD∴∆≅∆，54DM BD DC∴==．//MN AD，4DC ACCK CM∴==．54DK DC DM∴==，即M DK∆是等腰三角形．EF AD FG FD⊥=，，DEG∴∆是等腰三角形．∵//MN AD，GDE DKM∴∠=∠．∵DK DM DE GE==，，KDM DEG∴∠=∠．//GE DM∴．∴四边形DMNG是平行四边形．2MN GD FD∴==，又H是AC中点，22AG AG AHFD MN HM∴==．∵12211342ACAHHM AC AC==+,∴43AGFD=．【总结】考查角平分线，等腰三角形，全等，相似，平行四边形知识的综合应用，难度大，主要在于添加正确的辅助线．1、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．2、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．模块二：相似三角形的性质知识精讲14 / 313、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12 cm ，那么大三角形对应边上的中线长是______cm ．【答案】20【解析】根据相似三角形面积比等于相似比平方，可知两三角形相似比3:5k =，两三角形对应中线长之比也等于3:5k =，即得大三角形对应边上中线长为312205cm ÷=．【总结】考查相似三角形的面积比和对应中线比与相似比的关系．【例19】在ABC ∆中，DE // BC ，且D 在AB 边上，E 在AC 边上，若:1:4ADE BCED S S ∆=，则:ADE ABC C C ∆∆=______，:AD DB =______．【答案】5:5，()51:4+【解析】:1:4ADE BCED S S ∆=，得:1:5ADE ABC S S ∆∆=，可得相应相似比1:55:5k ==，则:5:5ADE ABC C C k ∆∆==，:5:5AD AB k ==，()():5:5551:4AD DB =-=+．【总结】考查相似三角形的面积比和对应边长比和周长比与相似比的关系．【例20】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，90B ACD ∠=∠=︒，AB = 2，DC = 3，则ABC ∆ 与DCA ∆的面积比为（ ）A ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 9D ．2:3【答案】C【解析】由AD // BC ，可得BCA CAD ∠=∠，结合 90B ACD ∠=∠=︒，可证ABC ∆∽DCA ∆，则有23AB k DC ==，则222439ABC DCA S k S ∆∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查相似三角形的面积比与相似比的关系．例题解析ABCDAB CDE 【例21】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长 分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个【答案】B 【解析】由6834=，可知这两条边分别为对应边，相似比2k =，第一个直角三角形中第三 边长有两种情况，即226810+=或228627-=，由此得102x=或272x =，解得5x =或7x =，故选B ．【总结】考虑相似三角形的相似比，一定要确立好对应关系．【例22】如图，D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，23AD AE DE AB AC BC ===，且ABC ∆与ADE ∆的周长之差为15 cm ，求ABC ∆与ADE ∆的周长．【答案】45ABC C cm ∆=，30ADE C cm ∆=． 【解析】23AD AE DE AB AC BC ===，可知ADE ∆∽ABC ∆，其相似比23k =，则23ADE ABC C k C ∆∆==，又15ABC ADE C C ∆∆-=，可得：45ABC C cm ∆=，30ADE C cm ∆=．【总结】考查相似三角形的判定和性质的结合应用．【例23】如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE // AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______．【答案】1:20．【解析】由:1:4BDE CDE S S ∆∆=，即得:1:4BE CE =，由DE // AC ，即得：14BD BE AD CE ==，可得：14BCD ACD S BD S AD ∆∆==，则有120BDE ACD S S ∆∆=． 【总结】等高三角形面积比等于底边长之比，结合三角形的相似性质即可．AB CD E16 / 31MNDCBA【例24】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB边上的点D 处，已知MN // AB ，MC = 6，23NC =，那么四边形MABN 的面积是______． 【答案】183．【解析】连结CD ，即得MN 垂直平分CD ，由MN // AB ， 即得M 是AC 的中点，CMN ∆∽CAB ∆，则221124CMN CAB S CM S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得：133362318322MABN CMN S S MC NC ∆==⨯⋅=⨯⨯=．【总结】考查翻折与相似性质的结合应用．【例25】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线与F ，BG AE ⊥于G ，42BG =，则EFC ∆的周长为______．【答案】8．【解析】由//AD BC ，得DAE AEB ∠=∠，由AE平分BAD ∠，得BAE DAE AEB ∠=∠=∠， 可得6AB BE ==，由BG AE ⊥，42BG =， 根据勾股定理可得222GE BE BG =-=，则有24AE GE ==，3EC BC BE =-=，由//AB CF ，得EAB ∆∽EFC ∆，由此即得623ABE EFC C BE C EC ∆∆===，由16ABE C AB BE EC ∆=++=，得8EFC C ∆=．