多元表征理论对题组设计的优化

多元表征理论对题组设计的优化　周　洁　（江苏省江阴市长泾实验，Ｊ、学，２１４４１１）　摘要：数学本身的特征决定了数学的表现形式是丰富多样　的，我们可以运用文本、图形、符号、模型、实验等，从多个角度表征　数学信息。不同的表征形式，在不同的场合既相互补充、相互印证，　又相互表示，能帮助学生比较全面地把握数学学习对象的本质与非　本质属性。在多元表征理论下，运用丰富多彩的数学表征形式来设　计题组，能够让相似型题组“不再混乱”，让递进型题组“本质凸显”，　让对比型题组“意义鲜明”。　关键词：多元表征题组设计优化　“表征”是一个心理学名词，是指外部事　物在心理活动中的内部再现，因此，它一方面　反映客观事物、代表客观事物，另一方面又是　心理活动进一步加工的对象。有研究表明，　数学问题的表征方式，会影响学生的解题。　数学本身的特征决定了数学的表现形式是丰　富多样的，我们可以运用文本、图形、符号、模　型、实验等，从多个角度表征数学信息。在表　征的过程中，每一种方式的单独表征只是反　映问题的部分信息，而多种方式的共同表征　则是丰富的、互补的。不同的表征形式，在不　同的场合既相互补充、相互印证，又相互表　示，能帮助学生比较全面地把握数学学习对　象的本质与非本质属性。　在数学学习中，我们常常会设计一些题　组，如相似型题组、递进型题组、同解型题组、　对比型题组等，来帮助学生沟通知识之间的　联系，构建全面、完整的知识结构体系。在多　元表征理论下，运用丰富多彩的数学表征形　式来设计题组，能够让题组的功效最大化。　一、让相似型题组“不再混乱”　相似型题组训练最大的优势就是“异”与　“同”的对比：在相似中找到不相似，通过对比　辨析，使问题逐步明朗，思维得到训练。　学习了苏教版小学数学六年级上册《圆　柱和圆锥》这一单元的知识后，我给学生设计　了一个关于圆柱切割的题组：　１．将一个长２米的圆柱平均切成三个小　２０１５年第８期　

教育研究与评论・小学教育教学　圆柱后。表面积增加了４００平方厘米，则原来　圆柱的体积是多少立方厘米？　２．将一个长２米的圆柱沿底面直径切成　两个半圆柱后，表面积增加了４００平方厘米，　则原来圆柱的体积是多少立方厘米？　３．将一个长２米的圆柱切拼成一个近似　的长方体后，表面积增加了４００平方厘米，则　原来圆柱的体积是多少立方厘米？　这是一个相似型题组，三个题中设计的　圆柱的长都是２米，被切割后表面积都增加　了４００平方厘米，不同的是圆柱的切割方式，　即分别切成小圆柱、半圆柱、近似长方体。切　割后所增加的表面积的实质不同，所以解决　问题的方法也不同——这是解决问题的关　键，要求学生能准确地判断这三种切割方法　的不同，并选择相应的知识来解答。　在学生练习的过程中，我发现，这三道题　单独来看难度就是较高的，组成题组后难度　似乎更大了——很多学生受题组相似性的影　响，思维产生了混乱。但这三道题组成题组　又确实有其优越性：三种不同切割方式的对　比和辨析乃至碰撞，既能完善学生的知识结　构，又能发展学生思维的深刻性和敏捷性。　仔细思考，学生产生思维混乱的根本，还在于　对三种不同切割方式的理解不到位。于是，　结合多元表征理论，我对这个题组进行了改　进，除了原先的文字表征，又加上了图形表　征，即用两种表征方式同时呈现题组：　１．将一个长２米的圆柱平均切成三个小　圆柱后（如图１），表面积增加了４００平方厘　米，则原来圆柱的体积是多少立方厘米？　２．将一个长２米的圆柱沿底面直径切成　两个半圆柱后（如图２），表面积增加了４００平　方厘米，则原来圆柱的体积是多少立方厘米？　３．将一个长２米的圆柱切拼成一个近似　的长方体后（如图３），表面积增加了４００平方　厘米，则原来圆柱的体积是多少立方厘米？　

２　图ｌ　图２　图３　数与形是数学中两个最基本也最古老的　研究对象，数形结合是数学中最基本的研究　方法之一，也是数学中最常见、运用最广泛的　多元表征方法之一。在上面这个题组中，结　合图形，圆柱体的三种切割方式显得更加直　观具体，促进了学生对切割后所增加的表面　积的本质的理解：图１中增加的是圆柱的４　个底面积，图２中增加的是２个底面直径乘　高的长方形面积，图３中增加的是２个底面　半径乘高的长方形面积。　二、让递进型题组“本质凸显”　递进型题组，是指一组由简单到复杂的　问题组成的题组，旨在透过表面现象的变化　发现内在本质的相同之处。通过变发现不　变，是一种归纳性思维。　学习了苏教版小学数学六年级上册《分　数除法》这一单元的知识后，我给学生设计了　一个关于按比例分配的题组：　教育研究与评论・小学教育教学　２０１５年第８期　一

