分运动可以应用动能定理

动能定理的应用一、复习旧知1.动能定理内容合外力做的功或各外力做功的代数和等于物体动能的变化量。

二、重难、考点 2、表达式（1）2022121mv mv W t -=和 （2）2023212121...mv mv W W W W t n -=++++ 三、考点：（1）动能定理的计算式为标量式，v 为相对同一参考系的速度，中学物理中的一般取地球为参考系。

（2）动能定理的研究对象是单一物体，或者可以看成单一物体的物体系。

（3）动能定理既适用于物体的直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用，只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可。

这些正是动能定理解题的优越性所在。

（4）若物体运动过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以全过程为整体来处理。

四、例题讲解【例1】：如图，一个质量m ，带电荷－q 的小物体，可在水平绝缘轨道ox 上运动，O 端有一与轨道垂直的固定墙，轨道处于匀强电场中，场强大小为E ，方向沿Ox 正向。

小物体以初速v 0从位置x 0沿Ox 轨道运动，受到大小不变的摩擦力f 作用，且f ＜q E 。

设小物体与墙壁碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，求它在停止运动前所通过的总路程。

【对应练习1】：如图所示，在光滑绝缘竖直细杆上，套有一个有小孔的小球，小球质量为m 、带电量为-q ，杆与以正电荷Q 为圆心的某一圆周交于B 、C 两点，小球从A 点无初速度释放，已知AB =BC =h ，小球滑到B 点时速度大小为。

求小球滑到C 点时的速度大小及AC 两点间的电势差。

【例2】:如图所示，木板质量为M ，长度为L ，小木块质量为m ，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与M 和m 连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的力将m 拉至右端，拉力至少做功为（ ）A 、mgL μB 、mgL μ2C 、2/mgL μD 、gL m M )(+μ【对应练习2】：如图9所示，质量为M 、长度为L 的木板静止在光滑的水平面上，质量为m 的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用一水平恒力F 作用在小物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动，已知物体和木板之间的摩擦力为F f 当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为x ，则在此过程中( )A 、物体到达木板最右端时具有的动能为(F －F f )(L ＋x ）B 、物体到达木板最右端时，木板具有的动能为F f xC 、物体克服摩擦力所做的功为F f LD 、物体和木板增加的机械能为F x【例3】:如图所示水平轨道BC ，左端与半径为R 的四分之一圆周AB 连接，右端与的四分之三圆周CDEF 连接，圆心分别为O 1，O 2，质量为m 的过山车从高为R 的A 处由静止滑下，正好能够通过右侧圆轨道最高点E ，不计一切摩擦阻力，求： ⑴过山车在B 点时的速度⑵过山车过C 点后瞬间对轨道压力的大小 ⑶过山车过D 点时加速度的大小【对应练习3】：如图所示，质量m=0.5kg 的小球从距地面高H=5m 处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m ，小球到达槽最低点时的速率为10m ／s ，并继续滑槽壁运动直至槽左端边缘飞出，竖直上升，落下后恰好又沿槽壁运动直至从槽右端边缘飞出，竖直上升、落下，如此反复几次，设摩擦力大小恒定不变: （1）求小球第一次离槽上升的高度h（2）小球最多能飞出槽外几次(g 取10m ／s 2)?【例4】：过山车是游乐场中常见的设施。

