人教版高中数学 教案+学案综合汇编 第3章：不等式 课时15

课时跟踪检测(十八) 简单的线性规划问题一、选择题1．目标函数z ＝3x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线的纵截距的相反数D ．该直线的横截距2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x 辆载重6吨汽车和y 辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y3．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[－3,1]C ．[－1,3]D ．[－3，－1]4．实数x ，y 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B.⎣⎡⎦⎤－12，13 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫－12，1 5．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12 万元B ．20 万元C ．25 万元D ．27 万元二、填空题6．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．7．(2012·浙江高考)设z ＝x ＋2y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0，则z 的取值范围是________．8．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0y ≤nx ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是________．三、选择题9．已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．10．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a 的钢条2根，长度为b 的钢条1根；或截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？答 案课时跟踪检测(十八)1．选C 由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，在该方程中－z 表示直线的纵截距，因此z 表示该直线的纵截距的相反数．2．选A 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z ＝6x ＋4y . 3.选C 先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围．由图求出其取值范围是[－1,3]．4.选D 利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P (x ，y )与定点A (－1,1)连线的斜率问题．画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1,1)的连线的斜率，由图可知点A (－1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W＜1.5．选D 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y＞0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，目标函数z ＝5x ＋3y .作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元，故选D.6．解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z 最大．答案：(0,5)7．解析：画出可行域如图，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，则z 2的几何意义是直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距，当直线过点O 及直线x －y ＋1＝0和x ＋y －2＝0的交点A ⎝⎛⎭⎫12，32时，z 分别取得最小值0和最大值72，故z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，72. 答案：⎣⎡⎦⎤0，72 8．解析：先根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0，x ≥－3作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n ＞2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其部分．答案：n ＞29．解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0，表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线， 由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)，∴u 最小值＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u 最大值＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，(2)作出二元一次不等式组如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，且随z 变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x －y ＝1，得A (－2，－3)，∴z 最小值＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线y ＝－12x ＋12z －1与直线Xx ＋2y ＝4重合时，截距12z －1最大，即z 最大，∴z 最大值＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.10．解：设按第一种切割方式切割的钢条x 根，按第二种切割方式切割的钢条y 根，根据题意得约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x >0，x ∈N *，y >0，y ∈N *，目标函数是z ＝x ＋y ，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3.6，y ＝7.8.此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数， 所以点(3.6,7.8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z 最小的直线是x ＋y ＝12， 即z ＝12，满足该约束条件的(x ，y )有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．。

