数字信号处理实验报告
黎美琪201300800610 通信工程2班实验名称：零极点位置对传输函数稳定性的影响
一、实验目的
1.掌握零极点位置对传输函数稳定性的影响
2.学习确定传输函数零极点的方法
3.掌握判断系统函数稳定性的方法
二、实验条件
Pc机、MATLAB 2013a
三、实验内容
画出所给例题的零极点、频率响应、单位脉冲响应、阶跃响应的图形，分析零极点位置对其产生的影响。
1.零点位置固定（无零点），极点位置改变
a.H(z)=z^(-2)/(1+0.2*z^(-1)+0.01*z^(-2))
极点：-0.1，-0.1 极点幅度：0.1，0.1
b.H(z)=z^(-2)/(1+0.6*z^(-1)+0.13*z^(-2))
极点：-0.3±j0.2 极点幅度：0.3606，0.3606
c.H(z)=z^(-2)/(1-1.2*z^(-1)+0.36*z^(-2))
极点：0.6，0.6 极点幅度：0.6，0.6
d.H(z)=z^(-2)/(1-1*z^(-1)+0.5*z^(-2))
极点：-0.5±j0.5 极点幅度：0.7071，0.7071
e.H(z)=z^(-2)/(1-1.15*z^(-1)+0.28*z^(-2))
极点：0.35，0.8 极点幅度：0.35，0.8
f.H(z)=z^(-2)/(1+1.7*z^(-1)+0.7625*z^(-2))
极点：-0.85±j0.2 极点幅度：0.8732，0.8732
g.H(z)=z^(-2)/(1+1.8*z^(-1)+0.81*z^(-2))
极点：-0.9，-0.9 极点幅度：0.9，0.9
h.H(z)=z^(-2)/(1-1.6*z^(-1)+0.9425*z^(-2))
极点：0.8±j0.55 极点幅度：0.9708，0.9708
1.将上述传输函数化为标准式后易得其分子、分母的系数向量（z阶数从高到低）：B=[0 0 1] A=[1 0.2 0.01]
B=[0 0 1] A=[1 0.6 0.13]
B=[0 0 1] A=[1 -1.2 0.36]
B=[0 0 1] A=[1 -1 0.5]
B=[0 0 1] A=[1 -1.15 0.28]
B=[0 0 1] A=[1 1.7 0.7625]
B=[0 0 1] A=[1 1.8 0.81]
B=[0 0 1] A=[1 -1.6 0.9425]
2.在主页面框中输入fdatool，进入滤波器设计及分析的工具界面，将Filter Structure设置为Direct-Form II，将所得的系数向量分别填入Numerator（分子）和Denominator（分母），点击相关工具栏图标得到所需要的图像如下：
3.分析图像
负指数使得求零极点很困难，如果传输函数表示成标准式，则容易计算。然而，计算零极点，并不一定要标准式，它只是使求根过程更加直接。
极点是传输函数分母为零时z的取值。零点是传输函数分子为零时z的取值。两者中，极点对数字滤波器特性影响最大。零点用来调整极点所引起的滤波特性，调整的大小取决于它与极点的相对位置。若极点位于左半平面，则脉冲响应正负交替；若极点均位于单位圆内，则脉冲响应趋于零，且极点越接近原点，脉冲响应达到零值所需的点数越少，即越快达到稳定。在极点向原点移动的过程中，频率响应达到零值所需的采样点数，即极点越靠近单位圆圆心，输出稳定越快。当极点位于左半平面时，频率响应的值正负交替，而在右半平面时则不存在此现
象。（注意：有时极点虽在左半平面，但频率响应并非严格正负交替。这是因为采样频率不够大，没有恰好取到正负交替的点，而接连取到两个正值或负值，从而出现此现象。）
2.极点位置固定（0.8±j0.55）,零点位置改变
a.H(z)=1/(1-1.6*z^(-1)+0.9425*z^(-2))
零点：0,0
.H(z)=(1-0.3z^(-1))/(1-1.6*z^(-1)+0.9425*z^(-2))
零点：0,0.3
c.H(z)=(1-0.8z^(-1))/(1-1.6*z^(-1)+0.9425*z^(-2))
零点：0,0.8
d.H(z)=(1-1.6z^(-1)+0.8*z^(-2))/(1-1.6*z^(-1)+0.9425*z^(-2))
零点：0.8±j0.4
1.化为标准式得系数向量
B=1 0 0 A= 1 -1.6 0.9425
B=1 -0.3 0 A= 1 -1.6 0.9425
B=1 -0.8 0 A= 1 -1.6 0.9425
B=1 -1.6 0.8 A= 1 -1.6 0.9425
2.画图
3.分析
极点是传输函数分母为零时z的取值。零点是传输函数分子为零时z的取值。两者中，极点对数字滤波器特性影响最大。零点用来调整极点所引起的滤波特性，调整的大小取决于它与极点的相对位置。零点越靠近极点，其对系统的影响越大，即脉冲响应的幅度减小，而远离极点时，其影响可以忽略。当零极点之间的距离逐渐减小时，频率脉冲响应的幅度减小。
补充：极点不在单位圆内时的情况
对照上面已有的图形易发现，如果滤波器的所有极点都在单位圆中，则滤波器的稳定的，若极点在单位圆外，则滤波器是不稳定的（从其响应趋于无穷大可以看出）。
3.传输函数的频率响应三维表示
二维到三维转换的理论依据：脉冲响应的Z变换即为传输函数，再令Z=exp(j*Ω)，那么就可以得到传输函数在单位圆上的取值构成该系统频率响应。
实现频率响应三维表示的代码如下：
%频率响应的三维显示
t=-8:0.02:8;
x=cos(pi/2*t);
y=sin(pi/2*t);
z=x+1i.*y; %z在单位圆上取值
H=(1+0.8.*z)./(1+0.2.*z); %自己设置的传输函数
stem3(x,y,abs(H)); %绘制三维幅度响应
图形显示如下：
