2-3高阶导数 北京航空航天大学高等数学期末模考复习

2022-2023学年北京市高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等差数列中，若，，则（ ）{}n a 11a =2410a a +=20a =A ．38B ．39C ．40D ．41【答案】B 【分析】根据，求出，然后用公式计算即可.1241,10a a a =+=d 【详解】在等数列中，，{}n a 1241,10a a a =+=所以，1242410a d d +=+=解得，2d =所以，2011939a a d =+=故选：B.2．已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 221n S n n =-+3a =A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】根据计算可得.332a S S =-【详解】解：因为数列的前项和，{}n a n 221n S n n =-+所以.()()23232323122213a S S =--⨯+--⨯+==故选：B 3．已知数列是首项为的等比数列，且公比大于，，则的通项公式（ ）{}n b 203212b b -={}n b A ．B ．C ．D ．2nn b =23nn b =⨯123n n b -=⨯126n n b -=⨯【答案】C【分析】设公比为，由得到方程，求出，即可得解.q 3212b b -=q 【详解】解：设公比为，由，所以，解得或，q 3212b b -=22212q q -=3q =2q =-又公比大于，所以，03q =所以.123n n b -=⨯4．已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）2221(0)x y a a -=>22430x y y +-+==a A ．3BCD ．13【答案】C【分析】求出圆的圆心和半径，由于圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于半径，列方程可求出的值a 【详解】解：由，得，所以圆心为，半径为1，22430x y y +-+=22(2)1x y +-=(0,2)双曲线的渐近线方程为，2221(0)x y a a -=>x y a =±因为双曲线的渐近线与圆相切，2221(0)x y a a -=>22430x y y +-+=，化简得，解得（舍去），1=231a =a =a =故选：C5．设为等比数列的前n 项和，，则（ ）n S {}n a 2580a a +=52S S =A ．B ．C ．D ．911-313313-【答案】A【分析】根据等比数列的性质可得，进而求得公比，由前项和公式即可求解.35288a q a =-⇒=-n 【详解】设等比数列的公比为{}n a ,q 由得：，故，2580a a +=35288a q a =-⇒=-2q =-故，()()52151112,1112S a S a a --=-==--所以.5211S S =-故选：A 6．已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则当______，有最大{}n a n S 16a =312S a =n =n SA ．3B ．4C ．3或4D ．4或5【答案】C【分析】设为等差数列的公差为.利用基本量代换求出，结合二次函数的性质即可求得.{}n a d 2d =-【详解】设为等差数列的公差为.{}n a d 因为，，16a =312S a =所以，解得：.36312d ⨯+=2d =-所以.()()216272n S n n n n n -=+⨯-=-结合二次函数的性质可得：当或时，有最大值12.3n =4n =n S 故选：C7．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F P 32x a =是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）21F PF 30︒C AB ．CD ．1234【答案】D【分析】由是底角为的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率．21F PF 30︒212PF F F =,a c 【详解】解：由题意可得，，如图，，则，212PF F F =2(,0)F c 121230PF F F PF ∠=∠=︒260PF E ∠=︒，230F PE ∠=︒所以，223222PF EF a c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，∴，∴．3222ac c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34a c =34e =故选：D ．8．设数列的前n 项和为，且，则（ ）{}n a n S ()111,2,3,2n n n a a n ++== 2n S =A ．B ．C ．D ．121132n +⎛⎫- ⎪⎝⎭112n-21134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭41134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用并项求和和等比数列的求和公式进行求解即可【详解】因为数列的前n 项和为，，{}n a n S ()111,2,3,2n n n a a n ++== 所以()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++ 1321111222n -=+++ 1112421113414nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭-=故选：C9．