3.3 一元二次不等式及其解法1．理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，能借助二次函数的图象解一元二次不等式．2．能利用一元二次不等式解决相关的实际问题，并会设计求解一元二次不等式的程序框图．3．了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法．1．一元二次不等式的概念形如____________或____________(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．用文字表述为：一般地，含有______未知数且未知数的________为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．【做一做1】已知不等式：①x2＞0；②－x2－2x≤15；③x3－5x＋6＞0；④x2－y＜0.其中一元二次不等式的个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．42．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系如下表所示：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)有两个不等的实根x1，x2，且x1＜x2有两个相等的实根1，x2，且x1＝x没有实数根____________________________________________对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，常用口诀是：大于取两边，小于取中间．即：你只要记住一个前提：a＞0和四句话：根上等于零，根间小于零，根外大于零，无根大于零．对于二次项系数是负数(即a＜0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等式．【做一做2－1】不等式x2－2x＋1＞0的解集是( )．A．R B．{x|x∈R，且x≠1}C．{x|x＞1} D．{x|x＜1}【做一做2－2】不等式－6x2－x＋2≤0的解集是__________．3．用程序框图描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的算法过程：【做一做3】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＞0的解集是________．一、借助函数图象解不等式的原理分析 剖析：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图象．因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x 轴上方的点的纵坐标大于0，位于x 轴上的点的纵坐标等于0，位于x 轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象上位于x 轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＞0的解集，二次函数f (x )＝ax 2＋bx＋c 的图象上位于x 轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＜0的解集．所以可以用二次函数的图象解一元二次不等式．当然，对于任意函数y ＝f (x )，只要能画出它的图象，那么就可以解不等式f (x )＞0或f (x )＜0.(1)如果一元二次不等式ax2＋bx ＋c ≥0的解集是R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0；如果一元二次不等式ax2＋bx ＋c ≤0的解集是R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac ≤0.(2)如果一元二次不等式ax2＋bx ＋c ≥0的解集是∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0；如果一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.二、简单的一元高次不等式的解法剖析：解法有两种：(1)等价转化，把高次不等式转化为低次不等式组．(2)穿根法：先化成最高次项系数为正的形式，再把高次不等式中的多项式分解为多个一次或二次因式的积的形式，求出对应方程的根，依次在数轴上把根标出，然后用一条曲线从最大的根的右上方穿起，穿过所有根，曲线与数轴围成的上方区域为“＞”型不等式的解集，下方区域为“＜”型不等式的解集．当有重根时，偶次重根“穿而不过”，奇次重根按一次根对待．三、分式不等式的解法剖析：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式，解法有两种：(1)穿根法，其解题过程为：先化成标准式(右端为0，左端的分子、分母均为一次因式或二次不可约因式的积)，要求各一次因式中的x 的系数及二次因式中的x 2的系数必须为正数．以下过程同一元高次不等式的解法．(2)等价转化法，如下表所示.f xg x＞0 f xg x＞0⇔{ f x g x 或{ f x g xf xg x ＞0⇔ f (x )g (x )＞0 f xg x＜0 f xg x＜0⇔{ f x g x 或{ f x g x f xg x ＜0⇔ f (x )g (x )＜0 f xg x≥0 { f x g x 或{ f x g xf xg x≥0⇔ 错误!f xg x≤0 { f x g x 或{ f xg xf xg x≤0⇔ 错误!四、教材中的“？”1．由(1)和(2)的解法，你能否解不等式x ＋2x －3≥0，x ＋2x －3≤0? 剖析：(1)x ＋2x －3≥0相当于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －3＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ＜3，得x ＞3或x ≤－2.(2)x ＋2x －3≤0相当于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －3＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ＜3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ＞3，得－2≤x ＜3.2．不等式x 2＋4x ＋4≥0的解集是什么？x 2＋4x ＋4≤0的解集是什么？剖析：x 2＋4x ＋4≥0相当于(x ＋2)2≥0，∴不等式的解集为R . x 2＋4x ＋4≤0相当于(x ＋2)2≤0，∴不等式的解集为{x |x ＝－2}．题型一 一元二次不等式的概念【例1】①x 2＋x ＋1＜0，②－x 2－4x ＋5≤0，③x ＋y 2＋1＞0，④mx 2－5x ＋1＞0，⑤－x 3＋5x ≥0，⑥(a 2＋1)x 2＋bx ＋c ＞0(m ，a ∈R )．其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__________．(请把正确的序号都填上)反思：当所给不等式的二次项系数含字母时，要注意二次项系数是否为零，这一点决定了这个不等式是否为一元二次不等式．题型二 一元二次不等式的解法【例2】解不等式：x 2－2x －3＞0.分析：可对不等式左边进行因式分解，再利用积的符号法则把它转化为不等式组求解；也可以利用二次函数图象求解．反思：解法一的具体步骤是：(1)因式分解；(2)转化为不等式组；(3)写解集．解法二的具体步骤是：(1)构造函数；(2)画图象；(3)写解集．【例3】解关于x 的不等式：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0(a ∈R )．分析：这是一个含有参数的一元二次不等式，首先考虑因式分解，分解之后可知方程的根是a ，a 2，需要对两根进行大小比较，所以要进行讨论．反思：熟练掌握一元一次和一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对含字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要注意不重、不漏．题型三 已知一元二次不等式的解集求参数问题【例4】若不等式px 2＋qx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，求p ＋q . 分析：本题需要通过不等式的解集来确定不等式的系数，它类似于在初中所碰到的由方程的根确定方程的系数．于是我们很自然地想到能否将不等式问题转化为方程问题．反思：在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题．这类问题也可以用下面的方法来解：(1)先作出一个解集符合要求的不等式；(2)根据不等式同解的要求，确定其系数的数值．利用此法确定不等式系数时，必须注意：①将两不等式化为同向不等式；②同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误．题型四 分式不等式的解法 【例5】解下列不等式：(1)4－x 2x ＋3≤0；(2)2x －13x ＋1＞0；(3)ax x ＋1＜0. 反思：在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“≥”“≤”型的分式不等式，转化后应变为不等式组．