全等三角形详细讲解

第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定第1课时利用“边边边”判定三角形全等一、教学目标【知识与技能】1.掌握“边边边”的内容;2.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.3. 能用尺规作一个角等于已知角.【过程与方法】经历探索三角形全等条件的过程,体会用操作、归纳得出数量结论的过程.【情感态度与价值观】通过探索三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想,乐于探究的良好品质以及发现问题的能力.二、课型新授课三、课时第1课时，共4课时。

四、教学重难点【教学重点】探索三角形全等的条件，会应用“边边边”判定两个三角形全等.【教学难点】探索三角形全等的条件，用尺规作一个角等于已知角.五、课前准备教师：课件、三角尺、圆规、直尺等。

学生：三角尺、圆规、直尺。

六、教学过程（一）导入新课为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？（二）探索新知1.师生互动，探究两个三角形全等的条件教师问1：什么叫全等三角形？学生回答：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.教师问2：全等三角形有什么性质？学生回答：全等三角形的对应边相等，对应角相等.（出示课件4）教师讲解：我们如何识别两个三角形是否全等呢？我们从“条件尽可能的少”出发，逐步增加条件分类进行操作验证，希望得到我们想要的结论.教师问3：满足一个条件对应相等时，识别两个三角形全等，共有几种情况呢？分别是哪些情况？学生讨论并回答：一共有两种情况，①只给一条边时；②只给一个角时.教师问4：请同学们每人画出一个边长为3cm的三角形，然后每个小组内的同学看一下画出的三角形全等吗？学生作图并且比较后回答：不全等.教师问5：请同学们每人画出一个45°的三角形，然后每个小组内的同学看一下画出的三角形全等吗？学生作图并且比较后回答：不全等.结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件6）教师问6：如果满足两个条件判断两个三角形全等，你能说出有哪几种可能的情况？学生分组讨论、探索、归纳，给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边.教师请同学们分别按下列条件做一做.①三角形两条边分别为3cm，4cm.三角形②三角形的一条边为4cm，一内角为30°，.③三角形两内角分别为30°和45°教师问7：同学根据①画出的两个三角形全等吗？学生作出图形并且组内识别后回答：两条边对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件8）教师问8：同学根据②画出的两个三角形全等吗？学生做出图形并且组内识别后回答：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件9）教师问9：同学根据③画出的两个三角形全等吗？学生做出图形并且组内识别后回答：两个角对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件10）教师分析并归纳结论：只满足两个条件画出的三角形不一定全等.总结点拨：（出示课件11）一个条件①一角；②一边；两个条件①两角；②两边；③一边一角.结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.教师问10：给出三个条件画三角形，会有几种可能的情况？学生思考后师生归纳：有四种可能，即三角、三边、两边一角、两角一边分别相等.教师问11：已知两个三角形的三个内角分别为30°，60° ，90° 它们一定全等吗？学生作出图形并且组内识别后回答：有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.（出示课件13）教师问12：已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm .它们一定全等吗？（出示课件14）教师演示作法，学生按要求尺规作图，动手操作，通过比较得出结论.这两个三角形相等.教师问13：任意两个三角形的三条边都分别相等.它们一定全等吗？我们进行下边的操作：做一做：先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA，把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？教师演示作法：（1）画B′C′=BC；（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；（3）连接线段A'B', A 'C'.（出示课件15）学生按要求尺规作图，动手操作，通过比较得出结论.三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).总结：（出示课件16）“边边边”判定方法文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）几何语言：在△ABC和△ DEF中，{AB=DE，BC=EF，CA=FD，∴△ABC ≌△ DEF（SSS）.例1：如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：（1）△ABD ≌△ACD．(2)∠BAD = ∠CAD.（出示课件17）解题思路：①先找隐含条件：公共边AD ；②再找现有条件：AB=AC③最后找准备条件：D 是BC 的中点→BD=CD师生共同解答如下：（出示课件18）证明：（1）∵ D 是BC 中点，∴ BD =DC．在△ABD 与△ACD 中，{AB =AC (已知）BD =CD （已证）AD =AD （公共边） ∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．（2）由（1）得△ABD≌△ACD ，∴ ∠BAD= ∠CAD.（全等三角形对应角相等）总结点拨：（出示课件19）证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；:④写出结论：写出全等结论.例2：已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠BAC＝∠DAE. （出示课件21）分析：要证∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在三角形显然不全等，我们可以利用等式的性质将它转化为证∠BAD＝∠CAE；由已知的三组相等线段可证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE.师生共同解答如下：（出示课件22）证明：在△ABD和△ ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，∴ △ ABD≌ △ ACE(SSS)，∴∠BAD＝∠CAE.∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.例3：用尺规作一个角等于已知角．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．（出示课件24）师生共同解答如下：（出示课件25）作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C,D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．（三）课堂练习（出示课件28-34）1. 如图，D,F是线段BC上的两点，AB=EC，AF=ED，要使△ABF≌△ECD ，还需要条件___________________(填一个条件即可）.2.如图，AB＝CD，AD＝BC, 则下列结论：①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD ≌△CDB；④ BA∥DC.正确的个数是( )A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC ≌△AED.4. 已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB,（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C,D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径作弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．5. 如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D .(提示: 连结AB)6. 如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，BH ＝CH ，图中有几组全 等的三角形？它们全等的条件是什么？参考答案：1. BF=CD2.C3. 证明：∵BD=CE,∴BD －CD=CE －CD .∴BC=ED .在△ABC 和△ADE 中，AC=AD （已知），AB=AE （已知），BC=ED （已证），∴△ABC≌△AED（SSS ）.4. 证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD 和△O′C′D′中D COAB∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．5. 证明：连接AB两点,在△ABD和△BAC中，AD=BC，BD=AC，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SSS)∴∠D=∠C.6.解：（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.本节课学了判定两个三角形全等的条件数目和全等三角形的判定方法（边边边）2.利用尺规作图作一个角等于已知角（五）课前预习预习下节课（12.2）教材37页到39页的相关内容。

