湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2015-2016学年高一数学上学期期中试题

（卷面满分：100分考试时间：60分钟）第一卷客观题一、单项选择题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，选对的得5分，错选或不答的得0分)1、下面关于质点的说法中正确的是：A、研究和观察日食时，可以把太阳看做质点B、表演旋转动作的芭蕾舞演员可看做质点C、研究一辆轿车通过枝城大桥的时间时，汽车可看做质点D、神舟10号与天宫对接时的神舟10号可看做质点【答案】C考点：质点【名师点睛】研究物体的运动时，当物体的大小和形状对所研究的问题没有影响或影响可忽略不计时，可以把物体当作质点．根据这个条件进行判断．当研究物体本身的转动时，物体不能当作质点处理．对于通过运动员的动作、造型、姿势等观看、评分的运动项目，运动员不能看作质点．2、关于坐标系，下列说法错误的是：A、建立坐标系是为了定量描写物体的位置和位置变化B、选择不同的参考系来观察同一个物体的运动情况时，其观察结果可能相同C、坐标系的建立与参考系无关υ图像只能描述物体在一条直线上运动的规律D、一个t-【答案】C【解析】试题分析：建立坐标系是为了定量描述物体的位置和位置的变化，故A正确；坐标系都是建立在参考系上υ图像只能描述物体在一条的，没有参考系则坐标系无法建立，故B正确；由B分析得，C错误；一个t-直线上运动的规律，选项D 正确。

故不正确的为C 。

考点：坐标系【名师点睛】为了描述物体的运动状态要选择参考系，为定量描述物体位置变化要在参考系上建立坐标系，并且要建立合适的坐标系。

建立坐标系的意义是为了定量描述质点的位置变化，要根据问题的实际需要，建立合适的坐标系，沿直线运动建立直线坐标系，在平面上运动，建立平面直角坐标系 3、下列关于平均速度和瞬时速度的说法正确的是： A 、 在直线运动中，平均速度等于平均速率 B 、平均速度tx∆∆=υ，当△t 充分小时，该式可表示t 时刻的瞬时速度 C 、 瞬时速度和平均速度都可以精确描述物体运动的快慢 D 、 速率不变的运动，一定是匀速直线运动 【答案】B 【解析】试题分析：平均速度的大小等于位移与时间的比值，平均速率的大小等于路程与时间的比值．例：当物体回到出发点时，平均速度的大小为零，平均速率却不为零，故A 错误；平均速度txv ∆∆=，当△t 充分小时，可认为一个时间点，即瞬时速度可以看成时间趋于无穷小时的平均速度，故B 正确；在匀速直线运动中，由于速度不变，即x 跟t 的比值不变，平均速度与瞬时速度相同，故B 正确；在变速运动中，平均速度随x （或t ）的选取的不同而不同，只能粗略地描述这段位移或时间内的运动的快慢程度；瞬时速度对应某一时刻或某一位置的速度，可精确描述变速运动，故C 错误；速率不变的运动，不一定是匀速直线运动，比如匀速圆周运动，选项D 错误。

宜昌市部分市级示范高中教学协作体2015年秋期中联考高二（文科）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A．中位数 >平均数 >众数B．众数 >中位数 >平均数C．众数 >平均数 >中位数D．平均数 >众数 >中位数2.某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A．80人B． 60人C． 100人D． 20人【答案】A【解析】试题分析：抽取比例为2605000，二年级的学生数为4500013⨯，所以抽取人数为4260500080135000⨯⨯=考点：分层抽样3.设有一个回归直线方程为^^2 1.5y x=- ,则变量x 增加一个单位时 ( )A．y 平均增加 1.5 个单位B． y 平均增加 2 个单位C． y 平均减少 2 个单位D． y 平均减少 1.5 个单位【答案】D【解析】试题分析：由回归方程x系数-1.5可知变量x 增加一个单位时，y 平均减少 1.5 个单位考点：回归方程4.过点M （-2，a ）和点N （a,4）的直线的倾斜角为045，则a 的值为（ ） A . 1或4 B. 4 C. 1或3 D. 1【答案】D 【解析】试题分析：过两点的直线斜率4tan 45112a k a a-===∴=--考点：直线倾斜角与斜率5.若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】=AB 的长为考点：空间两点间距离6.已知一组数据X 1，X 2，X 3，…,X n 的方差是S 2,那么另一组数据2X 1-1，2X 2-1，2X 3-1，…,2X n -1 的方差是（ ）A . 122-sB . 2s 2C . 2s D. 24s 【答案】D 【解析】试题分析：由已知条件可得()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦，另一组数据方差为 ()()()222'221212222224n S x x x x x x S n ⎡⎤=-+-+-=⎢⎥⎣⎦考点：方差7.已知点M （b a ,）在圆1:22=+y x O 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】试题分析：点M （b a ,）在圆1:22=+y x O 外，所以221a b +>，圆心到直线的距离1d =<所以直线与圆相交考点：1.点与圆的位置关系；2.直线与圆的位置关系8.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5，6 ,7 ,8 ,9 ,0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907, 966, 191, 925, 271, 932, 812，458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989.