1已知集合M ＝{x ||x |＜3}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，则M ∩N 为( )． A ．RB ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－3＜x ＜－2或x ＞3}D ．{x |－3＜x ＜－2}2函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( )．A ．{x |x ＜－4或x ＞3}B ．{x |－4＜x ＜3}C ．{x |x ≤－4或x ≥3}D ．{x |－4≤x ≤3}3不等式2x 2＋mx ＋n ＞0的解集是{x |x ＞3或x ＜－2}，则二次函数y ＝2x 2＋mx ＋n 的表达式是( )．A ．y ＝2x 2＋2x ＋12B ．y ＝2x 2－2x ＋12C ．y ＝2x 2＋2x －12D ．y ＝2x 2－2x －124不等式x 2－x －2＜0的解集是________．5二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式＋＋＞0的解集是________．答案：基础知识·梳理1．ax 2＋bx ＋c ＞0 ax 2＋bx ＋c ＜0 一个 最高次数 【做一做1】B2．{x |x ＜x 1或x ＞x 2} {x |x ≠－b2a} R {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅【做一做2－1】B【做一做2－2】{x |x ≤－23或x ≥12} 原不等式等价于6x 2＋x －2≥0，6x 2＋x －2＝0的两根为x 1＝－23，x 2＝12，∴6x 2＋x －2≥0的解集为{x |x ≥12或x ≤－23}．3．－b －Δ2a －b ＋Δ2a (－∞，－b 2a )∪(－b2a ，＋∞)(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞) (－∞，＋∞) 【做一做3】∅ 典型例题·领悟【例1】①②⑥ ①②是；③不是；④不一定是，因为当m ＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x 2的系数含有字母，但a 2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.【例2】解：解法一：原不等式化为(x ＋1)(x －3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －3<0. 解得x ＞3或x ＜－1.故原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞3}．解法二：作函数y ＝x 2－2x －3的图象，如图所示，由图可知，y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x ＜－1或x ＞3.故原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞3}．【例3】解：将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为(x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0或a ＞1时，有a ＜a 2，解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }； 当a ＝0时，解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，解集为{x |x ≠1}．【例4】解：∵不等式px 2＋qx ＋2＞0的解集为(－1,2)，∴方程px 2＋qx ＋2＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝2，且p ＜0.由韦达定理，可知⎩⎪⎨⎪⎧－qp＝－1＋2，2p ＝(－1)·2⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝1⇒p ＋q ＝0.【例5】解：(1)4－x2x ＋3≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(4－x )(2x ＋3)≤02x ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)(2x ＋3)≥02x ＋3≠0⇒{x |x ≥4或x ＜－32}．(2)2x －13x ＋1＞0⇔(2x －1)(3x ＋1)＞0 ⇔{x |x ＞12或x ＜－13}．(3)axx ＋1＜0⇔ax (x ＋1)＜0， 当a ＞0时，ax (x ＋1)＜0⇔x (x ＋1)＜0⇔{x |－1＜x ＜0}； 当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a ＜0时，ax (x ＋1)＜0⇔x (x ＋1)＞0⇔{x |x ＞0或x ＜－1}． 随堂练习·巩固 1．D2．C 要使函数有意义，只需x 2＋x －12≥0.方程x 2＋x －12＝0的解为x 1＝－4，x 2＝3.函数y ＝x 2＋x －12的开口向上且与x 轴有两个交点(－4,0)，(3,0)．∴原不等式的解集为{x |x ≤－4或x ≥3}．3．D 依题意知x ＝3和x ＝－2是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2＝－m2，3×(－2)＝n2.解得m ＝－2，n ＝－12.故二次函数的表达式为y ＝2x 2－2x －12.4．{x |－1＜x ＜2} 原不等式可以变化为(x ＋1)(x －2)＜0，可知方程x 2－x －2＝0的解为－1和2，所以原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2}．5．(－∞，－2)∪(3，＋∞)根据所给数表中函数的单调性可以看出a＞0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2和3.。

3.1 不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系思考限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？答案v≤40.梳理试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a＞b(2)a小于b a<b(3)a不超过b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二作差法思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.梳理作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.知识点三不等式的基本性质思考试用作差法证明a>b，b>c⇒a>c.答案a>b，b>c⇒a－b>0，b－c>0⇒a－b＋b－c>0⇒a－c>0⇒a>c.梳理不等式性质：(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒类型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解 提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： (1)截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0.类型二 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.反思与感悟 比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵(x －12)2＋34＞0，x －1＜0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]＜0，∴x 3－1＜2x 2－2x .