13.4 课题学习最短路径问题

课 题 13.4 课题学习 最短路径问题——将军饮马

教 材 分 析

本节课是在学生已经学习了“两点之间，线段最短”的基础上，以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体，借助轴对称，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。

教 学 目 标

知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题；感悟转化思想。

过程与方法：培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力；渗透数学建模思想。

情感、态度与价值观：通过有趣的问题提高学生学习数学的兴趣;体验数学学习的实用性。

教 学 背 景 分 析

教学重点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

教学难点 在实际题目中会运用“将军饮马”模型灵活解决问题。

学情分析 八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。

教学方法 探究式教学方法，辅以讲练结合，师生互动，引导学生获得自主、合作、探索的学习方式。

教前准备 几何画板

教 学 结 构 设 计

【活动一】问题引入

【活动二】解决问题

【活动三】“将军饮马”变式1

【活动四】“将军饮马”变式2

【活动五】课堂小结

【活动六】布置作业

教 学 活 动 设 计

教师活动

学生活动

设计意图

【活动一】问题引入

前几节课，我们学习了轴对称性质在等腰三角形中的应用,本节课，我们将继续探究轴对称性质的另一个实际应用——经典的“将军饮马问题”，请看视频。

【活动二】解决问题

问题1：你能把“将军饮马”这个问题抽象为数学问题吗?

问题2：注意观察，当饮马点C的位置改变时，你能确定使AC+CB最小的饮马点C的位置吗？

问题3：当点A、B在直线l的异侧时，你能在直线l上确定一点C，使线段AC与CB的和最小?

《课题学习：最短路径问题》教学设计

一、课程标准解读及地位作用

（1）课程标准解读：《课题学习：最短路径问题》属于综合与实践这一部分，这节课就是综合运用所学的数学思想、方法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，以实际生活中的问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是培养学生应用意识、创新意识、过程经验很重要的载体，通过课题学习能够把知识系统化，解决一些实际问题。针对问题情境，学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深学生对所学数学内容的理解。这种类型的课程应该“少而精”的原则，保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以将课内外结合.

（2）地位及作用：《课题学习：最短路径问题》位于人教版八年级上第十三章《轴对称》，为让学生能灵活的运用两点之间线段最短、合理使用轴对称、平移等解决最短路径问题而设置的一节课。本节课是在学习轴对称、等腰三角形的基础上，引导学生探究如何利用线段公理解决最短路径问题。它既是轴对称、平移、等腰三角形知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用．

二、教学内容和内容解析

1、内容：利用轴对称研究某些最短路径问题．

2、内容解析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等进行变换进行研究.

这节课我以数学史中的一个经典问题---将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问题，再利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题。基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.

1 课题学习 最短路径问题~将军饮马

一、内容和内容解析

1．内容

利用轴对称研究某些最短路径问题.

2．内容解析

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.

二、目标和目标解析

1.教学目标

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．

2. 教学目标解析

学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．

三、教学问题诊断分析

最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.

对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用.

教学时，教师可从“直线同侧的两点”过渡到“直线异侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可告诉学生，证明“最大”“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来

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课题：13.4课题学习 最短路径问题

教学内容 最短路径问题

教学

目标

知识与技能：

通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.

过程与方法：

让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法.

情感、态度与价值观：

在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系.

教学重点 应用所学知识解决最短路径问题.

教学难点 选择合理的方法解决问题.

教学方法 合作交流，讲练结合.

教学准备 多媒体课件，三角板.

教学过程设计 设计意图

教学过程 一、复习引入

(1)两点所连的线中, 最短.

(2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中,

最短.

我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所学知识选择最短路径.(揭示课题)

二、新知探究

问题1

首先我们来研究河边饮马问题.

(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短?

连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求.

【思考】 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决? 复习旧知，为新课学习提供理论依据.

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讨论交流.

(1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路径最短和哪些线段有关?

(2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上?

分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演.

幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称)