据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为 （ ）A. 0.25B. 0.2C. 0.35D. 0.4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393． 共5组随机数， ∴所求概率为510.25204== 考点：模拟方法估计概率9.两圆03-222=-+y y x 与122=+y x 的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 内含 C. 内切 D. 外切 【答案】C 【解析】试题分析：圆22230x y y +--=的圆心为()0,1，半径为2，圆122=+y x 的圆心为()0,0，半径为1，圆心距为21d r r =-，所以两圆内切 考点：两圆位置关系10.执行右面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ). A.[-3,4] B. [-5,2] C. [-4,3] D. [-2,5]【答案】A 【解析】试题分析：程序执行中求解的是分段函数值，分段函数为()()23141t t s t t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，结合分段函数单调性及图像可知值域为[]3,4-，所以输出s 的范围为[]3,4- 考点：1.程序框图；2.分段函数11.如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是（ ）A ． 625529 B ． 62596C ． 2523D ． 252【答案】B 【解析】试题分析：正方形的面积为225625=，阴影部分面积为22252396-=，因此粒子落在中间带形区域的概率是96625P =考点：几何概型概率12.直线l ：m x y +=与曲线21:C y x -=有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A . )22(，- B. ]1,2-( C . ］，（1-2- D. )2,1[ 【答案】C 【解析】试题分析：曲线21:C y x -=方程变形为()2210x y x +=≥，表示以()0,0为圆心，半径为1的圆的右1m ∴=m 的取值范围是(1⎤-⎦考点：1.直线与圆的位置关系；2.数形结合法第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线033:1=-+y x l 与013:2=++my x l 平行，则它们之间的距离为 .【答案】5102 【解析】试题分析：由两直线平行，所以系数满足3131m m =⨯∴=，所以平行线距离为d 考点：1.直线平行的判定；2.平行线间的距离14.一个总体的60个个体的编号为0,1,2,3，…，59，现采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号被6除余数为3的方法取组样本，则抽取的样本最大的一个号码为 . 【答案】57 【解析】试题分析：由题意可知抽取的第一个编号为3，各个编号构成等差数列，公差为6，所以编号63n a n =-，当10n =时1057a =，所以号码为57 考点：系统抽样与等差数列15.读右边的程序：程序在执行时，如果输入6，那么输出的结果为 .【答案】720 【解析】试题分析：程序语句执行中的数据变化如下：6,1,1,16,1,2,26,2,n i s s i s ===≤==≤=3,36,i =≤6,4,46,24,5,56,120,6,66,720,7,76s i s i s i s i ==≤==≤==≤==≤不成立，所以输出720s =考点：程序语句16.设R n m ∈,，若直线01:=-+ny mx l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且l 与圆422=+y x 相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则ABO ∆的面积的最小值为 . 【答案】3 【解析】试题分析：由题意可知11,0,0,A B m n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由直线与圆相交的弦长为2，所以22221143m n +=∴+=，ABO ∆的面积2211111322S m n mn m n ==≥=+，当且仅当m n =时等号成立，取得最小值考点：1.直线与圆相交的位置关系；2.均值不等式求最值三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有统计数据()(12345)i i x y i =，，，，，，由资料知y 对x 呈线性相关，并且统计的五组数据的平均值分别为4x =， 5.4y =，若用五组数据得到的线性回归方程a bx y+=ˆ去估计，使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1．1万元．（1）求回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【答案】（1）11.1ˆ+=x y（2）12 【解析】试题分析：（1）由使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元．可知回归方程x 的系数为1.1，将中心点(),x y 带入回归方程可得a ，从而求得回归方程；（2）将10x =代入回归方程可求得维修费用试题解析：（1）依题意，b=1.1，（4,5.4）在线性回归直线a x y+=1.1ˆ上 （3分 ） a +⨯=∴41.14.5 解得1=a （5分 ）所以回归直线方程为 11.1ˆ+=x y（6分 ） (2)当10=x 时，121101.1ˆ=+⨯=y（9分） 答：估计使用年限为10年时，维修费用是12万元。