如果数列满足（k 为常数），那么数列叫做等比差数列，k 叫做公比{}n a 211n n n na a ka a +++-={}n a 差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）①若数列满足，则该数列是等比差数列；{}n a 12n na na +=②数列是等比差数列；{}2nn ⋅③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列211n n n na a ka a +++-=k 即可可得到答案.【详解】①数列满足，则，{}n a 12n na na +=2112(1)22n n n na a n n a a +++-=+-=满足等比差数列的定义，故①正确；②数列，{2}nn ⋅+212111(2)2(1)2(1)22n n n n n nn n a a a a n n n n +++++-=+⋅+⋅-+⋅⋅，2(2)2(1)22(1)(1)n n n n n n n ⋅+⋅-+⋅==-⋅+⋅+不满足等比差数列的定义，故②错误；③设等比数列的公比为，则，q 211n n n na a a a q q +++-==-满足等比差数列，故③正确；④设等差数列的公差为，d 则，22112()n n n n n n n n n n a a a a a d a d d a d a a a d +++-++-=-=++故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；0d =211n n n na a a a +++-=故答案为：①③④故选：B.10．已知抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为4，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且，过点A 作直线PF 的垂线，垂足为H ，则的最小值为（ ）6AF =PH PF⋅A．16B ．6C ．D ．【答案】A【分析】先求出抛物线标准方程，得到焦点，准线和，设出，()2,0F :2l x =-(4,A ()2,P t -利用向量法表示出，结合二次函数求最值.PH PF⋅【详解】不妨设抛物线C 的焦点，由抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为4，可得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以抛物线，焦点，准线.4p =2:8C y x =()2,0F :2l x =-因为点A 在抛物线C 上，且，所以，所以，所以，6AF =62A p x +=26Ax +=4A x =所以不妨取.A y =±(4,A 点P 是直线l 上的动点, 不妨取.()2,P t -所以.()()6,,4,PA t PF t ==-因为为在上的射影，PH PAPF 所以()cos ,PH PF PA PA PHPF⋅=⋅PA PF PA PFPA PF ⋅=⋅⋅ PA PF=⋅()()64t t =⨯+⨯-224t =-+(216t =-+(216t =-+.（当且仅当16≥t =故选：A.二、填空题11．在等差数列中，已知，，则______．{}n a 43a =79a =3579a a a a +++=【答案】28【分析】设首项为，公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出通项公式，从而得解.1a d 1a d 【详解】解：在等差数列中，，设首项为，公差为，{}n a 43a =79a =1a d 则，解得，所以，113369a d a d +=⎧⎨+=⎩132a d =-⎧⎨=⎩25na n =-所以.35791591328a a a a +++=+++=故答案为：2812．某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图．这1000名用户满意度的第25[)30,40[)40,50[]90,100百分位数是______．【答案】54【分析】利用频率分布直方图结合百分位数的定义求解即可.【详解】由已知可得，样本中满意度在区间内的样本的频率为，[)30,400.005100.05⨯=样本中满意度在区间内的样本的频率为，[)40,500.010100.1⨯=样本中满意度在区间内的样本的频率为，[)50,600.025100.25⨯=所以样本中满意度在区间内的样本的频率为0.15，满意度在区间内的样本的频率为[)30,50[)30,600.40，故用户满意度的第25百分位数在区间内，[)50,60设用户满意度的第25百分位数为，则x ，所以，()0.15500.0250.25x +-⨯=54x =所以这1000名用户满意度的第25百分位数是54.故答案为：54.13．在数列中，是其前n 项和，且，则数列的通项公式______．{}n a n S 21n n S a =+n a =【答案】，.12n n a -=-*n ∈N 【分析】利用，求解数列的通项公式.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】当时，，解得：，1n =11121S a a ==+11a =-令时，，即，解得：，2n =2221S a =+12221+=+a a a 2112a a =-=-当时，，2n ≥111212122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-故，12n n a a -=所以时，为公比为2的等比数列，2n ≥{}n a所以，2212222n n n n a a q ---==-⨯=-显然时，满足，1n =11a =-12n n a -=-综上：，.12n n a -=-1n ≥故答案为：，.12n n a -=-*n ∈N 14．在数列{an }中，a 1=2，an+1=an+ln ，则通项公式an=_____.11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】2+ln n【分析】利用累加法求得数列的通项公式.