【总结】考查相似三角形结合平行四边形特殊图形性质，构造“A ”“8”字型等相关基本图形的应用，本题中注意运用“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型．【例26】如图，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，ABC DEFGABCDE过点E 作ED // BC 交AB 于点 D ． （1）求证：AE BC BD AC =；（2）如果3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，DE = 6，求BC 的长．【答案】（1）略；（2）10． 【解析】（1）证明：//ED BCDE AEDEB EBC BC AC∴∠=∠=， DBE EBC ∠=∠ DEB DBE ∴∠=∠ DE BD ∴= BD AEBC AC∴=即证AE BC BD AC = （2）解：由3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，即得32ADE BDE S AD BD S ∆∆==，则有35AD AB =，由ED // BC ，可得：35DE AD BC AB ==，代入求得10BC =． 【总结】考查相似三角形面积比与等高三角形面积比的结合应用以及“角平分线与平行线相结合得到等腰”的基本模型的应用．【例27】如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，在线段AB 上取一点 D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ，AD 的中点E 的对应点记为1E ，若11E FA ∆∽1E BF ∆，则AD =______．【答案】165． 【解析】由90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，根据勾股定理得 228AC AB BC =-=，由90C EDA ∠=∠=︒，A A ∠=∠，可证ADE ∆∽ACB ∆，则有AF AD DFAB AC BC ==，可设3DE a =，则45AD a AE a ==，，122DE AD a ==，则13EF a =，根据翻折性质，得111213A E AE a E F EF a ====，， 1106BE a =-，11E FA ∆∽1E BF ∆，则有11111E F E AE B EF =，即13210613a a a a=-，解得45a =，由此即得1645AD a ==． 【总结】考查翻折的性质与相似结合，可以把对应边之比转化为同一个三角形的边长之比．【例28】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 3，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD = CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF // AB ，则BD 的长为______．ABCD E F A 1E 118 / 31MFEDCBA【答案】1．【解析】延长DF 交AC 于M ， 由勾股定理，可得224AC AB BC =-=，90DFE C DMC A ∠=∠=︒∠=∠，，EFM ∴∆∽DCM ∆∽BCA ∆．3345EF DC BC EF BC EM MC AC EM AB ∴=====，． 设BD x =，则有CE EF x ==，53EM x =，3DC x =-，83MC x =，即有33843x x -=，解得：1x =，即1BD =． 【总结】相似三角形的性质可将两个相似三角形对应边之比转化为一个三角形中对应边长之比，便于计算．【例29】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥于点D ．点P 从 点D 出发，沿线段CD 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点 同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动 时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时 刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，CPQ ∆为等腰三角形？【答案】（1）245；（2）2248525S t t =-+， 1.8t =或3t =时，:9:100CPQ ABC S S ∆∆=；（3）125t =或14455t =或2411t =． 【解析】（1）根据勾股定理，可得2210AB AC BC =+=， 由直角三角形面积法，则有CD AB AC BC ⋅=⋅，解得：245CD =；（2）过点P 作PH AC ⊥交AC 于H ， 90PHC ACB ∠=∠=︒，CPH A ∠=∠， PHC ∴∆∽ACB ∆，PH PCAC AB∴=． ABCDPQH依题意可得CQ PD t ==，则245CP t =-， 代入即为：245810tPH -=， 解得：42449655525PH t t ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭．21149624822525525S QC PH t t t t ⎛⎫∴=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中2405t ≤≤； 若存在某一时刻，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=，则有224891685251002S t t =-+=⨯⨯⨯，整理得：2524270t t -+=，解得：12935t t ==，，均符合题意；（3）分类讨论：①CQ CP =，即245t t =-，解得：125t =； ②PQ CP =，根据等腰三角形的性质可得625QC CH CP ==，即得62455t t =-，解得：14455t =； ③CQ PQ =，同理②，可得52465t t =-， 解得：2411t =． 综上：当CPQ ∆为等腰三角形时，t 的值为125或14455或2411． 