2015-2016学年湖北省宜昌一中、龙泉中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知复数z满足（3+5i）z=34，则z=（）A．﹣3+5i B．﹣3﹣5i C．3+5i D．3﹣5i2．（5分）1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B={y|y=3x，x＞0}，则A*B=（）A．（0，2） B．[0，1]∪[2，+∞）C．（1，2]D．[0，1]∪（2，+∞）3．（5分）已知角α在第一象限且cosα=，则等于（）A．B．C．D．﹣4．（5分）下列判断正确命题的个数为（）①“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件②命题“若q则p”与命题“若非p则非q”互为逆否命题③对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为∀x∈R，均有x2+x+1≥0④命题“∅⊆{1，2}或4∉{1，2}”为真命题．A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）若实数x，y满足，则Z=2x+y﹣1的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，﹣log32）B．（0，log32）C．（log32，1）D．（1，log34）8．（5分）若二面角α﹣l﹣β为，直线m⊥α，则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是（）A．（0，B．[，C．，D．，9．（5分）平面内，点P在以O为顶点的直角内部，A，B分别为两直角边上两点，已知，，，则当|AB|最小时，sin∠AOP=（）A．B．C．2 D．10．（5分）如图，圆O过正方体六条棱的中点A i（i=1，2，3，4，5，6），此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧A i A i+1在圆O中所对的圆心角为αi（i=1，2，3，4，5），弧A6A1所对的圆心角为α6，则等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．412．（5分）已知定义在[1，+∞）上的函数当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）13．（5分）球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为．14．（5分）若，则将a，b，c从小到大排列的结果为．15．（5分）21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，24×1×3×5×7=5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为．16．（5分）已知函数f（x）=，若曲线y=﹣x2+2x上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量=（cosx，0），=（0，sinx）．记函数f（x）=（+）2+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值及取最小值时x的集合；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n+n，且b n=．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF．（1）在线段AD上是否存在点M，使GM∥平面ACF？并说明理由；（2）若AC=BC=2AE，求二面角E﹣DG﹣C的余弦值．20．（12分）有三个生活小区，分别位于A，B，C三点处，且，．今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图，且．（Ⅰ）若希望变电站P到三个小区的距离和最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三个小区的最远距离为最小，点P应位于何处？21．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的极值点．（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．（3）证明：+…+（n∈N，n＞1）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=2，PB=1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证：AB•PC=PA•AC；（Ⅱ）求AD•AE的值．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．2015-2016学年湖北省宜昌一中、龙泉中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知复数z满足（3+5i）z=34，则z=（）A．﹣3+5i B．﹣3﹣5i C．3+5i D．3﹣5i【解答】解：∵（3+5i）z=34，∴z===3﹣5i．则z=3﹣5i．故选：D．2．（5分）1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B={y|y=3x，x＞0}，则A*B=（）A．