【详解】解析：∵an+1=an+ln ，11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴a 2-a 1=ln =ln 2，111⎛⎫+ ⎪⎝⎭a 3-a 2=ln =ln ，112⎛⎫+ ⎪⎝⎭32a 4-a 3=ln =ln ，113⎛⎫+ ⎪⎝⎭43……an-an-1=ln =ln .11-1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1n n 以上(n-1)个等式相加，得an-a 1=ln 2+ln +…+ln =ln n.32-1nn ∵a 1=2，∴an=2+ln n.∵a 1=2+ln 1=2，∴{an }的通项公式为2+ln n.答案：2+ln n.15．在棱长为2的正方体中，过点的平面分别与棱，，交于点，1111ABCD A B C D -A α1BB 1CC 1DD E ，，记四边形在平面上的正投影的面积为，四边形在平面上的F G AEFG 11ABB A 1S AEFG 11BCC B 正投影的面积为．给出下面有四个结论：2S ①四边形是平行四边形；AEFG②的最大值为；12S S 4③的最大值为；12S S +6④四边形可以是菱形，且菱形面积的最大值为AEFG 则其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②④【分析】对①，根据面面平行的性质定理即可判断答案；建立空间直角坐标系，设，然后根据①得到的关系，进而判断②，然,,BE a CF b DG c ===,,a b c 后结合基本不等式判断③，最后根据菱形的对角线互相垂直判断④.【详解】解：对①，因为平面分别与平面、平面、平面、平面AEFG 11BCC B 11ADD A 11ABB A 交于、、、，11CDD C EF AG AE GF 易知平面平面，则，而平面平面，则，11//BCC B 11ADD A //AG EF 11//ABB A 11CDD C //AE GF 所以四边形是平行四边形，故①正确；AEFG以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，记点在平面上的投影点为A 1,,AB AD AA ,,x y z G 11BCC B 点，H 点、在平面上的投影点分别为点、.F G 11ABB A I J设，其中，则，，,,BE a CF b DG c ===0,,2a b c ≤≤()()()2,0,,2,2,,0,2,E a F b G c ()0,0,0A 所以，由①可得，所以，()()2,0,,2,0,AE a GF b c ==- AE GF = b a c =+则，020202a a c c ≤≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩易得，，所以，故③错误；12S BE BC a =⨯=22S AB AJ c =⨯=()1224S S a c +=+≤又，当且仅当时取“=”，故②正确；2124442a c S S ac +⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭1,2a c b ===又，，令，所以，()2,2,AF b =()2,2,EG c a =--()440AF EG b c a ⋅=-++-=c a =即， 则此时，平行四边形是菱形，201c a b a a =⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩AF EG ⊥AEFG 而此时，()()2,2,2,2,2,0AFa EG ==-EG =所以菱形的面积，当时，④正确.S =1a =max S ==故答案为：①②④.三、解答题16．已知函数.()22cos cos sin f x x x x x=+-(1)求的最小正周期；()f x (2)若，求函数的最值.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π(2)最大值为2，最小值为1-【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解；()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由，得到，再利用正弦函数的性质求解.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）解：∵，()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴.22T ππ==的最小正周期为.()f x π（2）∵，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴.()[]1,2f x ∈-∴的最大值为2，最小值为.()f x 1-17．已知等差数列的前n 项和为，且，．{}n a n S 66a =-73a =-(1)求通项公式及的最小值；{}n a n S (2)数列为等比数列，且，，求数列的前n 项和；{}n b 19b a =211b a ={}n b nT(3)数列满足，其前n 项和为，请直接写出的值（无需计算过程）．{}n c ()1nn nc a =-n P 2022P 【答案】(1)，最小值为；324n a n =-7884S S ==-(2)；()3312nn T =-(3)3033.【分析】（1）利用基本量代换求出，得到通项公式和前n 项和公式，利用函数求最值；121,3a d =-=（2）求出通项公式，进而得到数列的前n 项和；{}n b nT（3）利用分组求和法求出，直接代入求解.n P 【详解】（1）设等差数列的公差为.{}n a d 因为，，所以，解得：，66a =-73a =-116,356a d d a +=-=-+121,3a d =-=所以.()14132n a n d a n +-=-=所以.