【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，特别是由动点引起的等腰三角形的问题要注意分类讨论，解题方法比较多样，主要是抓住题目中的条件认真分析．20 / 31A B C【习题1】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆ 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【难度】★ 【答案】B【解析】由已知ABC ∆，可得一钝角135ABC ∠=︒，夹这个钝角两边之比22AB BC =，三角形与ABC ∆相似，则必有一角135︒，且夹这个角两边长之比为22，只有B 选项满足． 【总结】相似三角形判定定理2可转化为一个三角形中的夹等角的两条边对应成比例．【习题2】如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AE = AB ，则长度为线段AD 、AC 长度比例中项的线段是______．【答案】AE 和AB ．【解析】AE = AB ，得ABE AEB ∠=∠，AEB C EBC ∠=∠+∠， 即得ABD DBE C EBC ∠+∠=∠+∠，BE 平分CBD ∠，即为DBE EBC ∠=∠，由此可得ABD C ∠=∠，又A A ∠=∠，即证ABD ∆∽ACB ∆，则有AD ABAB AC=，又AE = AB ，即得． 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合应用，先判定相似再应用性质，注意题目中一个条件的多种用途．【习题3】如图，在ABC ∆中，D 、F 是AB 的三等分点，DE // FG // BC ，分别交AC 于E 、随堂检测ABCDEG ．记ADE ∆、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =______．【答案】1:3:5．【解析】D 、F 是AB 的三等分点，即::1:2:3AD AF AB =， 由DE // FG // BC ，即可得222::1:2:3ADE AFG ABC S S S ∆∆∆=， 即()()112123::1:4:9S S S S S S +++=，得123::1:3:5S S S =． 【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．【习题4】如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，已知AB = 4，AD = 2，DAC B ∠=∠，若ABD ∆的面积为a ，则ACD ∆的面积为______．【答案】13a ．【解析】由DAC B ∠=∠，C C ∠=∠，可得：BAC ∆∽ADC ∆，其相似比422AB k AD ===，由此可得：24BAC ADC S k S ∆∆==，则有3ABD ACD S S ∆∆=，即得：3ACD aS ∆=．【总结】考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，再进行比例转化即可．【习题5】如图，矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记P A = x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像ABCDA BCD E FG22 / 31xy xy xy xy OOOO3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 45 MEDC BA大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由运动轨迹可知，动点从A B →的过程中，D 到直线P A 的距离即为AD ，是一条与x 轴平行的直线，D 错误；动点从B C →的过程中，162APD ABCD S S ∆==矩形，即得162xy =，由此可得12y x=，D 直线的距离P A 函数是一段双曲线，可知正确答案是B ．【总结】动点问题，进行准确分段分解，化作一段线段上的运动情况即可．【习题6】如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的一点，BC = 3BD ，CE ⊥AD ， 则AECE=______．【答案】12．【解析】过点D 作DM AC ⊥交AC 于点M ， 则有//DM AB ，则CMD ∆为等腰直角三角形， 由CE AC ⊥，可得：ADM ∆∽ACE ∆．12AE AM AM BD CE DM CM CD ∴====． 【总结】考查相似三角形性质的应用，构造平行线即可得到相似．【习题7】在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB = 2 m ，它的影 子BC = 1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m ，MN = 0.8 m ，则木竿PQ 的长度为______m ．【答案】2.3．A B CDPx yAB CPN MQHMNH G FED C BA【解析】如图有 1.2HN PM ==， 0.8PH MN ==，同一时刻影子与木杆长度所成比例相同，则有AB QHBC HN=，得： 1.5QH =，则 2.3PQ QH HP m =+=．【总结】影长问题转化为相似，同一时刻下相似比相同．【习题8】如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、 F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H ． （1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长．【答案】（1）略；（2）ECM ∆；（3）223． 【解析】（1）证明：EF AE ⊥，90AEB FEC ∴∠+∠=︒．90ABC ∠=︒ 90AEB BAE ∴∠+∠=︒ BAE FEC ∴∠=∠90ABE ECF ∠=∠=︒ ∴ABE ∆∽ECF ∆（2）由（1）BAE FEC ∠=∠，又90ABG GBC GBC BCG ∠+∠=∠+∠=︒ABG ECM ∴∠=∠ ∴ABH ∆∽ECM ∆（3）作MN BC ⊥交BC 于点N ， 则有//MN AB ，由BC = 2AB ，得2CN MN =，2BC AB BE CE ==，45AB BE AEB FEC ∴=∠=∠=︒，12EN MN CN ∴==，得1233EN EC ==，则2223EM EN ==． 