（0，2） B．[0，1]∪[2，+∞）C．（1，2]D．[0，1]∪（2，+∞）【解答】解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．3．（5分）已知角α在第一象限且cosα=，则等于（）A．B．C．D．﹣【解答】解：因为角α在第一象限且cosα=，利用sin2α+cos2α=1得到sinα=，则原式====2×（c osα+sinα）=2×（+）=．故选：C．4．（5分）下列判断正确命题的个数为（）①“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件②命题“若q则p”与命题“若非p则非q”互为逆否命题③对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为∀x∈R，均有x2+x+1≥0④命题“∅⊆{1，2}或4∉{1，2}”为真命题．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①am2＜bm2成立能推出a＜b成立；反之a＜b成立，推不出am2＜bm2，如m=0，故①错误，②命题“若q则p”的逆否命题是“若非p则非q”，∴命题“若q则p”与命题“若非p 则非q”互为逆否命题，故②正确；③命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故③正确；④命题“∅⊆{1，2}”为真命题，命题“4∉{1，2}”为真命题，∴命题“∅⊆{1，2}或4∉{1，2}”为真命题，故④正确．∴正确命题的个数有3个．故选：C．5．（5分）若实数x，y满足，则Z=2x+y﹣1的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数Z=2x+y﹣1为y=﹣2x+Z+1，由图可知，当直线y=﹣2x+Z+1过点B（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，Z 有最大值为2×2+3﹣1=6．故选：D．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由三视图可知该几何体是一棱长为2的正方体切去两个三棱锥，其两个三棱锥的底面为俯视图中的两个直角三角形，高为2，所以V=2×2×2﹣=7．故选：D．7．（5分）设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，﹣log32）B．（0，log32）C．（log32，1）D．（1，log34）【解答】解：∵函数在区间（1，2）内有零点，∴f（1）•f（2）＜0，即（log33﹣a）•（log32﹣a）＜0，∴log32＜a＜1，故选：C．8．（5分）若二面角α﹣l﹣β为，直线m⊥α，则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是（）A．（0，B．[，C．，D．，【解答】解：欲求β所在平面内的直线与m所成角的取值范围，即求直线m与β面所成的角，因为β所在平面内的直线与m所成的角中最小的角是线面角，最大的角是．在直线m上取一点P，过P作PB⊥β，由PA、PB确定的平面交l于C，则l⊥BC，l⊥CA，所以，BC为直线m在平面β内的射影，故BC与PA的夹角即为直线m与β面所成的角，延长BC，PA交于点D，∵，PA⊥AC，∴，所以β所在平面内的直线与m所成角的取值范围是：[，．故选：D．9．（5分）平面内，点P在以O为顶点的直角内部，A，B分别为两直角边上两点，已知，，，则当|AB|最小时，sin∠AOP=（）A．B．C．2 D．【解答】解：如图，设（0），则，∵，，，∴，，则，，则==，令t=sin2θ（0＜t＜1），则=．令f（t）=，则f′（t）==．由f′（t）=0，得t=．∴当t=时，|AB|2有最小值，则|AB|有最小值，此时，∴sin∠AOP=．故选：B．10．（5分）如图，圆O过正方体六条棱的中点A i（i=1，2，3，4，5，6），此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧A i A i+1在圆O中所对的圆心角为αi（i=1，2，3，4，5），弧A6A1所对的圆心角为α6，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵如图A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A1∴α1=α2=α3=α4=α5=α6==60°∴=sin cos﹣cos sin=sin（）=﹣sin15°又∵sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°=×﹣×=∴=故选：B．11．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．12．（5分）已知定义在[1，+∞）上的函数当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：令n=1得，[2n﹣1，2n]=[1，2]，当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，如图所示，其面积为：S=×1×4=2，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）13．（5分）球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为．【解答】解：球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，设球的半径为r，则球的表面积为：4πr2，圆柱的表面积为：2πr2+2πr×2r=6πr2．