()()2115675334524222n n n a a n n n S ⎛⎫--⎪+-⎝⎭===因为，所以当或时，最小值为*N n ∈7n =8n =()7838458842S S ⨯-===-（2）由（1）可得：，192113,9b a b a ====所以等比数列的公比为，{}n b 21933b q b ===所以.113n nn b b q -=⋅=所以等比数列的前n 项和{}n b ()()()113133311132n n nn b q T q --===---（3）因为数列满足.{}n c ()()()11324nnn n c a n =-=--当为偶数时，；n ()()()3211815123273242n P nn n =-+-++-++-=当为奇数时，n ；()()()()()()()3131211815123303273243242422n n n n n n n P -+=-+-++-++---=--=-所以.()3124,23,2n n n P n n ⎧+-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数所以.20223202230332P ⨯==18．如图，四边形是正方形，平面，，，，为ABCD PA ⊥ABCD EB PA ∥4AB PA ==2EB =F 的中点．PD (1)求证：；AF PC ⊥(2)求二面角的大小．D PCE --(3)在棱上是否存在点，使得直线与平面的PE M DM PCE PM 长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)；5π6(3)重合时，符合题意，,M E PM =【分析】（1）以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.利用向量法A ,,AD AB APx y z ，，证明；（2）利用向量法求出二面角的余弦值，得到二面角的大小；D PCE --D PC E --（3）利用向量法判断出当与重合时，符合题意，进而求出.M E PM【详解】（1）因为四边形是正方形，平面，所以以为原点，分别ABCD PA ⊥ABCD A ,,AD AB AP为轴正方向，建立空间直角坐标系.x y z ，，因为，，为的中点，所以4AB PA ==2EB =F PD ()0,0,0,A ()0,0,4,P ()4,0,0,D ()4,4,0,C .()0,4,0,B ()0,4,2,E ()2,0,2F 所以.()4,4,4,PC =-()2,0,2AF = 因为，所以，即.()2,0,2420420PC AF ⋅==⨯++-⨯=PC AF ⊥AF PC ⊥（2）因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，,平面,平面,AF PC ⊥AF PA A = AF ⊂PAD PA ⊂PAD 所以平面.CD ⊥PAD 因为平面，所以.AF ⊂PAD CD AF ⊥又，,平面,平面,AF PC ⊥CD PC C = CD ⊂PCD PC ⊂PCD 所以平面,即为面的一个法向量.AF ⊥PCD ()2,0,2AF =PCD 设为面的一个法向量，则,(),,n x y z = PCE 44400420n PC x y z n PE x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 不妨设，则.1y =()1,1,2n = 由图示，二面角为钝角，设其为，所以D PC E --θ.cos n AF n AF θ⋅=-==⨯ 因为，所以，即二面角为.[]0,πθ∈5π6θ=D PC E --5π6（3）假设在棱上存在点，使得直线与平面PE M DM PCE 设,,则.()0,4,2PM PE λλλ==-()01λ≤≤()4,4,42DM DP PM λλ=+=-- 因为直线与平面DMPCE 所以，即，解得：cos ,DM DM n DM n ⋅=⨯.1λ=所以当与重合时，直线与平面M E DM PCE 此时，(0,4,PM PE === 19．已知直线与抛物线交于，两点，且．():0l x my n n =+≠24y x =M N 90MON ∠=︒(1)求，两点的横坐标之积和纵坐标之积；M N (2)求面积的最小值．MON △【答案】(1)，1616-(2)16【分析】(1)先设出，，分别表示出，的斜率，利用二者垂直判断出二者斜率乘积为M N MO ON ，求得，把抛物线的方程代入即可求得和.1-12120x x y y +=12x x 12y y(2)接着联立直线和抛物线方程组，得出直线与轴交点的坐标，根据24x my n y x =+⎧⎨=⎩x P ，表示出面积，利用基本不等式求得面积的最小值.MON MOP NOP S S S =+ MON △【详解】（1）设，，，()11,M x y ()22,N x y 90MON ∠=︒即，，，，OM ON ⊥12120x x y y ∴+=2114y x = 2224y x =，，.221212044y y y y ∴⋅+=1216y y ∴=-1216x x =（2）由题知，令直线方程中，():0l x my n n =+≠0y =可得直线与轴交点，联立，得x P (),0n 24x my ny x =+⎧⎨=⎩，由(1)知，，2440y my n --=12416y y n =-=-，即点坐标为，4n ∴=P ()4,0则MON MOP NOPS S S =+ ()1212OP y y =+，()122y y =+2≥⨯当且仅当时，等号成立.124y y ==面积的最小值为.∴MON △1620．已知椭圆的离心率为，且过点．()2222:10x y C a b a b +=>>12()2,0A -(1)求椭圆的方程；C (2)斜率为的直线与椭圆交于不同两点（都不同于点），且直线，的斜率之积等k l M N ，A AM AN 于1．试问直线是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．