【总结】考查“子母三角形”中相似的应用．【习题9】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，求四边形EFGH 的周长．【答案】213．【解析】由EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，可知四边形EFGH 是平行四边形，且EH AHBD AD=，ABCDEFGH24 / 31HG DH AC AD =，即得：1EH HGBD AC+=，由四边形是矩形，根据勾股定理可得2213AC BD AB BC ==+=，即有113EH HG+=，由此可得：13EH HG +=，故()2213EFGH C EH HG =+=．【总结】考查图形中的“A ”字型等基本图形的叠合应用，可进行比例转化得到一些特定的等量关系即可进行计算．【习题10】如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、 AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时， 求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）略；（2）6；（3）280183t =或4017t =．【解析】（1）证明：当2t =时，24DH t AH ===．AB AC AD BC =⊥，， BD CD ∴=． //EF BC ，EH FH ∴=，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD EF ⊥，∴四边形AEDF 是菱形． （2）//EF BC ，EF AE AHBC AB AD∴==． 由题意，可得：2DH t =，则有82AH t =-，即得：82108EF t-=． 5102EF t ∴=-+1003t ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭．()22115551021021022222PEF S EF DH t t t t t ∆⎛⎫∴=⋅=-+⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭． A BCDEFmH由此可知2t =时，PEF ∆的面积有最大值，此时36BP t ==； （3）①90EPF ∠=︒，分别通过E 、F 向BC 作高，易得两个三角形相似，即有5324521034t tt t t t -=--，解得：280183t =； ②90EFP ∠=︒，过点F 向BC 作高，则有281035t t =-，解得：4017t =； ③90PEF ∠=︒，过点E 向BC 作高， 则有2835t t =，此时不存在；综上所述，280183t =或4017t =时，PEF ∆是直角三角形．【总结】本题是一道考查动点问题的综合题，难度较大，第（2）问中求面积最大值时，要运用配方的思想，第（3）问的直角三角形问题要注意分类讨论，求解时通过作高即可转化为“一线三直角”的基本模型进行求解．26 / 31ABCDE【作业1】如图，在ABC ∆中，DE // BC ，12AD DB =，则下列结论正确的是（ ） A ．12AE AC =B ．12DE BC =C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长D ．13ADE ABC ∆=∆的面积的面积【答案】C【解析】12AD DB =，DE // BC ，可得两三角形相似，相似比13AD k AC ==，则其对应边、对应周长之比应为13，对应面积比为21139⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查相似图形的性质，各个量之比与相似比的关系．【作业2】如图，在ABC ∆中，点D 和点E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能判定ABC ∆ ∽AED ∆的是（ ） A ．AED B ∠=∠ B ．ADE C ∠=∠C ．AD AC AE AB=D ．AD AE AB AC=【答案】D【解析】根据相似三角形判定定理1和判定定理2，可知ABC 都正确，故选D ． 【总结】考查相似三角形判定定理的应用，可将相似比转化为一个图形中对应边之比．【作业3】一副三角尺按如图所示的方式叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积之比课后作业A BCDEABCDO为____________．【答案】13．【解析】由90ABC BCD ∠=∠=︒，可得//AB DC ，则有AOB ∆∽COD ∆，由30D ∠=︒，可得3DC BC =，由AB BC =，可得：1333AB k BC ===，则有213AOB COD S k S ∆∆==． 【总结】考查特殊的直角三角形中的边角关系的转化．【作业4】如图，点D 、E 分别在ABC ∆两边AB 、AC 上，且AD = 31，DB = 29，AE = 30， EC = 32．若50A ∠=︒，则关系式“1ADE B ∠>∠；2AED C ∠=∠；3ADE C ∠>∠；4AED B ∠=∠”中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】由AD = 31，DB = 29，可得60AB AD DB =+=，由AE = 30，EC = 32，可得62AC AE EC =+=，则有AE ADAB AC =，又A A ∠=∠， 即得ADE ∆∽ACB ∆，则有ADE C ∠=∠，AED B ∠=∠，可知②③错误，④正确，同时根据“大边对大角”，可知ADE AED ∠<∠，可知①错误，即正确的只有④，故选A ．【总结】考查相似三角形的判定定理2和相关相似性质的结合应用，先判定再应用性质，结合“大边对大角”性质即可解决问题．【作业5】在ABC ∆中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的一条直线截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，我们不妨称这种直线为过点P 的相似线．ABCDE。

