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2018届高考数学理科二轮复习跟踪强化训练：23(含解析)

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跟踪强化训练(二十三) 一、选择题 1．(2017·合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )

A.0，π4 B.3π4，π C.0，π4∪π2，π D.π4，π2∪3π4，π [解析] 由直线方程可得该直线的斜率为－1a2＋1，又－1≤－1a2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是3π4，π.故选B.

[答案] B 2．(2017·沈阳质量监测)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为( ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [解析] 由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y＝x＋3，即x－y＋3＝0，故选D. [答案] D 3．(2017·衡阳联考(一))若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1没有公共点，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－2－22)∪(22－2，＋∞) B．(－∞，－2－25)∪(25－2，＋∞) C．(－∞，－2－2)∪(2－2，＋∞) D．(－∞，－2－5)∪(5－2，＋∞) [解析] 解法一：将2x－y＋a＝0代入(x－1)2＋y2＝1得5x2＋(4a－2)x＋a2＝0，又直线与圆没有公共点，则有Δ＝(4a－2)2－20a2<0，即a2＋4a－1>0，解得a<－2－5或a>5－2，选D.

解法二：圆心(1,0)到直线2x－y＋a＝0的距离d＝|2＋a|5>1，解得a<－2－5或a>5－2，选D. [答案] D 4．(2017·陕西省高三质检)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则圆C的面积为( ) A．49π B．36π C．7π D．6π [解析] 圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，因此圆心

C(a,1)到直线y＝ax的距离为|a2－1|a2＋1＝32a2－1，解得a2＝7，所以圆C的面积为π(a2－1)2＝6π，选D. [答案] D 5．(2017·河南豫东联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C．(x－1)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5

[解析] 显然两直线平行，所以两直线间的距离为|4－－6|22＋－12＝25，即圆的直径为25，圆心应在直线2x－y－1＝0上，代入(a,1)得a＝1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5，故选A. [答案] A 6．已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分 圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是( ) A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 [解析] 对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点P(2,3)． 设圆心是C，则易知C(1,2)，

所以kCP＝3－22－1＝1， 由垂径定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1. 又弦MN过点P(2,3)， 故弦MN所在直线的方程为y－3＝－(x－2)． 即x＋y－5＝0. [答案] A 7．(2018·广东七校第一次诊断)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心在直线ax－by＋1＝0上，则ab的取值范围是( )

A.－∞，14 B.－∞，18 C.0，14 D.0，18 [解析] 把圆的方程化为标准方程得，(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在已知直线ax－by＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a－2b＋1＝0，即a＝1－2b，设m＝

ab＝(1－2b )b＝－2b2＋b＝－2b－142＋18≤18，当b＝14时，m有最大值18，故选B. [答案] B 8．(2017·福州质检)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两 条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( ) A．y＝－34 B．y＝－12 C．y＝－32 D．y＝－14 [解析] 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将

两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－12.故选B. [答案] B 9．(2017·西安一检)已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，

a与b的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋12＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝12的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．随α，β的值而定 [解析] 由已知得到|a|＝2，|b|＝3，a·b＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝

6cos(α－β)＝6cos60°＝3，所以cos(α－β)＝12，圆心(cosβ，－sinβ)到

直线xcosα－ysinα＋12＝0的距离为|cosβcosα＋sinβsinα＋12|cos2α＋－sinα2＝|cos(α－β)＋12|＝1，圆的半径为22，1>22，所以直线与圆相离，故选C. [答案] C 10．(2017·洛阳模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ( ) A.2 B．22 C．32 D．42 [解析] 由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m

＝0，根据平行线间的距离公式得，|m＋7|2＝|m＋5|2，即|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为|－6|2＝32，故选C. [答案] C 11．(2017·甘肃省兰州市高考诊断)已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)，(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是( )

A.32，322 B.322，32

C.32，332 D.332，32 [解析] 解法一：设P(a，b)为圆上一点，由题意知，AP→·BP→＝0，即(a＋t)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，所以t2＝a2＋b2＝|OP|2，|OP|max