l 【答案】(1)；22143x y +=(2)直线过定点.l ()14,0-【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）不妨设直线.设C :l y kx m =+.利用“设而不求法”表示出,得到.即可得到直线()()1122,,M x y N x y ，1AM AN k k ⋅=14m k =过定点.():14l y k x =+()14,0-【详解】（1）由题意可得：，解得：，所以椭圆的方程为：.222212a c e a b a c=⎧⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=（2）不妨设直线.设.:l y kx m =+()()1122,,M x y N x y ，联立得：，消去y 得：.22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2223484120k x kmx m +++-=所以.()()()()22222843441248430km k m k m ∆=-+-=-+>所以.21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++因为直线，的斜率之积等于1，所以,即，AM AN 1AM ANk k ⋅=1212122y yx x ⋅=++所以，整理得：.()()()()121222kx m kx m x x ++=++()()()2212121240k x x km x x m -+-++-=所以，整理得：，解得：()()22222241028343144k m km k k km m ⎛⎫-⨯+--+-= ⎪⎝⎭-++2216280m km k -+=或.2m k =14m k =当时，直线过定点，不合题意，舍去；2m k =():2l y k x =+()2,0A -当时，代入，解得：或（因为时直线14m k =()()224841430k k ∆=-+>18k -<<108k <<0k =与椭圆交于长轴顶点，不合题意），直线过定点.符合题意.():2l y k x =+():14l y k x =+()14,0-故直线过定点，使得直线，的斜率之积等于1.l ()14,0-AM AN 21．设满足以下两个条件的有穷数列,,…,为阶“Q 数列”：1a 2a n a ()2,3,4,n n = ①；②．120n a a a +++= 121n a a a +++= (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q 数列”；(2)若2018阶“Q 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；(3)记n 阶“Q 数列”的前k 项和为，求证．()1,2,3,,k S k n = 12k S ≤【答案】(1)三阶“数列”:,,;四阶“数列”:,,,Q 12-012Q 38-18-1838(2)222019(N ,2018)21009n n a n n *-=∈≤⨯(3)证明见解析【分析】（1）借助新定义利用等差数列,写出一个单调递增的3阶和4阶“数列”;Q （2）利用某阶“数列”是等差数列,根据已知条件分别求出首项和公差即可；2018Q （3）判断k =n 时,,然后证明k ＜n 时,利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.102n S =≤【详解】（1）不妨设其数列为等差数列,因为阶“数列”单调递增,3Q 则由,可知:,且,1231a a a ++=1230a a a ++=130,0a a <>123230a a a a ++==解得:,所以,故,20a =130a a +=1231301a a a a a ++=-++=解得:,故三阶“数列”：,,;1311,22a a =-=Q 12-012同理，不妨设4阶“数列”为等差数列,公差为,Q d 因为4阶“数列”单调递增,Q 由可知:,12340a a a a +++=1423a a a a +=+即,,所以,且,()2320a a +=230a a +=12340a a a a <<<<1230a d +=因为,所以,12341a a a a +++=12341a a a a --++=即,解得:,1111231a a d a d a d ---++++=14d =将代入中,解得:,14d =1230a d +=138a =-可得四阶“数列”：,,,．Q 38-18-1838（2）设等差数列,,,,公差为,,1a 2a 3a 2018a d 0d >∵,∴,12320180a a a a ++++= 120180a a +=∴,则,100910100a a +=100910100,0a a <>,根据已知条件得：0d > ①,②,123100912a a a a ++++=- 10101011201812a a a +++=两式相减得:,即,210091d =211009d =根据,得,，120182017201802d a ⋅+=1220172017221009a d =-=-⋅.()22220171220191(N ,2018)21009100921009n n a n n n *-∴=-+-=∈≤⋅⨯（3）当时,显然成立;k n =102n S =≤当时,根据条件①得,k n <12k k S a a a =+++ ()12k k n a a a ++=-+++ 即,12k k S a a a =+++ 12k k na a a ++=+++ ∴,12121231221k k k k n k k k n S a a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++≤+++++++= ∴.12k S ≤【点睛】关键点点睛：定义新数列,要将不熟悉的问题进行转化,转化为我们熟悉的问题,本题中将“数列”转化为等差数列,利用等差数列的性质进行求解较为简单,第三问的难点是利用绝对值三角Q 不等式进行证明.。