三角形一边的平行线判定定理教材分析本节课是九年级第一学期第二十四章《相似三角形》中《三角形一边的平行线》的第3课时内容。

第二十四章主要学习相似三角形的概念、判定和性质，而为了研究相似形，需要有比例线段及其性质、三角形一边平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理作铺垫，因此本节课的内容是后续学习相似三角形内容的知识和技能基础之一。

如上图所示，本节课的重点是导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用，是建立在学习了“三角形一边平行线的性质定理”的基础上的，从学生已有的认知基础（三角形一边平行线的性质定理及其推论）和学习经验（三角形面积比与线段之比的转化方法、同一法、构造A型图或X型图的方法）出发进行数学的理性分析。

首先，提出“三角形一边的平行线性质定理的逆定理是否正确”的问题，引导学生进行探究讨论，对思维对象（即问题是否成立）进行肯定或否定的判断，并能够简单地说明判断的标准或依据（有特殊到一般进行判断，凭感觉进行判断等等）。

以此使学生掌握判断的标准，关注判断的合理性及能够正确地表达判断。

然后，再通过构造A型图、X型图、分割三角形等手段，运用“同一法”、“面积法”、“构造平行四边形”等方法证明得到三角形一边的平行线判定定理。

这一学习过程中不仅体现了“判断”的三要素，也体现了论证几何注重演绎推理的特点，可充分培养学生判断和演绎推理的思维形式。

学生在学习的过程中，有了发挥和展示个人生思维的独特性和新颖性，以此培养和提高学生思维的深刻性。

同时学生在此学习过程中，锻炼了个人知识迁移的能力，以此培养和提高学生思维的灵活性。

证明“三角形一边平行线的判定定理”的方法有“通过构建平行四边”、“同一法”和“面积法”，证明的过程都十分的简捷，但添置辅助线是教学的一个难点，需引导学生根据所要研究的结论联想构造平行四边形，或运用“同一法”和“面积法”，结合已知条件和图形的特征考虑构造“X 型图”或“A 型图”或“分割三角形”，形成证明思路。

24.3 相似三角形的性质第 2 课时教学目标1、掌握相似三角形的性质定理 2 和性质定理 3 的内容及证明。

2、能熟练运用相似三角形的性质定理 2 和定理 3 解决有关问题。

教学重点：相似三角形的性质定理 2 和定理 3 的初步运用教学难点：相似三角形的面积比等于相似比的平方的应用教学过程一、复习回顾1、相似三角形的性质定理1的内容是什么？2、全等三角形的对应周长（属于线段的范畴）是相等的，全等三角形的面积也是相等的，那么相似三角形的对应周长以及相似三角形的面积又有怎样的关系呢？二、探究全等三角形的对应周长的关系如果△ ABC∽△ DEF，且它们的相似比为k，那么：AB BC ACDE EF DF由等比性质，得：kAB BC AC ABkDE EF DF DE因此：定理 2（相似三角形周长比定理）：相似三角形的对应周长的比等于相似比。

三、探究全等三角形的对应面积的关系猜想：我们知道三角形的面积是由底与高的积的一半得到，面底是线段、高也是线段，所以我们有理由考虑到两个三角形面积比与两条对应线段的乘积有关，而对应底的比等于相似比，对应高的比也等于相似比，那么相似三角形面积比不就是相似比的平方吗？定理 3（相似三角形的面积比定理）：相似三角形的面积比等于相似比的平方先引导、鼓励学生自己画图，并写出“已知、求证”，教师点拨纠正。

如图，已知，△ ABC∽△ DEF，它们的相似比为k，AH、DG是对应高。

求证：SABC k2 S DEF引导、鼓励学生分析、证明。

四、应用举例：例1：如图，△ ABC中， AD： DE：EB=2： 3： 4，且 DF∥ EG∥ BC，S梯形DFGE9cm2，EG=6cm，求：（1）DF，BC；（2） S ADF， S ABC。

例2（教材 P76）：一块铁皮呈锐角三角形，它的边 BC=80cm，高 AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为2： 1，并且矩形长的一边位于边 BC上，另两个顶点分别在边AB、AC上，求这个矩形零件的长与宽。

