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概率论在数学分析中的几点应用

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- 1 - 概

摘要：概率论是从数量上研究随机现象的规律性科学，它在自然科学、技术科学、社会科学和管理科学中有着广泛的应用。它建立在数学分析的垒土之上，并且高于微积分，形成了独特的思维模式和解题方法。学科之间具有交互性，概率论的一些方法为数学分析解题提供了方面，使问题大大简化，起到了意想不到的作用。文章给出了概率论在分析当中的不等式证明、级数求和、极限、定理证明、积分、近似计算、等式证明几方面的应用。

关键词：概率论；数学分析；不等式；级数；积分；极限

Analysis of Probability Theory in Mathematical Some

Applications

Abstract: Probability theory is the number of random phenomena from the laws of science, it has a

wide range of applications in the natural sciences, technical sciences, social sciences and

management science. It builds on the mathematical analysis of soil above the base, and slightly

higher than the Points, forming a unique mode of thinking and problem-solving methods.

interaction between disciplines, some of the methods of probability theory provides a context for

the problem solving mathematical analysis, greatly simplify the problem, played an unexpected

role. Article gives the probability on the analysis of inequalities among, series summation, limit,

theorem proving, integration, approximation, several aspects of the application identity proof.

Keywords: Probability theory ; Mathematical Analysis; Inequality ; Series;Integral; Limit

引言：

数学分析是概率论的基础，反之，概率论又反作用于数学分析。概率论的思想并不是唯一用于解决本学科的问题，它在解决某些数学分析问题也具有突出的优点，体现了学科的交叉和相互应用。以下几点应用就可以说明：

1.不等式的证明

不等式的证明是数学分析中的重要问题，应用概率方法适当的引入随机变量

可以把问题简单化、清晰化，有的还赋予一定的几何意义。

定义1[1] 设)(xf为定义在区间,()IIR上的函数，若对I上的任意两点12,xx和任意实实数)1,0(，总有

)()1()())1((2121xxxxfff

则称)(xf为I上的凸函数，反之如果总有

)()1()())1((2121xxxxfff

- 2 - 则称)(xf为I上的凹函数。

引理1[4] 设ξ为随机变量，若)(xf为连续下凸函数，则有)())((EfEf;若)(xf为连续上凸函数，则有)())((EfEf。

例1.1求证：如果0ai，i=1,2,3…n,则有)(211naaann11nia

证明：建立模型，假设随机变量服从的分布为nPai1)(其中i=1,2,3…n

(1)若ai至少有一个为0，则结论显然成立

（2）若ai全部大于0，设()ln()(0)fxXX,则)(xf为下凸函数，由

定理1可得， 有)())((EfEf，即ln(()ln()EXEx1ln12()nnaaa11ln()nina

不等式两边同取以e为底的指数，命题得证。

例1.2詹森不等式

若)(xf为ba,上的凸函数，则对任意baxi,,i>0(i=1,2,3…n),nii1=1,有)(1iniixfnii1)(xif

证明：设离散型随机变量的分布为iixP)(,其中nii1=1,i=1,2,3…n,则 ))((Ef=)(1iniixf,)(Ef=nii1)(xif

由引理1得 )())((EfEf

所以 )(1iniixfnii1)(xif

注：取i=n1，并令,0xii=1,2,3…n,利用詹森不等式就可到例1.1的结论

并且这个式子的含义是：几何平均数小于等于算术平均数。

例1.3设,1,1,1,1dcba求证：

dcbadcba11111)11)(11)(11)(11(

- 3 - 分析:由于,1,1,1,1dcba,所以,110,110,110,110dcba若分别把dcba1,1,1,1分别试之为某个事件的概率，比如A、B、C、D，则要证不等式变为

)()()()(1)(1))((1))((1))((1(DPCPBPAPDPCPBPAP

即 )()()()(1)()()()(DPCPBPAPDPCPBPAP

看到上式我们可以联想到用独立不互斥事件和的加法公式解决问题

证明:设有四个口袋，甲袋中有a个球，其中有一个红球，乙袋中有b个球，其

中有红球，丙袋中有c个球，其中有一个红球，丙袋中有d个球，其中有一个红

球，从各个袋中抽一球，考察至少有一个红球出现的概率。

令Ai{从i袋中抽到红球}，i=甲、乙、丙、丁，显然A甲、A乙、A丙、A丁相互独立且有(()()()()PPPPPAAAAAAAA甲乙丙丁甲乙丙丁）

即 )()()()(AAAAPPPP丁丙乙甲）丁丙乙甲AAAAP(-1

=1()()()()PPPPAAAA甲乙丙丁

所以整理可得：dcbadcba11111)11)(11)(11)(11(

2.等式的证明

有些等式的证明计算出来比较麻烦，如果我们构造随机变量，利用概率的知识进行处理会起到柳暗花明又一村的效果。

例2.1证明：1+aAaaAaAAAaAaAAaA)1()1(12)()2)(1()1)((1

证明：构造概率模型如下:

设一口袋中有A个球，其中有a个白球，任意连续取球（不放回),求迟早取得白

球的概率

设第k次取到白球的总可能数 有利场合数

1 A a

2 )1(AA aaA)(

  

- 4 - 1aA aaAA)1()1( aaAaA12)1)((

因此第1aA次时必须取得白球，则有

1)1()1(12)()2)(1()1)(()1()(AaaAaaAAAAaaAaAAAaaAAa

将上式两端同时乘以aA，得

aAaaAaAAAaAaAAaA)1()1(12)()2)(1()1)((11

3.无穷级数求和

在数学分析中，我们有时遇到的级数求和问题无论用初等方法还是分析方法处理都比较困难，此时我就要学以致用、转换思路，试着用概率的方法去解，构造相应的模型。

例3.1已知级数列a1=221,a2=(1-221)321,ai=(1-221)(1-321(1-n21))1(21n,n>2,

试求S=1iia

解：构造如下的概率数学模型:一个口袋中装有一个红球和一个大小型号完全相

同的黄球，有放回的取两次，若两次取出的都是红球，就算成功，如果失败了，

就再放入一个大小型号相同的黄球，以此类推，直到成功为止，试求成功的概率。

分析，若第一次成功，则概率为221，

若第一次失败，第二次成功，则概率为(1-221)321，

若前两次都失败，第三次成功，则概率为(1-221)（1-321）421

让试验一直进行下去，则获得成功的概率为P=1iia，即所求结果

显然，从正面求概率结果很难得到，一般的正难则反，我们可以从反面入手

在每次试验中，失败的概率分别为

- 5 - 1-221，1-321，，1-n21，

则每次失败的概率

Plimn(1-221)(1-321)(1-n21)

=limn2222(13)(24)(2)(1)(1)(1)32nnnnnn

=limnnnn22)1(=21

因此，取得成功的概率为1-21=21

即 S=1iia=21

例3.2求12nn311n

解：构造随机变量服从P=32的几何分布

即 )(nP=32311n

则 DEE22=34349

又因为 2E=12nn32311n=3212nn311n

所以 12nn311n=29

4.韦尔斯特拉斯定理证明[15]

分析是概率的基础，反过来概率的知识又为数学分析当中某些定理的证明提供了方便。

设)(xf是定义在闭区间[a,b]上任一连续函数，则存在多项式)(xNn（n=1,2，

- 6 - ）于[a,b]上一致收敛于)(xf，

证明：不是一般性，我们在闭区间[0,1]上证明上述结论。

令 )(xNn=nknkf0)(Cknxk)1(xkn

显然有，)0(Nn=)0(f，)1()1(fNn。因此，当0x或者1x的收敛问题已经解决。现在考虑1,0(x时的情形。

由贝努里概型得：

设在每次试验中事件A发生的概率均为某一固定值)10(xx，n为n次试验中事件A发生的次数，则有}{kPn=Cknxk)1(xkn。因此

)]([nfEn=nknkf0)(Cknxk)1(xkn

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概率统计在经济中的应用

概率统计在经济中的应用

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概率统计在经济中的应用

作者：张轶凡

来源：《世纪之星·交流版》2015年第11期

[摘 要]高中数学在难度上有了一个相对比较大的提升，很多同学在学习上产生了一定的畏难情绪，觉得这些比较难的问题在生活中没有太大的用处。但是在“人人学有价值的数学”的前提基础下，我们高中数学除了为大学进阶学习做准备外。本文着重讨论了高中数学的概率统计在日常经济生活中的运用。其实，只要用心观察，就可以在生活中发现各种各样的数学问题。

[关键词]概率统计；随机变量；期望与方差

数学首先是一门很有意义，同时也很重要的科学。就其本身来说，数学具有很强的实践性和运用性。数学来源于生产、生活的实践，但又抽象于生活，同时无处不在的服务于生活。从实用上来讲，数学的方法和应用遍及到物理、化学、生物、工业工程等各个领域，甚至在经济等社会科学领域也有数学的影子。现代经济金融领域更是数量统计和数学精算的主战场。

那么，高中数学中初步涉及的概率与统计在，平时的经济生活中又有什么用处呢？

一、概率与统计

概率与数学统计已经独立作为数学的一个分支而存在，不断的被一代代的学者研究和发展。它是用于研究和解释随机现象的统计规律性的一门学科。数学统计是研究这一类规律性的现象的，这与另外一些必然科学截然不同。因为，概率统计的条件与结果之间并不存在必然的联系，即在同一情况下，可能会发生某一结果，也可能发生另一结果。这就要求研究者不仅要有精确的数学分析的同时还要具备一定的经济上的分析能力。

关于概率论的讨论，是由数学家帕斯卡和费马通过通信形式最先展开的。那时概率概率的明确概念还没有被提出，但他们的讨论中已涉及到早期古典概率的概念，最初概率与数学期望等基本概念的雏形、性质和相应的计算方法都在这样的讨论中逐步确定了下来。可见，概率与统计在当时以展现了它作为具有特定研究对象的独立学科的潜质。