则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为：=．故答案为：．14．（5分）若，则将a，b，c从小到大排列的结果为a＜b＜c．【解答】解：根据定积分的几何意义，则a，b，c分别表示表示三条曲线与x轴围成的图形的面积，由图可得：a＜b＜c故答案为：a＜b＜c．15．（5分）21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，24×1×3×5×7=5×6×7×8，...依此类推，第n个等式为2n×1×3×...（2n﹣1）=（n+1）• (2)﹣1）•2n．【解答】解：观察已知中的等式：21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，24×1×3×5×7=5×6×7×8，…由此推断，第n个等式为：2n×1×3×…（2n﹣1）=（n+1）•…（2n﹣1）•2n故答案为：2n×1×3×…（2n﹣1）=（n+1）•…（2n﹣1）•2n16．（5分）已知函数f（x）=，若曲线y=﹣x2+2x上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是[0，2] ．【解答】解：由y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1知，y0≤1；由f（f（y0））=y0得，f（y0）=y0；∵f（y0）≥0；∴y0∈[0，1]；并得到：；∴；设h（y0）=，则h′（y0）=；∵△=4﹣24＜0；∴h′（y0）＞0；∴函数h（y0）在[0，1]上单调递增；∴h（y0）∈[h（0），h（1）]=[0，2]；∴a∈[0，2]；即a的取值范围为[0，2]．故答案为：[0，2]．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量=（cosx，0），=（0，sinx）．记函数f（x）=（+）2+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值及取最小值时x的集合；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵=（cosx，0），=（0，sinx）∴+=（cosx，sinx），得（+）2=3cos2x+sin2x=1+2cos2xf（x）=（+）2十sin2x=1+2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+2=2sin（2x+）+2∴当2x+=﹣+2kπ（k∈Z），即x=﹣+kπ（k∈Z）时，f（x）有最小值为0；（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）∴函数f （x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，其中k∈Z．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n+n，且b n=．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）解：由S n=2a n+n得：S n+1=2a n+1+n+1，=S n+1﹣S n=2a n+1﹣2a n+1，即a n+1=2a n﹣1，∴a n+1﹣1=2（a n﹣1），∴a n+1∵S1=2a1+1，∴a1=﹣1，a1﹣1=﹣2≠0，∴数列{a n﹣1}是以﹣2为首项、2为公比的等比数列，∴a n﹣1=﹣2n，a n=1﹣2n；（2）由（1）知b n===﹣，∴T n=﹣[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣1．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF．（1）在线段AD上是否存在点M，使GM∥平面ACF？并说明理由；（2）若AC=BC=2AE，求二面角E﹣DG﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB=90°，∴∠EGF=90°，△ABC∽△EFG．∵AB=2EF，∴BC=2FG，连接AF，FG∥BC，FG=BC．在平行四边形ABCD中，M是线段AD的中点，∴AM∥BC，且AM=BC，∴FG∥AM，且FG=AM，∴四边形AFGM为平行四边形，∴GM∥FA，又FA⊂平面ACF，GM⊄平面ACF，∴GM∥平面ACF．（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，又EA⊥平面ABCD，∴AC，AD，AE两两垂直．分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．不妨取AC=2．则由题意知A（0，0，0），B（2，﹣2，0），E（0，0，1），C（2，0，0），D（0，1，0）．G（1，0，1）．∴=（1，﹣1，1），=（2，﹣1，0），=（0，﹣1，1）．设平面DEG的法向量=（x，y，z），则，∴，取=（0，1，1）．设平面CDG的法向量=（x1，y1，z1），则，可得，取=（1，2，1）．∴===，由图形可得：二面角E﹣DG﹣C的平面角是钝角，因此余弦值为﹣．20．（12分）有三个生活小区，分别位于A，B，C三点处，且，．今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图，且．（Ⅰ）若希望变电站P到三个小区的距离和最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三个小区的最远距离为最小，点P应位于何处？