2008年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含解答)

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（A卷）第1页（共9页） 2008年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准（A卷）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．函数254()2xxfxx在(,2)上的最小值是 （ C ）

A．0 B．1 C．2 D．3

[解] 当2x时，20x，因此21(44)1()(2)22xxfxxxx12(2)2xx

2，当且仅当122xx时上式取等号．而此方程有解1(,2)x，因此()fx在(,2)上的最小值为2．

2．设[2,4)A，2{40}Bxxax，若BA，则实数a的取值范围为 （ D ）

A．[1,2) B．[1,2] C．[0,3] D．[0,3)

[解] 因240xax有两个实根

21424aax，22424aax，

故BA等价于12x且24x，即

24224aa且24424aa，

解之得03a．

3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为 （ B ）

A. 24181 B. 26681 C. 27481 D. 670243

[解法一] 依题意知，的所有可能值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（A卷）第2页（共9页） 22215()()339．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有

5(2)9P，

4520(4)()()9981P，

2416(6)()981P，

故520162662469818181E．

[解法二] 依题意知，的所有可能值为2，4，6.

令kA表示甲在第k局比赛中获胜，则kA表示乙在第k局比赛中获胜．

由独立性与互不相容性得

12125(2)()()9PPAAPAA，

1234123412341234(4)()()()()PPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA

332112202[()()()()]333381，

1234123412341234(6)()()()()PPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA

2221164()()3381，

故520162662469818181E．

4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）

A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3

C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3

[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,abc，则有2226564abc，22294abc，不妨设110abc，从而2222394cabc，231c．故610c．c只能取9，8，7，6．

若9c，则22294913ab，易知2a，3b，得一组解(,,)(2,3,9)abc．

若8c，则22946430ab，5b．但2230b，4b，从而4b或5．若5b，则25a无解，若4b，则214a无解．此时无解． 2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（A卷）第3页（共9页） 若7c，则22944945ab，有唯一解3a，6b．

若6c，则22943658ab，此时222258bab，229b．故6b，但6bc，故6b，此时2583622a无解．

综上，共有两组解2,3,9abc或3,6,7.abc

体积为3331239764Vcm3或3332367586Vcm3．

5．方程组0,0,0xyzxyzzxyyzxzy的有理数解(,,)xyz的个数为 （ B ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

[解] 若0z，则00.xyxyy，解得00xy，或11.xy，

若0z，则由0xyzz得1xy． ①

由0xyz得zxy． ②

将②代入0xyyzxzy得220xyxyy． ③

由①得1xy，代入③化简得3(1)(1)0yyy.

易知310yy无有理数根，故1y，由①得1x，由②得0z，与0z矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0xyz或1,1,0.xyz

6．设ABC的内角ABC,,所对的边,,abc成等比数列，则sincotcossincotcosACABCB的取值范围是

（ C ）

A. (0,) B. 51(0,)2

C. 5151(,)22 D. 51(,)2

[解] 设,,abc的公比为q，则2,baqcaq，而

sincotcossincoscossinsincotcossincoscossinACAACACBCBBCBC

sin()sin()sinsin()sin()sinACBBbqBCAAa．

因此，只需求q的取值范围． 2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（A卷）第4页（共9页） 因,,abc成等比数列，最大边只能是a或c，因此,,abc要构成三角形的三边，必需且只需abc且bca．即有不等式组

22,aaqaqaqaqa即2210,10.qqqq

解得1551,225151.22qqq或

从而515122q，因此所求的取值范围是5151(,)22．

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．设()fxaxb，其中,ab为实数，1()()fxfx，1()(())nnfxffx，1,2,3,n，若7()128381fxx，则ab 5 .

[解] 由题意知12()(1)nnnnfxaxaaab

11nnaaxba，

由7()128381fxx得7128a，713811aba，因此2a，3b，5ab．

8．设()cos22(1cos)fxxax的最小值为12，则a23．

[解] 2()2cos122cosfxxaax

2212(cos)2122axaa，

(1) 2a时，()fx当cos1x时取最小值14a；

(2) 2a时，()fx当cos1x时取最小值1；

(3) 22a时，()fx当cos2ax时取最小值21212aa．

又2a或2a时，()fx的最小值不能为12，

故2112122aa，解得23a，23a(舍去)．

9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．

[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如

|||| 2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案（A卷）第5页（共9页） 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．

若把每个“”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．

“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C253种．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,xxx，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程

12324xxx．

的正整数解的个数，即方程12321xxx的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：

2121232323HCC253．

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．

综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．

10．设数列{}na的前n项和nS满足：1(1)nnnSann，1,2,n，则通项na=112(1)nnn．

[解] 1111(1)(2)(1)nnnnnnnaSSaannnn，

即 2nnannnnnna)1(111)2)(1(221

=)1(1)2)(1(2nnannn，

由此得 2)1(1))2)(1(1(1nnannann．

令1(1)nnbann，111122ba (10a)，