命题角度2 作商法比较大小例3 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 解|log a－x|log a＋x＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a －x log a ＋x ＝||log＋x－x，∵0＜x ＜1， ∴||log＋x－x＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x，∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )＜1，且1－x ＞0， ∴1＋x ＜11－x，∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a－x|log a＋x＞1，∴|log a (1＋x )|＜|log a (1－x )|.反思与感悟 作商法的依据：若b ＞0，则a b＞1⇔a ＞b . 跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b与a b b a的大小．解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(a b)a －b，∵a ＞b ＞0，∴ab＞1，a －b ＞0，∴(a b )a －b ＞1，即a a b ba b ba ＞1， 又∵a ＞b ＞0，∴a a b b＞a b b a.类型三 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b. 证明 因为a >b >0，所以ab >0，1ab>0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.反思与感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明⎭⎬⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0⎭⎪⎬⎪⎫c >d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd.1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案 C解析 由a ＋b >0，知a >－b ， ∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0， ∴a >－b >b >－a .3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？解 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1 800.1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．40分钟课时作业一、选择题1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0， ∴x 2>ax .又ax －a 2＝a (x －a )>0， ∴ax >a 2， ∴x 2>ax >a 2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b>a >a b2 D.a b >a b2>a答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12， ∴a b >a b2>a .3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b<0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2， ∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立， ∴C 成立；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |， ∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >c ⇒ab >ac .5．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <ab答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1. 6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________． 答案 [－1,6] 解析 ∵－1≤b ≤2， ∴－2≤－b ≤1， 又1≤a ≤5， ∴－1≤a －b ≤6.8．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：____________. 答案a ＋mb ＋m >ab解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案x1＋x 2≤12解析 ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 2＋x 2＝－x －2＋x2≤0.∴x1＋x 2≤12. 10．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为_______________． 答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36) ＝－1<0.所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2. 三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．解 据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N )．12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．13．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x 、y 表示混合食物成本c 元，并写出x 、y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100， ∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.。

人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第三章 不等式第二教时教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。

过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()( 推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则） 证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且 证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若b a b a ba b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a >三、小结：五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6.1 4四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件 解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1的大小 解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b 1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a < 0>-a b 0>ab ∴0>-aba b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab a a b ∴1>a b 6．若0,0<<>>dc b a 求证：d b c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα 又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴原式成立。