动能定理的实际应用在我们的日常生活和众多科学领域中，动能定理都发挥着极其重要的作用。

那什么是动能定理呢？简单来说，动能定理描述了合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。

先让我们来了解一下动能定理的表达式：W ＝ΔEk ，其中 W 是合外力对物体做的功，ΔEk 是物体动能的变化量。

动能 Ek ＝ 1/2 mv²，m 是物体的质量，v 是物体的速度。

接下来，我们看看动能定理在实际生活中的一些应用。

在体育运动中，比如跳远。

运动员在助跑阶段积累动能，通过快速奔跑获得较大的速度，从而在起跳时具有较大的动能。

当运动员起跳后，在空中运动的过程中，只有重力做功，动能和重力势能相互转化。

运动员起跳时的动能越大，在空中能够达到的高度和水平距离就越远。

再来说说汽车的行驶。

汽车的发动机做功，使汽车获得动能。

在加速过程中，发动机的牵引力做功，增加了汽车的动能，使其速度不断提高。

而在刹车时，摩擦力做功，消耗汽车的动能，使其逐渐停下来。

在建筑工地上，起重机吊起重物的过程中，起重机的拉力对重物做功，增加了重物的动能和重力势能。

通过动能定理，我们可以计算出起重机需要做多少功，从而选择合适功率的起重机。

在能源领域，水力发电就是动能定理的一个典型应用。

水从高处流下，具有较大的动能。

通过水轮机，水的动能转化为水轮机的机械能，进而带动发电机发电。

在航天领域，火箭的发射也离不开动能定理。

火箭燃料燃烧产生的推力对火箭做功，使火箭的动能不断增加，从而能够克服地球引力进入太空。

动能定理还在碰撞实验中有着重要的应用。

例如，两个物体发生碰撞时，通过测量碰撞前后物体的速度，可以利用动能定理计算出碰撞过程中损失的能量，从而分析碰撞的性质和效果。

在物理学研究中，科学家们也常常利用动能定理来解决各种问题。

比如，研究微观粒子的运动时，虽然微观粒子的运动规律与宏观物体有所不同，但在某些情况下，动能定理仍然可以提供有用的信息和帮助。

总之，动能定理在我们的生活和科学研究中无处不在，它为我们理解和解决各种与物体运动和能量转化相关的问题提供了有力的工具。

动能定理在多过程问题中的应用类型一动能定理在多过程问题中的应用1．运用动能定理解决多过程问题，有两种思路：(1)可分段应用动能定理求解；(2)全过程应用动能定理：所求解的问题不涉及中间的速度时，全过程应用动能定理求解更简便．2．全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意它们的特点．(1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关．(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积．例1(2016·浙江10月选考·20)如图甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图乙所示的模型．倾角为45°的直轨道AB、半径R＝10 m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，分别通过水平光滑衔接轨道BC、C′E平滑连接，另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接，EG间的水平距离l＝40 m．现有质量m＝500 kg的过山车，从高h＝40 m处的A点由静止下滑，经BCDC′EF最终停在G点．过山车与轨道AB、EF 间的动摩擦因数均为μ1＝0.2，与减速直轨道FG间的动摩擦因数μ2＝0.75.过山车可视为质点，运动中不脱离轨道，g取10 m/s2.求：(1)过山车运动至圆轨道最低点C时的速度大小；(2)过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力大小；(3)减速直轨道FG的长度x.(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)【答案】(1)810 m/s(2)7×103 N(3)30 m【解析】(1)设过山车在C点的速度大小为v C，由动能定理得mgh－μ1mg cos 45°·hsin 45°＝12m v C2代入数据得v C＝810 m/s(2)设过山车在D点速度大小为v D，由动能定理得mg (h －2R )－μ1mg cos 45°·h sin 45°＝12m v D 2F ＋mg ＝m v D 2R，解得F ＝7×103 N由牛顿第三定律知，过山车在D 点对轨道的作用力大小为7×103 N (3)全程应用动能定理mg [h －(l －x )tan 37°]－μ1mg cos 45°·hsin 45°－μ1mg cos 37°·l －xcos 37°－μ2mgx ＝0解得x ＝30 m.变式训练1 (动能定理在多过程问题中的应用)(2020·河南信阳市罗山高三一模)如图甲所示，一倾角为37°，长L ＝3.75 m 的斜面AB 上端和一个竖直圆弧形光滑轨道BC 相连，斜面与圆轨道相切于B 处，C 为圆弧轨道的最高点．t ＝0时刻有一质量m ＝1 kg 的物块沿斜面上滑，其在斜面上运动的v －t 图象如图乙所示．已知圆轨道的半径R ＝0.5 m ．(取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)物块与斜面间的动摩擦因数μ；(2)物块到达C 点时对轨道的压力的大小F N ；(3)试通过计算分析是否可能存在物块以一定的初速度从A 点滑上轨道，通过C 点后恰好能落在A 点．