《全等三角形》试讲稿一、课程导入同学们，在生活中我们常常会看到一些形状和大小完全相同的物体，比如我们的数学课本，它们的封面是不是看起来一模一样呢？在数学里，我们把这样能够完全重合的图形叫做全等形。

那今天，我们就一起来探究一下三角形中的全等关系。

二、讲授新课（一）全等三角形的定义现在，请大家看大屏幕上的这两个三角形（展示两个全等三角形的动画，让它们重合），大家观察一下，这两个三角形有什么特点呢？很好，这位同学说它们的形状和大小都完全一样，而且能够完全重合。

非常正确！像这样能够完全重合的两个三角形，我们就称之为全等三角形。

当我们把这两个三角形重合在一起时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

我们用符号“≌”来表示全等，比如这两个三角形我们可以记作△ABC≌△DEF，这里A 与D、B 与E、C 与F 分别是对应顶点，大家要注意，写的时候对应顶点要写在对应的位置上。

（二）全等三角形的性质那全等三角形有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下。

老师把这两个全等三角形剪下来（边说边操作），大家看，当我把△ABC 与△DEF 重合时，我们可以发现：AB 边与DE 边重合，这说明全等三角形的对应边相等；∠A 与∠D 重合，这表明全等三角形的对应角也相等。

所以，我们可以总结出全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

为了加深大家的理解，我们来看一道例题。

已知△ABC≌△DEF，∠A = 60°，∠B = 40°，BC = 5cm，求∠F 的度数和EF 的长度。

同学们先自己思考一下，然后老师请一位同学来回答。

好，这位同学你来试试。

非常棒！根据全等三角形的性质，因为∠F 与∠C 是对应角，而∠C = 180°- ∠A - ∠B = 80°，所以∠F = 80°；又因为EF 与BC 是对应边，所以EF = BC = 5cm。

乙D C A B 丙D CAB E甲D C A B F E 全等三角形及判定问题：观察下图中的两个三角形，这两个三角形形状、大小有什么关系吗？这两个三角形的 、 完全一样，放在一起 完全重合．⑴ 全等形的定义：形状与大小都相同的两个图形放在一起能够完全重合。

•能够完全重合两个图形叫做 。

⑵ 全等三角形的定义： 的两个三角形叫做全等三角形。

①对应顶点： 的顶点叫对应顶点；②对应角： 的角叫对应角；③对应边 的边叫对应边；“全等”用符号： 表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时对应顶点字母写在对应的位置上。

例如 图1中的△ABC 和△DEF 全等，记作： ，其中点 和点 ，点 和点 ，点 和点 是对应顶点；哪些是对应边？对应角呢？思考：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 绕点A 旋转180°得△AED ． 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但 、都没有C图1B CD C A BE 改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ．全等三角形的性质： ， 。

例1 ⑴ 如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．⑵ 如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角．⑶ 已知，如图△ABC ≌△ADE ，试找出对应边、对应角．例2 如图，△ABE ≌△ACD ， AB与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。

判定我们知道：若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.那么能否减少一些条件，找到更为简便的判定三角形全等的方法？显然由于三角形的内角和等于180°，如果两个角分别对应相等，那么另一个角必然也相等．这样，若两个三角形的三条边、两个角分别对应相等，则这两个三角形仍然全等．能否再减少一些条件？对两个三角形来说，六个元素（三条边、三个角）中至少要有几个元素分别对应相等，两个三角形才会全等呢？（一）探究全等条件1.我们从最简单的开始，如果只知道两个三角形有一组对应相等的元素（边或角），这两个三角形一定全等吗？（1）如果只知道两个三角形有一个角对应相等，那么这两个三角形全等吗？（2）如果只知道两个三角形有一条边对应相等，那么这两个三角形全等吗？2.如果两个三角形有两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形一定全等吗？想一想，会有几种可能的情况？分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画D C B O CA BE O三角形（1）三角形的两个内角分别为30°和70°；（2）三角形的两条边分别为3cm 和5cm ；（3）三角形的一个内角为60°，一条边为3cm ；你一定会发现，如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角形不一定全等（甚至形状都不相同）．思 考：如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？如果两个三角形有三组元素对应相等，那么这两个三角形全等的可能性极大，但也有不全等的情况。

全等三角形讲解
全等三角形是指两个三角形在形状和大小上完全相等的情况，也称为同一形状的三角形。

在几何学中，全等三角形是几何学中最基本的概念之一，因为它是通过三角形之间的相似性来推导其他几何形状的方法之一。

全等三角形的定义是，两个三角形在所有的对应角度相等，在对应的边上也相等。

当两个三角形完全重合时，即它们的所有的对应角度和对应边都相等时，这两个三角形就是全等三角形。

证明两个三角形全等的方法有多种，例如SAS（已知两边和夹角），SSS（已知三边）和ASA（已知两角和一边）等等。

通过这些方法，我们可以证明两个三角形完全相等，这种相等性对于解决几何问题、计算面积和寻找相似形状等问题非常有用。

在实际应用中，全等三角形也经常出现。

例如，在设计建筑物、桥梁和通讯塔等结构时，必须确保它们的三角形部分是全等的，以确保结构的稳定性和安全性。

另外，全等三角形也是数学竞赛中常见的问题，需要我们熟练掌握求证全等三角形的方法。

总之，全等三角形是几何学中最基本的概念之一，我们需要认真学习和掌握。

只有掌握了全等三角形的定义和证明方法，我们才能在实际问题中应用它们，解决复杂的几何形状和结构问题。