北京 2023年历年真题考试：高等数学（一）历年真题汇编（共62题）1、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x^1/3D. y=2^x试题答案：C2、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D3、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D4、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B5、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C6、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D7、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x^1/3D. y=2^x试题答案：C8、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x</span><sup>2D. 2x²<br />试题答案：C9、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (e^x-e^-x)/2D. |x|试题答案：C10、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D11、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B12、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）A.B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D13、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A14、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D15、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B16、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D17、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B18、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是: （单选题）A.B.C.D.试题答案：A19、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y²) (dx+2ydy)B. 1/(x+y²) (2dx+dy)C. 1/(x+y²) (2xdx+dy)D. 1/(x+y²) (dx+2dy)试题答案：A20、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D21、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A22、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x²sinx+C<br />B. 2xcosx-x²sinx<br />C. x²cosx+C<br />D. x²cosx<br />试题答案：C23、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D24、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a=（单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B25、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A26、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B27、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D28、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C29、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x^2/3+CB. 3/2x^2/3+CC. 2/3x^3/2+CD. 3/2x^3/2+C试题答案：C30、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A31、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A32、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B33、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e²^xB. 2+4e²^xC. 2x+2e²^xD. 2x+4e²^x试题答案：B34、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A35、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A36、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C37、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C38、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B39、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e^-1)<br />C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D40、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D41、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D42、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x^2/3+CB. 3/2x^2/3+CC. 2/3x^3/2+CD. 3/2x^3/2+C试题答案：C43、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A44、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C45、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D46、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C47、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D48、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C49、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是:（单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D50、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B51、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C52、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e^-1)<br />C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D53、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y²) (dx+2ydy)B. 1/(x+y²) (2dx+dy)C. 1/(x+y²) (2xdx+dy)D. 1/(x+y²) (dx+2dy)试题答案：A54、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (e^x-e^-x)/2D. |x|试题答案：C55、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A56、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A57、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A58、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D59、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x</span><sup>2D. 2x²<br />试题答案：C60、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B61、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x²sinx+C<br />B. 2xcosx-x²sinx<br />C. x²cosx+C<br />D. x²cosx<br />试题答案：C62、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A。