D ABCE相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，A A ∠=∠， ADEB ∠=∠，AEDC ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形内容分析知识结构模块一：相似三角形的判定知识精讲2 / 16ABC A 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：A BCDEABCDEABCDEABCA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 14、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．6、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．ABCA 1B 1C 14 / 16AB CABCDEABCP【例1】 如图，已知点P 是ABC ∆中边AC 上一点，联结BP ，要使ABP ∆∽ACB ∆，那么应添加的一个条件为____________，或____________，或____________．【例2】 下列命题正确的是（ ） A ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B ．有一个角是106°的两个等腰三角形相似 C ．面积相等的两个直角三角形相似 D ．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似【例3】 下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】 如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，:3:5AD DE =，AE = 8， BD = 4，则DC 的长等于（ ）A ．415B ．125C ．174D ．154例题解析ABCDPA BCDE FP【例5】 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A ．两人多对B ．两人都不对C ．甲对乙不对D ．甲不对，乙对【例6】 如图，ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN =______．【例7】 如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB的延长线相交于点E ，BP // DF ，且与AD 相交于点P ，则图中有______对相似的三角形．【例8】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，AB = 8，AD = 3，BC = 4，点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图1图211 1 1111 AB CNM6 / 16A BCDEFAB CDE FGABCDEF 【例9】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线DE 交BC的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32B ．76C ．256D ．2【例10】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F为线段DE 上一点，且AEF B ∠=∠．（1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；（2）若AB = 8，AD =63，AF =43，求AE 的长．【例11】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=．【例12】如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．【例13】 在ABC ∆中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点D 是射线BC 上的一点（不与端点重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，求BD 的值．ABCDEAB C DE FG H QAB CDNM【例14】正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，求当BM 为多少时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为多少？【例15】 如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG ∆的周长为______cm ．【例16】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 2 cm ，D 为BC的中点，若动点E 以1 cm /s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设点E 的运动时间为t 秒，联结DE ，当t 为何值时，BDE ∆是直角三角形？【例17】如图，ABC ∆中，4AB = 5AC ，AD 为ABC ∆的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG = FD ，联结EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中点，求AGFD的值．A BCDE A BCDEF G H8 / 161、 相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2、 相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 3、 相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是______cm ．【例19】在ABC ∆中，DE // BC ，且D 在AB 边上，E 在AC 边上，若:1:4ADE BCED S S ∆=，则:ADE ABC C C ∆∆=______，:AD DB =______．【例20】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，90B ACD ∠=∠=︒，AB = 2，DC = 3，则ABC∆与DCA ∆的面积比为（ ）A ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 9D ．2:3【例21】【例22】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个模块二：相似三角形的性质知识精讲例题解析ABCDABCD E ABCDE【例23】如图，D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，23AD AE DE AB AC BC ===，且ABC ∆与ADE ∆的周长之差为15 cm ，求ABC ∆与ADE ∆的周长．【例24】如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE // AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______．【例25】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN // AB ，MC = 6，23NC =，那么四边形MABN 的面积是______．【例26】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线与F ，BG AE ⊥于G ，则EFC ∆的周长为______．【例27】如图，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED // BC 交AB于点D ．（1）求证：AE BC BD AC =；（2）如果3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，DE = 6，求BC 的长．AB CDEABCDNMABC DEFG10 / 16ABCD PQ【例28】如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，在线段AB 上取一点D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ，AD 的中点E 的对应点记为1E ，若11E FA ∆∽1E BF ∆， 则AD =______．【例29】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 3，点D 、E 分别在BC 、AC上，且BD = CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF // AB ，则BD 的长为______．【例30】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥于点D ．点P从点D 出发，沿线段CD 向点C 运动，点O 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，CPQ ∆为等腰三角形？ABCD E F A 1E 1 AB CDEA BCABCDE FGABCDE【习题1】 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AE = AB ，则长度为线段AD 、AC 长度比例中项的线段是______．【习题3】 如图，在ABC ∆中，D 、F 是AB 的三等分点，DE // FG // BC ，分别交AC 于E 、G ．记ADE ∆、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =______．【习题4】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，已知AB = 4，AD = 2，DAC B ∠=∠，若ABD ∆的面积为a ，则ACD ∆的面积为______．随堂检测ABCD12 / 16AB CPN MQA BCDEG Hx y xy xy xy O O O O 3 45 3 45 3 45 3 45 AB C D E FMG H【习题5】 如图，矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记P A = x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【习题6】 如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的一点，BC = 3BD ，CE ⊥AD ，则AE CE =______．【习题7】 在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB = 2 m ，它的影子BC = 1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m ，MN = 0.8 m ，则木竿PQ 的长度为______m ．【习题8】 如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长．【习题9】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 、F 、G 、H分别在矩形ABCD 的各边上，EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，求四边形EFGH 的周长．A B CDPx yA BC DEABCDEFmH【习题10】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．14 / 16AB C DE A BCDEABCDE AB C D O【作业1】 如图，在ABC ∆中，DE // BC ，12AD DB =，则下列结论正确的是（ ） A ．12AE AC =B ．12DE BC = C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长D ．13ADE ABC ∆=∆的面积的面积【作业2】 如图，在ABC ∆中，点D 和点E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能判定ABC∆∽AED ∆的是（ ）A ．AEDB ∠=∠B ．ADEC ∠=∠ C ．AD AC AE AB=D ．AD AE AB AC=【作业3】 一副三角尺按如图所示的方式叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积之比为____________．【作业4】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆两边AB 、AC 上，且AD = 31，DB = 29，AE = 30，EC = 32．若50A ∠=︒，则关系式“○1ADE B ∠>∠；○2AED C ∠=∠；○3ADE C ∠>∠；○4AED B ∠=∠”中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【作业5】 在ABC ∆中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的一条直线截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，我们不妨称这种直线为过点P 的相似线．如图，36A ∠=︒，AB = AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的ABC ∆的相 似线最多有______条．课后作业AB CPAB O xyAB CDE FGOAB CDEFA B CDE F NM【作业6】 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB = a ，CG = b （a > b ），下列结论：○1BCG ∆≌DCE ∆；○2BG DE ⊥；○3DG GO GC CE=；○4()22EFO DGO a b S b S ∆∆-=，其中正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【作业7】 已知，在菱形ABCD 中，CF ⊥AB ，垂直为E ；CE 与BD 相交于点F ．（1）求证：AB CFBE EF=；（2）求证：22DF DB BC =．【作业8】 如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 与点E ，点F 、M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分ABE ∠交AM 于点N ，AB = AC = BD ，连接MF ，NF ． （1）判断BMN ∆的形状，并证明你的结论；（2）判断MFN ∆与BDC ∆之间的关系，并说明理由．【作业9】 如图，AOB ∆为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5）底边OB 在x 轴上，将AOB ∆绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得''A O B ∆，点A 的对应点'A 在x 轴上，求点'O 的坐标．16 / 16ABCD EF GP Q【作业10】 已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点，沿PE 翻折得到BPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ． （1）如图，当BP = 1.5时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP = x ，DG = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE ∆与FHG ∆相似，求BP 的长．。