＝2＋1＝3，即t的最大值为3，此时kOP＝33，OP所在直线的倾斜

角为30°，所以点P的纵坐标为32，横坐标为3×32＝332，即P332，32. 解法二：设点P(3＋cosθ，1＋sinθ)，由题意知AP→·BP→＝0，所以(3＋cosθ＋t)(3＋cosθ－t)＋(1＋sinθ)2＝0，得t2＝5＋23cosθ＋

2sinθ＝5＋4sinθ＋π3，当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，t取得最大值，此时

P332，32. [答案] D 12．(2017·四川成都二模)已知直线l的方程是y＝k(x－1)－2，若点P(－3,0)在直线l上的射影为H，O为坐标原点，则|OH|的最大值是( ) A．5＋2 B．3＋22 C.5＋2 D.3＋32 [解析] 因为直线l的方程是y＝k(x－1)－2，所以直线l过定点M(1，－2)．则点P(－3,0)在直线l上的射影H在以PM为直径的圆上．

|PM|＝1＋32＋－22＝25， 线段PM的中点即圆心C(－1，－1)，则|OC|＝2. 因此，当O，C，H三点共线时，|OH|取得最大值＝5＋2. [答案] C 二、填空题 13．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________________．

[解析] 由题意，得kOP＝2－01－0＝2，则该圆在点P处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0. [答案] x＋2y－5＝0 14．(2017·青岛一模)已知点P(－2，－3)，圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9，过P点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则过P，A，B三点的圆的方程为______________________________________． [解析] 圆C的圆心为C(4,2)，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴P，A，B，C四点共圆，所求圆的圆心O′即PC的中点．∵P(－2，－3)，

∴O′1，－12，所求圆的半径r′＝1＋22＋－12＋32＝614. ∴过P，A，B三点的圆的方程为(x－1)2＋y＋122＝614. [答案] (x－1)2＋y＋122＝614 15．已知圆C：x2＋y2＋4x＋3＝0，若直线y＝kx－1上至少存在一点M，使得以M为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为________． [解析] 将圆C化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝1，则圆心C(－2,0)，半径r＝1，设点M(x0，kx0－1)，则存在x0∈R，使得0≤－2－x02＋－kx0＋12≤2成立，整理得(k2＋1)x20＋(4－2k)x0＋

1≤0，则Δ＝(4－2k)2－4(k2＋1)≥0，得k≤34，故实数k的取值范围

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2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：8 Word版含解析

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1 跟踪强化训练(八) 一、选择题 1．(2017·河南濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋1x＋1的定义域为( ) A.0，12 B.－∞，12

C．(－1,0)∪0，12 D．(－∞，－1)∪－1，12 [解析] 要使函数有意义，需满足 1－2x>0，x＋1≠0，解得x<12且x≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪－1，12. [答案] D 2．(2017·山东潍坊质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的是( ) A．y＝|log3x| B．y＝x3 C．y＝e|x| D．y＝cos|x| [解析] A中函数是非奇非偶函数，B中函数是奇函数，D中函数在(0,1)上单调递减，均不符合要求，只有C正确． [答案] C

3．(2017·湖北襄阳三模)已知函数f(x)＝ cosπx2，x≤0，fx－1＋1，x>0，则f(2)＝( ) A.12 B．－12 C．－3 D．3 2

[解析] 由题意，知f(2)＝f(1)＋1＝f(0)＋2＝cos0＋2＝3，故选D. [答案] D

4．(2017·太原阶段测评)函数y＝12x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( )

[解析] 因为y＝12x＋1的图象过点(0,2)，且在R上单调递减，所以该函数关于直线y＝x对称的图象恒过点(2,0)，且在定义域内单调递减，故选A. [答案] A 5．(2017·石家庄高三检测)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象的对称轴方程是( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 [解析] ∵f(2x＋1)是偶函数，∴f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，故选A. [答案] A 6．(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A．aC．b3