萱　麓　１．六（１）班共为希望小学捐款１１２０元，　男生与女生捐款的比是３：４，则男、女生各捐　款多少元？　２．将一批树苗平均分给六（１）、六（２）班　栽种，每班分得１２０棵。如果按７：５分配，　则六（１）、六（２）班各应栽多少棵？　３．用一根长４８厘米的铁丝围成一个长　方形，使长和宽的比是５：３，则这个长方形的　面积是多少？　４．已知一个等腰三角形两条边长的比是　２：４，周长是２８厘米，那么它的三条边长分　别是多少厘米？（答案取整数）　按比例分配的问题是比较容易的，因此，　学生往往会轻视它。其实，按比例分配问题　的变式还是很多的，主要是总量与所给比不　对应。设计这个递进型题组，通过对应与不　对应的变化，意在强调两点：其一，只有当总　量与比对应时才能直接分配；其二，当总量与　比不对应时一定要先让它们对应起来，而对　应的方法可以是调整总量，也可以是调整比。　从训练结果来看，学生的小错误很多，而　对问题理解得片面，即对总量与份数的对应没　有深刻的体会是主要原因。为此，我对这个题　组进行了调整，加上了符号表征、模型表征：　１．六（１）班共为希望小学捐款１１２０元，　男生与女生捐款的比是３：４，则男、女生各捐　款多少元？　２．将一批树苗平均分给六（１）、六（２）班　栽种，每班分得１２０棵。如果按７：５分配，　则六（１）、六（２）班各应栽多少棵？（借助图４　思考）　ｌ２Ｏ棵　ｌ２Ｏ棵　Ｖ　按７：５分配　图４　３．图５是用一根长４８厘米的铁丝围成　的一个长方形，则这个长方形的面积是多少？　图５　４．如图６，一个等腰三角形两条边长的比　是２：４，周长是２８厘米，那么它的三条边长　分别是多少厘米？（先在图中填写份数，再解　答；答案取整数）　（　）份　图６　５．两杯重量相等的糖水，第一杯中糖与　水的比是２：３，第二杯中糖与水的比是３：　５。如果将两杯糖水混合，求杯中糖与水　的比。　第２题在原题的基础上配上了符号表　征，明确了７：５对应的总量是２个１２０棵，引　导学生初步树立了对应的数学思想。第３题　将原题中“长与宽的比是５：３”这个条件改成　了图形表征，将原来学生容易忽视的“长方形　有两条长、两条宽”的特征直观显现了出来，　打破了学生看到周长和５：３就直接分配的　思维定势；同时，强调了４８厘米与两个５：３　的对应，或是２４厘米与５：３的对应，使学生　进一步感受了对应的思想。第４题在原题的　基础上加上了模型表征，通过填写等腰三角　形三条边的份数，来明确题中２：４的含义：　结合等腰三角形三条边的关系，２：４的实际　含义是２：４：４，因此与２８厘米对应的比是　２：４：４。第５题是新增加的，它又回到了单　一的文字表征，期望通过前４题的引领与感　２０１５年第８期

教育研究与评论・小学教育教学　受，让学生自主地用多元表征来展现问题，从　而找到解决问题的关键所在：两杯糖水重量　相等，但每一杯被分的份数不同，那就必须统　一；５和８的最小公倍数是４０，因此第一杯中　糖与水的比是１６：２４，第二杯中糖与水的比　是１５：２５，从而新糖水中糖与水的比是３１：　４９。在前四题的引导下，部分学生已经能够　通过头脑中思维的内部表征直接解题，还有　部分学生则会结合图形、符号等表征方式解　决问题。在最后分析的过程中，教师结合图　形表征、符号表征、模型表征等对题组加以对　比辨析，使学生明确了按比例分配问题的实　质——对应。　三、让对比型题组“意义鲜明”　教学苏教版小学数学五年级上册《负数的　初步认识》这一单元的知识时，我发现：学生对　负数的理解比较空泛，他们往往认为负数就是　在正数前面加上一个负号，而不能形成相关联　的、有意义的认知；有些学生甚至无法理解负　数，觉得小于０的数是不存在的。为了帮助学　生理解负数的真正意义，我运用不同的表征方　式，设计了下面这个对比型题组：　１．表示与５相反意义的数是（　）。　２．李老师向南走１２０米记作“＋１２０米”，　那么“－－５０米”表示的是（　）。　３．在数轴上填数：　一　占占一　一　ｏ　古　古　４．回答问题：　（１）一２接近２，还是接近Ｏ？　（２）一３和４谁更接近Ｏ？　（３）一２和５相差几？　（４）比一４多６的数是几？　这个题组中的各小题采用了不同的表征　方式，看似毫无关系，却蕴含着同一种数学思　想。第１题是文字表征，让学生明确正、负数　可以用来表示相反的意义；第２题采用符号　表征，让学生在具体的生活情境中进一步明　确正、负数可以表示的相反意义；第３题则运　用图形表征，通过在数轴上填数使学生对正、　负数的理解更进一步，同时形象地理解负数　的大小；第４题属于文字表征，让学生结合第　３题数轴的图形表征，对正数与负数进行大小　的比较，从而具体地理解负数的大小，既从本　质上理解负数，也为后续学习负数的相关知　识垫定基础。由此，学生可以采用适合自己　的表征方式来理解负数的真正意义，打破“负　数就是在正数前面加上一个负号”这样的思　维局限。　需要一提的是，多元表征学习虽然比单　一表征学习具有优越性，但设计不良或是不　恰当的多元表征学习也可能造成学习者认知　过载，影响学习的效率。因此，在运用多元表　征理论设计题组时，必须遵循其基本原则，使　题组的优势得以充分显现。　参考文献：　［１］唐剑岚．数学多元表征学习与教学［Ｍ］．　南京：南京师范大学出版社，２００９　Ｅ２３郑毓信．多元表征理论与概念教学［Ｊ］．小　学数学教育，２０１１（２～４）　［３］王兄．论数学表征系统［Ｊ］．数学教育学　报，２００８（３）　Ｅ４３吕程，周莹，唐剑岚．多元表征：探寻数学智　慧课堂的一把密钥口］．教育与教学研究，２０１２（６）　

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