二次函数与相似三角形教案教学目标：1、会正确求解二次函数解析式；2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。

教学重点：1、正确求解二次函数解析式；2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。

教学难点：根据条件构造相似三角形解决问题。

教学过程：一、快速反应1、已知二次函数的图象经过点（-5，-1）、（0，-4）和（1,1），求这个二次函数的解析式．2、已知抛物线的顶点坐标为（2,1），与y轴交于点（0,5），求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过A（-2,0）、B（1，0）、C（0，2）三点。

求这条抛物线的解析式。

4、已知二次函数对称轴是x=1，过点（-3，0），与y轴交点为（0，5）5、已知二次函数图像顶点是（2，1），图像在x轴上截得的线段长2，求这个二次函数解析式。

二、小试牛刀1、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F 为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________2、如图，已知A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．A.EB C三、例题解读例1：已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A 、B ，与 轴交于点C ，直线经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）动点M 在直线上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标．（3）如果点P 、Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），PQ//AO ，PQ=2AO ，求点P 、Q 坐标。

练习：已知抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是（3，0），tan ∠OAC =3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点D 是y 轴上一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标.四、课堂小结：二次函数与相似三角形综合题之解题策略1、 根据题意，先求相关点的坐标和相关线段的长度；2、 待定系数法求相关函数的解析式；3、 利用同角或等角找对应点，分类讨论；4、 根据题目条件，正确画图，注意数形结合；5、 利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。