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：25 Word版含解析

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跟踪强化训练(二十五)一、选择题1．与圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( )A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上[解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．故选B.[答案] B2．(2017·重庆模拟)设A ，P 是椭圆x 22＋y 2＝1上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交x 轴于点M ，N ，则OM →·ON →＝( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2[解析] 依题意，将点P 特殊化为点(2，0)，于是点M ，N 均与点(2，0)重合，于是有OM →·ON →＝2，故选D.[答案] D3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)，而y 1－y 2x 1－x 2＝0－(－1)3－1＝12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9.故选D.[答案] D4．(2017·广东珠海模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)，所以它的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为直线l 的倾斜角为60°，所以直线l 的方程为y －0＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝3x －32p .设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x －3p2，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6，∴|AF |＝x 1＋p2＝2p ，|BF |＝x 2＋p 2＝2p 3，∴|AF |∶|BF |＝3∶1，∴|AF ||BF |的值为3.[答案] C5．(2017·河北石家庄二模)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4[解析] 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，又直线l 与两条渐近线交于A ，B 两点，故可设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，且|OA |＝2|x 1|，|OB |＝2|x 2|，∴AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22. 又点A ，B 的中点在双曲线x 2－y 2＝2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2⇒x 1x 2＝2. 显然△AOB 是直角三角形，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×2|x 1|·2|x 2|＝x 1x 2＝2.故选C. [答案] C6．(2017·南昌联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 21＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. [答案] D 二、填空题7．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．[解析] 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN ＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN ＝3.[答案] 38．(2017·郑州一模)如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．[解析] ∵△ABF 2为等边三角形，∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°.由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＝2a . 又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a .∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a . 在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos60°，∴(2c )2＝(4a )2＋(6a )2－2×4a ×6a ×12，整理得c 2＝7a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝7. [答案]79．(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．[解析] 解法一：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则y 20＝2px 0，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.根据题意，PM →＝2MF →，PM →＝(x －x 0，y －y 0)，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫p 2－x ，－y ，所以⎩⎨⎧x ＝x 0＋p 3，y ＝y3，所以k OM ＝y 0x 0＋p ＝y 0y 202p ＋p ＝1y 02p ＋p y 0≤1212＝22 (当且仅当y 20＝2p 2时，等号成立)． 解法二：如图，在x 轴上取点N (－p,0)，连接PN ，OM ， 则k PN ＝k OM .设P (x ，y )，则k OM ＝k PN ＝y －0x －(－p )＝y y 22p ＋p ＝2py y 2＋2p 2＝2p y ＋2p 2y ≤2p 22p 2＝22，当且仅当y 2＝2p 2时等号成立． [答案] 22 三、解答题10．(2017·唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设AB 的中点为D ，求|QD ||AB |的取值范围．[解] (1)由已知得，圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝23(1＋m 2)(3m 2＋4)， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14，故|QD ||AB |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12.11．(2017·宝鸡市高三质量检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．[解] (1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2的面积取得最大值，此时S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|OP |＝bc ，∴bc ＝43，因为e ＝12，所以b ＝23，a ＝4， 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)由(1)得，F 1的坐标为(－2,0)， 因为AC →·BD →＝0，所以AC ⊥BD ，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14.②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，设其方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2.|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24(k 2＋1)3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k (x ＋2)． 同理由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1可得|BD →|＝24(k 2＋1)4＋3k 2，|AC →|＋|BD →|＝24(k 2＋1)4＋3k 2＋24(k 2＋1)3＋4k2＝168(k 2＋1)2(4＋3k 2)(3＋4k 2)， 令t ＝k 2＋1，则|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t 2(t >1)， 因为t >1,0<t －1t 2≤14，所以|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14，综上，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.12．(2017·石家庄市一模)如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF ⊥NF ，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．(1)求△MFN 的面积的最小值； (2)证明：E ，O ，D 三点共线．[解] (1)解法一：如题图，设M (0，m )，N (0，n )， ∵MF ⊥NF ，∴m ·n ＝－1. ∵S △MFN ＝12|MF |·|FN |＝12 1＋m 2·1＋n 2. ＝12 1＋m 2＋n 2＋(mn )2 ＝122＋m 2＋n 2≥122＋2|mn |＝1.当且仅当|m |＝1，|n |＝1且mn ＝－1时等号成立． ∴△MFN 的面积的最小值为1.解法二：设M (0，m )，N (0，n )，∵MF ⊥NF ，∴m ·n ＝－1， ∵S △MFN ＝12|MN |·|OF |＝12|MN |，且|MN |2＝|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝m 2＋n 2＋2≥2|mn |＋2＝4，当且仅当|m |＝1，|n |＝1且mn ＝－1时等号成立，∴|MN |min ＝2，∴(S △MFN )min ＝12|MN |＝1. 故△MFN 的面积的最小值为1. (2)∵A (－2，0)，M (0，m )， ∴直线AM 的方程为y ＝m2x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝m2x ＋m ，x22＋y 2＝1，得(1＋m 2)x 2＋22m 2x ＋2(m 2－1)＝0，设E (x E ，y E )，D (x D ，y D )，由－2·x E ＝2(m 2－1)1＋m 2，得x E ＝－2(m 2－1)1＋m 2，①同理可得x D ＝－2(n 2－1)1＋n 2，∵m·n＝－1，∴x D＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－1m2－11＋⎝⎛⎭⎪⎫－1m2＝－2(1－m2)m2＋1.②由①②可知x E＝－x D，代入椭圆方程可得y2E＝y2D.∵MF⊥NF，∴N，M分别在x轴两侧，∴y E＝－y D，∴y Ex E＝y Dx D，故E，O，D三点共线．11。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：14Word版含解析