【解答】解：在Rt△AOB中，y=k2x，则（1分）（Ⅰ）方法一：∠PBO=α（），点P到A，B，C的距离之和为（5分），令y′=0即，又，从而当时，y′＜0；当时，y'＞0．∴当时，取得最小值此时，即点P为OA的中点．（8分）方法二：设点P（0，b）（0≤b≤40），则P到A，B，C的距离之和为，求导得（5分）由f'（b）=0即，解得b=20当0≤b＜20时，f′（b）＜0；当20＜b≤40时，f'（b）＞0∴当b=20时，f（b）取得最小值，此时点P为OA的中点．（8分）（Ⅱ）设点P（0，b）（0≤b≤40），则|PA|=40﹣b，点P到A，B，C三点的最远距离为g（b）①若|PA|≥|PB|即，则g（b）=40﹣b；②若|PA|＜|PB|即，则；∴g（b）=（11分）当0≤b≤5时，g（b）=40﹣b在[0，5]上是减函数，∴g（b）min=g（5）=35当5＜b≤40时，在（5，40]上是增函数，∴g（b）＞g（5）=35∴当b=5时，g（b）min=35，这时点P在OA上距O点5km．（14分）21．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的极值点．（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．（3）证明：+…+（n∈N，n＞1）．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）=﹣k．当k≤0时，∵x﹣1＞0，∴f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上是增函数．f（x）在（1，+∞）上无极值点．当k＞0时，令f′（x）=0，则x=1+．所以当x∈（1，1+）时，f′（x）=﹣k＞﹣k=0，∴f（x）在∈（1，1+）上是增函数，当x∈（1+，+∞）时，f′（x）=﹣k＜﹣k=0，∴f（x）在∈（1+，+∞）上是减函数．∴x=1+时，f（x）取得极大值．综上可知，当k≤0时，f（x）无极值点；当k＞0时，f（x）有唯一极值点x=1+．（2）由1）可知，当k≤0时，f（2）=1﹣k＞0，f（x）≤0 不成立．故只需考虑k＞0．由1）知，f（x）max=f（1+）=﹣lnk，若f（x）≤0 恒成立，只需f（x）max=f（1+）=﹣lnk≤0 即可，化简得：k≥1．所以，k 的取值范围是[1，+∞）．3）由2）知，当k=1时，lnx＜x﹣1，x＞1．∴lnn3＜n3﹣1=（n﹣1）（n2+n+1）＜（n﹣1）（n+1）2．∴＜，n∈N，n＞1．∴+…+＜（3+4+5+…+n+1）=×（n﹣1）=，n∈N，n＞1．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=2，PB=1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证：AB•PC=PA•AC；（Ⅱ）求AD•AE的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（4分）（Ⅱ）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=4，BC=3，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=9，又由（Ⅰ）知=，∴AC=，AB=，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∠AEC=∠ABD∴△ACE∽△ADB，∴，∴AD•AE=AB•AC=．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0．|t1﹣t2|===2．∴====．【选修4-5：不等式选讲】24．已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立，可得6m﹣m2≥5，求得1≤m≤5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5．∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当且仅当==时，等号成立，即x=，y=，z=时，取等号．∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，。

2014-2015学年某某省某某一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014秋•某某校级期中）下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A． {x|x=0} B． {a|a2=0} C． {a=0} D． {0}考点：集合的表示法．专题：集合．分析：对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．解答：解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．点评：考查集合与元素的概念，列举法和描述法表示集合，以及集合元素的特征．2．（5分）（2013•某某一模）已知全集U=Z，集合A={0，1}，B={﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A． {﹣l，2} B． {1，0} C． {0，1} D． {1，2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：图表型．分析：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．