第10讲：曲线形面积问题——基本公式及曲面型面积问题三部曲

第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】1。

两类曲线积分的计算方法；2。

格林公式及其应用；3。

第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。

两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。

应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。

[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。

《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。

求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。

定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。

，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。

曲面积分三大公式曲面积分是数学分析中的一个重要概念，在物理学、工程学、计算机图形学等领域的应用极为广泛。

曲面积分可以看作是对曲面上的某个量进行积分运算，其本质是对曲面的局部几何性质（如曲率、法向量、面积等）进行计算，常用于求取曲面质量、曲线弧长、电场场强等问题。

在曲面积分的求解中，有三个重要的公式，分别是第一型、第二型和第三型曲面积分公式。

下面我们将对这三个公式进行详细介绍。

第一型曲面积分公式第一型曲面积分公式，又称为曲面上的标量积分，是指对曲面上某个标量场进行积分的运算。

其数学表达式为：$$\\iint_{S}f(x,y,z)dS$$其中，S为曲面，f(x,y,z)为在曲面上的某一点(x,y,z)上的标量场值。

该公式中的dS表示曲面元素，可以看作曲面上一个小面积的微元素。

在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据表面积元素的定义进行求解。

第二型曲面积分公式第二型曲面积分公式，又称为曲面上的向量积分，是指对曲面上某个向量场进行积分的运算。

其数学表达式为：$$\\iint_{S}\\vec{F}\\cdot\\vec{n}dS$$其中，$\\vec{F}$ 为曲面上的向量场，$\\vec{n}$ 为曲面上某一点的法向量。

该公式中的dS含义同上。

在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据向量积分的定义进行求解。

第三型曲面积分公式第三型曲面积分公式，又称为曲面上的第二型线积分，是指对曲面边界上的某个向量场进行积分的运算。

其数学表达式为：$$\\oint_{\\partial S}\\vec{F}\\cdot d\\vec{r}$$其中，$\\partial S$ 为曲面S的边界，$\\vec{F}$ 为曲面上的向量场，$d\\vec{r}$ 为曲线元素。

该公式中的 $\\oint$ 表示沿曲线逆时针方向进行积分。

在计算时，需要对曲面S进行参数化，并根据向量积分的定义进行求解。

综上所述，第一型、第二型和第三型曲面积分公式是曲面积分求解中的三个重要工具。

第十章曲线积分与曲面积分10.1 对弧长的曲线积分一、求曲线cos,sin,t t tx e t y e t z e===从0t=到任意点间的那段弧的质量，设它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。

1)te-）二、计算下列曲线积分：1. L⎰，其中L为旋轮线：(sin)(1cos)x a t ty a t=-⎧⎨=-⎩（0tπ≤≤2）。

（324aπ）2.()Lx y ds+⎰，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B的三角形边界。

（13. L⎰，其中L是由极坐标曲线,0,r aπθθ===4所围成的区域的边界曲线。

（2(1)a ae aeπ-+4）4.()Lx y z ds++⎰，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0)A B及螺线cos,sin,(02)x t y t z t tπ===≤≤组成。

（322+）三、计算L⎰，其中L是由,0y x y y===所围成的第一象限部分的边界。

（2sin cosR R Rπ+4）四、计算L，其中L是圆：2222x y z ax y⎧++=⎨=⎩。

（2aπ2）五、 计算Lxds⎰Ñ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线22y x -=所围成的第一象限部分的整个边界。

（+） 10.2 对坐标的曲线积分一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离成正比，比例系数为k 。

若质点从点(0,)a 沿椭圆22221x y a b +=在第一象限部分移动到点(0,)b ，求弹力所做的功。

（221()2k a b -）二、计算曲线积分22(2)(2)Lx xy dx y xy dy ++-⎰，其中L 是抛物线2(11)y x x =-≤≤沿x增加的方向。

（1415-） 三、 计算2y Lxe dy+⎰，其中L是曲线y =从点(0,0)O 到点(1,1)的一段弧。

（2322）四、 计算2222()()Lx y dx x y dy ++-⎰，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到点(2,0)的一段。