如果能，请计算出物块从A 点滑出的初速度大小；如果不能请说明理由． 【答案】(1)0.5 (2)4 N (3)见解析【解析】(1)由题图乙可知物块上滑时的加速度大小为a ＝10 m/s 2① 根据牛顿第二定律有：mg sin 37°＋μmg cos 37°＝ma ② 由①②联立解得μ＝0.5③(2)设物块到达C 点时的速度大小为v C ，由动能定理得： －mg (L sin 37°＋R ＋R cos 37°)－μmgL cos 37°＝12m v C 2－12m v 02④在C 点，根据牛顿第二定律有：mg ＋F N ′＝m v C 2R ⑤联立③④⑤解得：F N ′＝4 N ⑥根据牛顿第三定律得：F N ＝F N ′＝4 N ⑦ 物块在C 点时对轨道的压力大小为4 N(3)设物块以初速度v 1上滑，最后恰好落到A 点 物块从C 到A ，做平抛运动，竖直方向：L sin 37°＋R (1＋cos 37°)＝12gt 2⑧水平方向：L cos 37°－R sin 37°＝v C ′t ⑨ 解得v C ′＝977 m/s>gR ＝ 5 m/s ，⑩所以物块能通过C 点落到A 点 物块从A 到C ，由动能定理得：－mg (L sin 37°＋1.8R )－μmgL cos 37°＝12m v C ′2－12m v 12⑪联立解得：v 1＝21837m/s ⑫ 类型二 动能定理在往复运动问题中的应用在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定．求解这类问题时若运用牛顿运动定律及运动学公式将非常繁琐，甚至无法解出．由于动能定理只涉及物体的初、末状态而不计运动过程的细节，此类问题多涉及滑动摩擦力，或其他阻力做功，其做功的特点与路程有关，求路程对应的是摩擦力做功，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化．例2 如图所示，竖直面内有一粗糙斜面AB ，BCD 部分是一个光滑的圆弧面，C 为圆弧的最低点，AB 正好是圆弧在B 点的切线，圆心O 与A 、D 点在同一高度，θ＝37°，圆弧面的半径R ＝3.6 m ，一滑块质量m ＝5 kg ，与AB 斜面间的动摩擦因数μ＝0.45，将滑块从A 点由静止释放(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2)．求在此后的运动过程中：(1)滑块在AB 段上运动的总路程；(2)在滑块运动过程中，C 点受到的压力的最大值和最小值． 【答案】(1)8 m (2)102 N 70 N【解析】 (1)由题意可知斜面AB 与水平面的夹角为θ＝37°， 知mg sin θ>μmg cos θ，故滑块最终不会停留在斜面上， 由于滑块在AB 段受摩擦力作用，则滑块做往复运动的高度将越来越低，最终以B 点为最高点在光滑的圆弧面上往复运动． 设滑块在AB 段上运动的总路程为s ，滑块在AB 段上所受摩擦力大小F f ＝μF N ＝μmg cos θ， 从A 点出发到最终以B 点为最高点做往复运动， 由动能定理得mgR cos θ－F f s ＝0，解得s ＝Rμ＝8 m.(2)滑块第一次过C 点时，速度最大，设为v 1，分析受力知此时滑块所受轨道支持力最大，设为F max ，从A 到C 的过程，由动能定理得mgR －F f l AB ＝12m v 12－0，斜面AB 的长度l AB ＝Rtan θ，由牛顿第二定律得F max －mg ＝m v 12R ，解得F max ＝102 N.滑块以B 为最高点做往复运动的过程中过C 点时，速度最小，设为v 2，此时滑块所受轨道支持力最小，设为F min ，从B 到C ， 由动能定理得mgR (1－cos θ)＝12m v 22－0，由牛顿第二定律得F min －mg ＝m v 22R ，解得F min ＝70 N ，根据牛顿第三定律可知C 点受到的压力最大值为102 N ，最小值为70 N.变式训练2 (动能定理在往复运动中的应用)(2020·浙江高三开学考试)如图所示，有一圆弧形的槽ABC ，槽底B 放在水平地面上，槽的两侧A 、C 与光滑斜坡aa ′、bb ′分别相切，相切处a 、b 位于同一水平面内，距水平地面高度为h .一质量为m 的小物块从斜坡aa ′上距水平面ab 的高度为2h 处沿斜坡自由滑下，并自a 处进入槽内，到达b 处后沿斜坡bb ′向上滑行，到达的最高处距水平面ab 的高度为h ，若槽内的动摩擦因数处处相同，不考虑空气阻力，且重力加速度为g ，则( )A ．小物块第一次从a 处运动到b 处的过程中克服摩擦力做功mghB ．小物块第一次经过B 点时的动能等于2.5mghC ．小物块第二次运动到a 处时速度为零D ．经过足够长的时间后，小物块最终一定停在B 处 【答案】 A【解析】在第一次运动过程中，小物块克服摩擦力做功，根据动能定理可知mgh －W f ＝0－0，解得W f ＝mgh ，故A 正确；因为小物块从右侧到最低点的过程中对轨道的压力较大，所受的摩擦力较大，所以小物块从右侧到最低点的过程中克服摩擦力做的功W f1>12W f ＝12mgh ，设小物块第1次通过最低点的速度为v ，从自由滑下到最低点的过程，由动能定理得3mgh －W f1＝E k －0，解得E k <2.5mgh ，故B 错误；由于在AC 段，小物块与轨道间有摩擦力，故小物块在某一位置的速度大小要减小，故与轨道间的摩擦力减小，第二次在AC 段运动时克服摩擦力做功比第一次要少，故第二次到达a (A )点时，有一定的速度，故C 错误；由于在AC 段存在摩擦力，故小物块在B 点两侧某一位置可能处于静止状态，故D 错误． 故选A 。