解答：解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={…，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，4，…}，∴（C U A）∩B={﹣l，2}．故选A．点评：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．3．（5分）（2014秋•某某校级期中）如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f（2））=f（4）的值．解答：解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．点评：本题主要考查利用分段函数求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．4．（5分）（2014秋•某某校级期中）不等式x2﹣x﹣2≤0解集为A，函数y=lg（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B． [1，2] C． [1，2） D．（1，2]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出已知不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，找出两集合的交集即可．解答：解：不等式x2﹣x﹣2≤0，变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即A=[﹣1，2]，由函数y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．（5分）（2012秋•海珠区校级期末）满足“对定义域内任意实数x，y，f（x•y）=f（x）+f （y）”的函数可以是（）A． f（x）=x2 B． f（x）=2x C． f（x）=log2x D． f（x）=e lnx考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：观察几个选项，分别为二次函数，指数函数，对数函数，和指对数的复合函数，所以只需看那种函数中自变量相乘，能变成两个自变量分别求函数值再相加即可．解答：解；∵对数运算律中有log a M+log a N=log a MN∴f（x）=log2x，满足“对定义域内任意实数x，y，f（x•y）=f（x）+f（y）”．故选C点评：本题考查了对数函数的运算律，计算时，不要与其它函数的运算律混淆了．6．（5分）（2014秋•某某校级期中）函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值X围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤16考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．解答：解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，单调性问题，本题属于基础题．7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则函数f（x）的大致图象为（）A． B． C． D．考点：函数奇偶性的性质；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：根据奇函数的图象关于原点对称且f（0）=0可排除A、C，由f（x）=m+3x在[0，+∞）为增函数，可排除D，从而可得解答：解：根据奇函数的图象关于原点对称且f（0）=0可排除A、C，由f（x）=m+3x在[0，+∞）为增函数，可排除D，故选B．点评：本题主要考查了奇函数的图象关于原点对称性质的应用，属于基础试题8．（5分）（2010•某某一模）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）A． B． C．D．考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；确定直线位置的几何要素．专题：压轴题．分析：分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答．解答：解：对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；到终点后等待兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段．对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．分析图象可知，选项B正确．故选B．点评：本题考查直线斜率的意义，即导数的意义．9．（5分）函数f（x）=在x∈R内单调递减，则a的X围是（） A．（0，] B． [，] C． [，1） D． [，1）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由已知中函数f（x）=在x∈R内单调递减，由分段函数单调性的确定方法，可得两段函数均为减函数，且当X=1时，按照x＜1时，函数表达式计算出的函数值不小于按照x≥1时，函数表达式计算出的函数值，结合二次函数的性质及对数函数的性质，构造关于a的不等式组，解不等式组，即可得到答案．解答：解：若函数f（x）=在x∈R内单调递减，则解得≤a≤故选B点评：本题考查的知识点是分段函数单调性的确定方法，函数单调性的性质，其中易忽略当X=1时，按照x＜1时，函数表达式计算出的函数值不小于按照x≥1时，函数表达式计算出的函数值，而错解为[，1）而错选C．10．