【VIP专享】7_离散时间系统的时域分析

第七章 离散时间系统的时域分析

§7-1 概述

一、离散时间信号与离散时间系统

离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的

信号。

离散时间系统：处理离散时间信号的系统。

混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连

续时间信号的系统。

二、连续信号与离散信号

连续信号可以转换成离散信号，从而可以用

离散时间系统（或数字信号处理系统）进行

处理：

三、离散信号的表示方法： 连续信号

离散信号

数字信号取样

量化 1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k为序号，

相当于时间。

例如：)1.0sin()(kkf=

2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序

排列起来。例如：

f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}

时间函数可以表达任意长（可能是无限长）

的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在

很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简

单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。

四、典型的离散时间信号

1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(kkδ

下图表示了)(nk−δ的波形。

这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(tδ相似，也有着与其相似的性质。例如： )()0()()(kfkkfδδ=， )()()()(000kkkfkkkf−=−δδ。

2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(kkε

这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(tε相似。用它可以产生（或表示）单边信号

（这里称为单边序列）。

3、 单边指数序列：)(kakε

比较：单边连续指数信号：)()()(tetetaatεε=，其底一定大于零，不会出现负数。 (a) 0.9a= (d) 0.9a=− (b) 1a= (e) 1a=− (c) 1.1a= (f) 1.1a=− 4、 单边正弦序列：)()cos(0kkAεφω+

双边正弦序列：)cos(0φω+kA

五、离散信号的运算

1、 加法：)()()(21kfkfkf+=<—相同的k对应的数相加。

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第7章离散时间系统的时域分析[视频讲解]

7.1本章要点详解

本章要点

■离散时间信号——序列

■离散时间系统的数学模型——差分方程

■离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应

■卷积（卷积和）■解卷积（反卷积）

重难点导学

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一、离散时间信号——序列1．离散信号的表示方法

（1）数字序列表示法，如；

（2）函数表示法，适用于有规则的函数，如；

（3）波形表示法，用线段的长短表示各序列值的大小。2．离散信号的运算（1）加法

（2）乘法（3）移位右移位与左移位分别为

（4）反褶（5）差分

前向与后向差分分别为

（6）累加

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（7）尺度压缩、扩展（8）序列的能量3．常用离散信号

（1）单位样值信号①表达式或②时移性③抽样性④利用单位样值信号表示任意序列

（2）单位阶跃序列：或；

（3）矩形序列：或

；

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（4）斜变序列：；

（5）单边指数序列：；（6）正弦序列

①表达式②正弦序列周期性的判别a．是正整数，若则正弦序列是周期的。b．为有理数，

仍为周期的，周期。c．为无理数，为非周期的。③数字角频率（离散域的频率）的取值

数字频率可以连续变化，且。④离散信号与连续信号的关系与区别

a．关系

离散点nT上的正弦值

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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书令，则离散正弦信号为b．区别

的单位为弧度/秒，是连续域的正弦频率；的单位为弧度，是离散域的频率（正弦序列频率）,。

（7）复指数序列①表达式②复序列用极坐标表示其中，。

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7-3 离散系统时域分析的经典法

一、差分方程的经典解

1．齐次差分方程

一般而言，对于一个单输入单输出的n阶线性时不变离散时间系统，若激励为f(k)，响应为y(k)，则该系统的数学模型是n阶常系数差分方程，其形式为

)()1()()()1()1()(01011mkfbkfbkfbnkyankyakyakyammnn （7 – 22）

若f(k)及其各移序项均为零，则方程为

0)()1()1()(011nkyankyakyakyann （7 – 23）

称之为齐次差分方程。对于该n阶齐次差分方程，其对应的特征方程为

00111＝aaaannnn (7-24)

它将有n个根i(i=1,2,…,n)，称为差分方程的特征根。根据特征根的特点，齐次差分方程的解有两种类型：

（1）特征根均为单根。若n个特征根互不相同，则齐次差分方程解的形式为

knnknnkkCCCCky112211)( （7 – 25）

式中，待定常数iC(i=1,2,…,n)由初始条件确定。

（2）特征根有重根。若1是特征方程的r重根，即有r21，而其余n-r个根均为单根，则齐次差分方程解的形式为 nrjkjjkrrCkCkCkCCky1112321)()( （7 – 26）

式中，待定常数iC(i=1,2,…,n)由初始条件确定。

例7-9 差分方程为4)1(,1)0(,0)2(6)1(5)(yykykyky。求y(k)。

解 该差分方程的特征方程为

第六章 离散时间系统的时域分析

6.1离散时间信号—序列

（一）序列运算

[1] 相加

znxnyn

[2] 相乘

znxnyn

[3] 延时

znxnm

[4] 反褶

znxn

[5] 前向差分

1xnxnxn

[6] 后向差分

1xnxnxn

[7] 累加

NKznxK

[8] 倍乘

序列的尺度倍乘将波形压缩或拓展，若将自变量n乘以正整数a，构成xan为压缩，而nxa则为波形扩展。必须注意，这时要按规律去除某些点或者补足相应的零值。因此，也称这种运算为序列的“重排”。

(二)常见序列

1. 单位样值信号

1000nnn

2. 单位阶跃序列

1000nunn

3. 矩形序列

10100,NnNRnnnN

4. 斜变序列

xnnun

5. 指数序列

nxnaun

6. 正余弦序列

0sinxnn

0cosxnn

7. 复指数序列

0j00cosjsinnxnenn

6.2离散时间系统的数学模型

（一）三种方框图

在时间域描述中，以符号1E表示单位延时（也可用符号“T”或者符号“D”表示单位延时）；以符号表示两个序列相加；以符号表示序列与系数相乘。三种运算的方框图如下：

单位延时

相加

乘系数

例 一个离散时间系统如下图所示，写出描述系统工作的差分方程。

解 延时器的输入端应为序列1yn。

于是，围绕相加器可以写出

1ynaynxn

或者

11ynynxna

1yn yn 1E

 xn

yn xnyn

a yn ayn