北京航空航天大学测试技术基础期末考试试卷（A 卷）注意事项：1、所有答案必须写在答题册上，写在试卷上的答案无效2、试卷和答题册同时存在方为有效评分依据。

一、是非题（对的打√，错的打×）（每题1分，共10分）1、非周期信号的频谱都是连续的。

（）2、随机信号是确定性信号。

（ ）3、频响函数同时反映了系统的稳态过程和过渡过程。

（ ）4、金属丝应变片在测某一构件的应变时，其电阻的相对变化率主要由电阻材料的电阻率的变化决定。

（ ）5、若电桥桥臂电阻应变片的输入信号为正弦波，则该电桥为交流电桥。

（） 6、非周期信号的频谱可以用傅里叶级数展开得到。

（ ）7、在直流电桥中，只要两相邻桥臂的阻值之乘积等于另外两相邻桥臂阻值的乘积，则电桥平衡。

（ ）8、滤波器的作用是对信号的频率进行选择。

（ ）9、电涡流传感器的灵敏度与线圈的几何参数有关。

（）10、 码盘是用来测量角位置的传感器。

（ ） 二、填空题（每空1.5分，共30分）1、电容传感器有三种类型，即_________、_________和_________。

2、热电偶传感器的热电势是由_________电势和_________电势组成。

3、自相关函数最大值发生在τ=_________时刻。

4、二阶系统的固有频率越高，可测信号_________范围越大。

5、在信号与系统的分析中，经常用到一些数学工具，写出用于下列分析时最适合的数学工具表达式。

a. 周期信号的频谱。

_________b. 能量有限的瞬变信号的频谱。

_________c. 系统的传递函数。

_________6、已知x (t )=12sin2πf 0t ，δ(t)为单位脉冲函数，则积分∫x (t )∞−∞δ(t −14f 0)dt 的值为___________________________。

7、已知x(t)的傅里叶变换为X(ω)。

根据傅里叶变换的_________性质，x(t−t0)的傅里叶变换为X(ω)e−jωt0；根据傅里叶变换的_________性质，x(t)e jω0t的傅里叶变换为X(ω−ω0)。

工程大学2023-2024学年第1学期《高等数学（上）》期末考试试卷（A卷）及标准答案试卷题目：高等数学（上）期末考试试卷（A卷）科目：高等数学（上）时间：2024年1月一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1.在直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x 的顶点坐标是（）A. (1, -1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (-1, 1)2.设函数f(x) = sin(2x + π/3)，则函数 f(x) 的一个周期是（）A. π/3B. π/2C. πD. 2π3.函数 y = 3ln(2x + 1) 的图像在 x 轴上的截距是（）A. -1/2B. 1/2C. 0D. -14.设函数 f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x，则 f(x) 的极值点是（）A. (-1, -1)B. (0, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)5.已知曲线 C 的参数方程为 x = t^2 - 4, y = t - 1，则曲线 C 属于（）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线…二、填空题（共10题，每题3分，共30分）1.函数 f(x) = sin(2x) 的最小正周期是 _______。

2.函数 y = x^3 + 4x^2 的导函数是 _______。

…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求方程组 x^2 + y^2 = 4, x - y = 1 的解。

2.计算不定积分∫(cos^2x + 2sinx)dx。

…四、大题（共2题，每题20分，共40分）1.设 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 均为常数，且a ≠ 0。

若曲线 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (1, -1)，且该曲线与直线 y = x + 1 相切于点 (2, 3)，求曲线方程。

2.设函数 f(x) = e^x / (1 + e^x)，求f’(x) 和f’’(x)。