高数下第10讲：两类曲面积分(倒数第四次)1 对面积的曲面积分上连续，则有：在偏导数连续，，函数面上的投影为在，的方程为单值函数设光滑曲面∑=∑=∑),,(),(),(z y x f y x z z D xoy y x z z dxdy z z y x z y x f dS z y x f Dy x ⎰⎰⎰⎰∑++=221)),(,,(),,(0:.1积分值为轴对称，则于的奇函数，积分区域关是关于若二重积分的被积函数求证y x0:.2积分值为面对称，则于的奇函数，积分区域关是关于若三重积分的被积函数求证yoz x整个边界曲面所围成的四面体的及是由其中曲面计算⎰⎰∑=++===∑=10,0,0,.3z y x z y x xyzdS I所割下的部分被柱面为圆锥面其中曲面计算)0(2,)(.42222>=++=∑++=⎰⎰∑a ayy x y x z dS yz xz xy I⎰⎰∑=++∑=2222,.5R z y x zdS I 是球面其中计算所围立体的表面是锥面及平面其中计算1,)(.622=∑+=⎰⎰∑z dS y x I所截下的部分被平面为旋转抛物面其中计算1,.722=+=∑=⎰⎰∑z y x z dS xyz I求：的密度为上点设锥面壳,),,()10(.822z u z y x z y x z =≤≤+=锥面壳的质量；)1( 锥面壳的质心)2(Rx y x R z y x =+=++222222,.9柱面已知球面；求球面在柱面内的面积)1( 求柱面在球面内的面积)2(2 对坐标的曲面积分2.1 ⎰⎰⎰⎰∑∑→→++=⋅Rdxdy Qdzdx Pdydz dS n z y x F ),,(→→→→++=k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(.其中2.2 ⎰⎰⎰⎰∑±=xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(侧取正，下侧取负的单值函数，右端在上和是其中y x z部分的外侧在是球面其中计算0,01,)(.1022223≥≥=++∑++=⎰⎰∑y x z y x dxdy z y x I的外侧是球面其中计算222232.)(.11R z y x dydz z y x I =++∑++=⎰⎰∑外侧所围成的正方体表面的平面是由三个坐标面与其中计算)0(,,.)()()(.12222>===∑-+-+-=⎰⎰∑a a z a y a x dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x I所围成正方体的外侧是平面其中1,1,1,.1322===∑=⎰⎰∑z y x zdxdy y x I所围立体表面的外侧以及两平面是由曲面其中计算)0(,,.142222222>-===+∑+++=⎰⎰∑R R z R z R y x z y x dxdy z xdydz I的下侧的部分在是锥面，其中0,0)10(.1522≥≥≤≤+=∑++⎰⎰∑y x z y x z zdxdy ydzdx xdydz面上方部分的外侧在是抛物面，其中化成对面积的曲面积分把对坐标的曲面积分xoy y x z dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P 228),,(),,(),,(.16--=∑++⎰⎰∑22202020220002222)(4])()()[()(4,),,(.17R d R dS z z y y x x R d R M d z y x M R z y x +≤-+-+-≤-=++∑⎰⎰∑ππ到原点的距离，求证：为是球面外一点，是球面设的外侧为球面计算1,cos cos cos 2.18222222=++∑-+=⎰⎰∑z y x zz dxdy y dzdx z x dydz I⎰⎰∑++=≥≤-+=++∑dxdyz dzdx y dydz x I z x y x z y x 222222220,01.19的部分，试计算的外侧位于表示球面设⎰⎰∑>>>=++∑dSz y x z y x c b a c z b y a x z y x ),,(),,()0,0,0(1),,(.20222222ϕϕ切平面的距离，求处上点：为原点到椭球面设期中部分题目回顾⎰⎰-=10022.1x y dy e dx I 计算),(,14,),(),(.222y x f y x y x y D y x dxdy y x f y x f D求所围区域及是由曲线，设===++=⎰⎰方向导数最大的点沿在，使函数上求点在曲面)0,1,1(),,(122.3222222-=++==++→l P z y x z y x u P z y xds n u y x y u x u y x u L n a a y x L L ⎰→→∂∂+=∂∂+∂∂>=+求偏导数且具有二阶连续的外法向量为为圆周设平面曲线,),(,),0(.4222222222。