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则 cosA＝( )
3 10
10
10
3 10
A. 10 B. 10 C．－ 10 D．－ 10
[ 解析 ] 设△ ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由题意
可得
1 3a＝
csinπ4＝
2 2 c，则
32 a＝ 2 c.在△ ABC 中，由余弦定理可得
b2
＝ a2＋ c2－
2ac＝92c2＋ c2－ 3c2＝ 52c2，则
7sinα－ 2＝0，
解得 sinα＝－ 2(舍去 )或 sinα＝14，
15 又由 α为锐角，可得 cosα＝ 4 ，
∴ sin α＋π3 ＝21sinα＋ 23cosα＝1＋83 5，故选 A.
[ 答案 ] A
2．(2017 ·湖北武汉模拟 )在△ ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝π3，则
A 等于 ( )
由正弦定理得
AC sin60
＝°siAn4M5
，°因此
AM＝
200 3
2 m.
在Rt△MBiblioteka A中，AM＝
200 3
2 m，∠ MAN＝45°，得
200 MN＝ 3 m.
200 [ 答案 ] 3
三、解答题
10．(2017 ·天津卷 )在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为
a2－b2＝ 3bc，得 a＝ 7b，再由余弦定理可得 cosA＝ 23，所以 A＝π6.
故选 A.
[ 答案 ] A
6．(2017 ·福建漳州二模 )在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别
为
a，b， c，且
2ccosB＝2a＋b，若△ ABC
的面积为
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：32 Word版含解析

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跟踪强化训练(三十二)1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－ 32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设直线l 与曲线C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．[解] (1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －1)，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，得直线l 与曲线C 1的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，设点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ，从而点P 到直线l 的距离为d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64. 3．(2017·沧州二模)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝55cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.l 与C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (0，－2)，求|P A |＋|PB |的值．[解](1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝55cos α，y ＝sin α(α为参数)，普通方程为C ：5x 2＋y 2＝1；直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2，l ：y ＝x －2.(2)点P (0，－2)在l 上，l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－2＋22t(t 为参数)，代入5x 2＋y 2＝1整理得，3t 2－22t ＋3＝0，由题意可得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝223.4．(2017·陕西咸阳一模)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝－4cos θ.(1)求曲线C 1与C 2的交点的极坐标；(2)A ，B 两点分别为曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ，两式平方相加，得 x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－4y ＝0.① 由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＝－4x .②①－②得x ＋y ＝0，代入①得交点为(0,0)，(－2,2)．其极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4.(2)如图．由平面几何知识可知，A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，点O 到AB 的距离为 2.∴△OAB 的面积为S ＝12×(22＋4)×2＝2＋2 2.。