《动能定理的应用》讲义一、动能定理的基本概念在物理学中，动能定理描述了力对物体做功与物体动能变化之间的关系。

动能是物体由于运动而具有的能量，其大小等于物体质量与速度平方乘积的一半，即$E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$。

而动能定理指出：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量。

用公式表达即为：＄W ＝＼Delta E_k$，其中$W$是合外力做的功，＄＼Delta E_k$是动能的变化量。

二、动能定理的推导为了更好地理解动能定理，我们来推导一下。

假设一个质量为$m$的物体，在恒力$F$的作用下，沿直线运动了一段距离$s$，初速度为$v_1$，末速度为$v_2$。

根据牛顿第二定律$F ＝ ma$，其中$a$是加速度。

而加速度的定义式为$a ＝＼frac{v_2 v_1}｛t}＄，同时位移与时间的关系可以表示为$s ＝ v_1t ＋＼frac{1}｛2}at^2$。

将$a ＝＼frac{v_2 v_1}｛t}＄代入$F ＝ ma$，得到$F ＝m\frac{v_2 v_1}｛t}＄。

再将$a ＝＼frac{v_2 v_1}｛t}＄代入$s ＝ v_1t ＋＼frac{1}｛2}at^2$，得到$s ＝ v_1t ＋＼frac{1}｛2}＼frac{v_2 v_1}｛t}t^2 ＝v_1t ＋＼frac{1}｛2}（v_2 v_1)t$。

那么力$F$做的功$W ＝ Fs ＝ m\frac{v_2 v_1}｛t} ＼times （v_1t ＋＼frac{1}｛2}（v_2 v_1)t)＄化简可得：＄W ＝＼frac{1}｛2}mv_2^2 ＼frac{1}｛2}mv_1^2$这就证明了合外力做功等于物体动能的变化量。

三、动能定理的应用场景1、单物体直线运动这是动能定理最常见的应用场景。

例如，一个物体在粗糙水平面上受到水平拉力的作用，我们可以通过动能定理求出拉力做的功、摩擦力做的功以及物体的末速度等。