概率论中几个有趣的例子

概率论中几个有趣的例子

概率论中几个有趣的例子

概率论中几个有趣的例子

转载】概率论中几个有趣的例子

[ 2021-6-3 13:06:00 | By: Byron ]

作者: ni1985 (妮子||从东方席地卷来一团野火), 原发新水木Mathematics

已经酝酿很长时间的本文终于出场了。

写本文的主要目的：1 很多人看了我前面大量的历史日志后，对我的数学水平产生了怀疑；2 有高中的校友师妹咨询关于大学数学学习的问题；3 概率论是数学中一个重要而美的分支，可惜多数同学尚没有机会看到其冰山一角。

本文的读者适用范围：最低标准是学过工科专业的高等数学和概率论，最高标准不清楚（也许水平比我高的人就不屑于读了）

当我跟皇上提到要写这篇文章的想法时，我提到：试图用比较短的篇幅让只要有初等概率论基础的人，也能看懂，从而对较深的概率论的研究对象和有趣的结论有一个初步的了解，激发其进一步深入学习概率论的兴趣。皇上说：那可不容易，相当于一个毕业设计了。我觉得，确实如此，本文是基本失败还是基本成功，还要看读者的评价。

要想引入本文的内容，首先从数学美的定义说起。关于数学美，我比较欣赏的有两种观点，一是Birkhoff 的观点，数学美=逻辑的复杂程度/表述的复杂程度；二是Von

Neumann的观点，数学的活力依赖于与它有联系的科学分支的多寡与分支的活力。也许做应用的人更喜欢后者，但我是比较喜欢前者的。因此，我下面的主要内容就是介绍一些概率论中的基本例子，这些例子的表述是相当简单的，但得到这些例子的手段却比较复杂。我将试图把每个例子表述清楚，让只要有初等概率论基础的读者就知道在说什么，但对得到这些结果的证明过程则一律省略，只简要提出涉及的基本工具，但其中有些比较简单的细节会给大家留为习题。这些例子一律来自伟大的Durrett 的著作：Probability theory

运用概率统计理论求极限

运用概率统计理论求极限

1 运用概率统计理论求极限

摘要：文章对槪率统计极限理论展开讨论，分析了利用概率统讣方法在极限求取问题时可取得比较 好的效果，分别用大数泄律、强大数泄律、中心极限左理、母函数理论进行极限的求取.另外，文 章还介绍了在数列极限求取中，建立概率随机模型的方法，并一一列举实例进行验证.

关键词：概率统计极限理论中心极限泄理 母函数强大数定律

Applying the theory of probability and statistics to the limit

Student majoring in mathematics and applied aathematics Su Zhaotong

Tutor Wang Shaofeng

Abstract： In this paper> the limit theory of probability and statistics discussion and analysis of the probability of

statistical methods used in mathematics to obtain the limit problem can be achieved relatively good results♦

respectively, the central limit theorem, and strong law of large numbers theory and generating functions limit the

strike, another, also introduced in the series, struck in the limit, the probability of stochastic model to establish the

method, and provide examples for authentication one by one・

数学中的常见结论总结与应用

数学中的常见结论总结与应用

数学中的常见结论总结与应用

数学作为一门应用广泛的学科，在各个领域都发挥着重要的作用。在学习数学的过程中，我们会遇到很多常见的结论，它们是数学中的基础知识，具有广泛的应用价值。本文将对数学中的常见结论进行总结，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、实数的基本性质

实数是我们研究数学问题的基石，它具有一些基本的性质，如交换律、结合律和分配律等。这些性质在数学运算中起着至关重要的作用。例如，在代数运算中，我们经常需要用到交换律和结合律来简化计算，从而提高计算效率。

二、三角函数的性质

三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。例如，正弦函数和余弦函数可以描述周期性的现象，如电流的变化曲线、天体运动等。而正切函数则可以描述斜率和角度之间的关系，被广泛应用于工程测量和建筑设计中。

三、不等式的性质与应用

不等式是数学中的重要工具，它们可以描述数量之间的大小关系。在实际问题中，我们经常需要使用不等式来解决优化问题、证明数学定理等。例如，柯西-施瓦茨不等式在向量空间中起着重要作用，它可以用来证明内积的性质和向量的正交性。 四、数列与级数的性质

数列与级数是数学中的重要概念，它们在数学分析、概率统计等领域中具有重要的应用。例如，调和级数在概率论中有着重要的地位，它可以用来描述事件发生的可能性。而等差数列和等比数列则在数学建模和财务分析中被广泛应用。

五、微积分的基本定理

微积分是数学中的一门重要学科，它是研究变化和极限的数学工具。在微积分中，我们常常使用的基本定理有牛顿-莱布尼茨公式、微分中值定理和积分中值定理等。这些定理在物理学、经济学等学科中有着广泛的应用。

六、矩阵与行列式的性质

矩阵与行列式是线性代数中的基础概念，它们在计算机科学、信号处理等领域中有着广泛的应用。例如，在图像处理中，我们经常会使用矩阵变换来实现图片的旋转、缩放等操作。而行列式则可以用来判断矩阵的可逆性和求解线性方程组。