（5分）（2014秋•某某校级期中）若函数f（x）=（eλx+e﹣λx）（λ∈R），当参数λ的取值分别为λ1与λ2时，其在区间[0，+∞）上的图象分别为图中曲线C1与C2，则下列关系式正确的是（）A．λ1＜λ2 B．λ1＞λ2 C．|λ1|＜|λ2| D．|λ1|＞|λ2|考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由图象可知，无论x∈（0，+∞）取何值，恒有C1＞C2，不妨令x=1，则有（eλ1+e﹣λ1）＞（eλ2+e﹣λ2），化简后即为（）（﹣1）＞0，再分类讨论即可得到答案.解答：解：函数f（x）=（eλx+e﹣λx）（λ∈R），当参数λ的取值分别为λ1与λ2时，其在区间[0，+∞）上的图象分别为图中曲线C1与C2，不妨令x=1，则有（）＞（），即＞，∴（）（﹣1）＞0，当λ1＞λ2时，＞0，∴﹣1）0，即λ1+λ2＞0，即λ1＞﹣λ2，∴λ1＞|λ2|，当λ1＜λ2时，＜0，即﹣λ1＞﹣λ2，∴﹣1＜0，即λ1+λ2＜0，即λ1＜﹣λ2，即﹣λ1＞λ2，∴﹣λ1＞|λ2|，∴|λ1|＞|λ2|，故选：D点评：本题考查了指数函数的单调性，以及图象的识别能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2014秋•某某校级期中）已知幂函数f（x）=（m2﹣5m+7）x﹣m﹣1（m∈R）为偶函数．则m= 3 ．考点：幂函数的图像．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的定义和函数奇偶性的性质进行求解建立．解答：解：∵f（x）是幂函数，∴m2﹣5m+7=1，即m2﹣5m+6=0，解得m=2或m=3，若m=2，则f（x）=x﹣2﹣1=x﹣3为奇函数，不满足条件．若m=3，则f（x）=x﹣3﹣1=x﹣4为偶函数，满足条件．故m=3，故答案为：3．点评：本题主要考查幂函数的解析式和性质，根据幂函数的定义求出m是解决本题的关键．12．（5分）（2014春•海安县校级期末）函数的单调递减区间为（3，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：利用复合函数的单调性，只需求g（x）=x2﹣2x﹣3在g（x）＞0的情况下的递增区间即可．解答：解：令g（x）=x2﹣2x﹣3，则f（x）=为复合函数，由题意得，函数的单调递减区间为g（x）=x2﹣2x﹣3在g（x）＞0的情况下的递增区间，∴由x2﹣2x﹣3＞0得：x＞3或x＜﹣1，又g（x）=x2﹣2x﹣3的递增区间为：[1，+∞），∴x＞3，即函数的单调递减区间为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．点评：本题考查复合函数的单调性，着重考查对数函数的单调性，突出分析问题，解决问题能力的考查，属于中档题．13．（5分）（2014秋•某某校级期中）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg、火箭（除燃料外）的质量mkg的函数关系是v=2000ln（1+）．当燃料质量是火箭质量的e6﹣1 倍时，火箭的最大速度可达 12000m/s．（要求填写准确值）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得2000ln（1+）=12000，由对数的运算求出可得．解答：解：由题意可得2000ln（1+）=12000，∴ln（1+）=6，∴1+=e6，∴=e6﹣1故答案为：e6﹣1点评：本题考查对数的运算，属基础题．14．（5分）（2014秋•某某校级期中）已知函数f（x）=﹣x3﹣x，若实数a，b满足f（a﹣1）+f（b）=0，则a+b等于 1 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，分析出函数的奇偶性和单调性，可得若f（a﹣1）+f（b）=0，则a﹣1+b=0，进而得到答案．解答：解：由已知中函数f（x）=﹣x3﹣x，可得f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数，又由f′（x）=﹣3x2﹣1＜0恒成立，可得f（x）在定义域R为减函数，若f（a﹣1）+f（b）=0，则a﹣1+b=0即a+b=1，故答案为：1．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．15．（5分）（2014秋•某某校级期中）有以下命题：①若f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且f（x）在区间（a，b）上有零点，则有f （a）f（b）＜0；②求f（x）=x2的零点时，不能用二分法．③已知g（x）=f（x）﹣x，h（x）=f[f（x）]﹣x，若g（x）的零点为x1，x2．则x1，x2也是h（x）的零点；④若x1是f（x）=2x+2x﹣5函数的零点，x2是函数g（x）=2log2（x﹣1）+2x﹣5的零点，则x1+x2=．其中正确的命题是②③④（写出所正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：举出反例f（x）=x2，可判断①的真假，根据二分法判断函数零点（对应方程的根的适用X围）可判断②的真假；根据零点的定义，根据g（x）的零点为x1，x2．判断h（x1），h （x2）是否为零，可判断③；根据零点的定义及指数和对数的运算性质及指数函数和对数函数的单调性，求出x1+x2，可判断④．解答：解：f（x）=x2在闭区间[﹣1，1]上的图象连续不断，且f（x）在区间（﹣1，1）上有零点，但f（﹣1）f（1）＞0，故①错误；由①中，f（x）=x2的零点为0，但不能使用二分法求解，故②正确；若g（x）的零点为x1．则f（x1）=x1，则h（x1）=f[f（x1）]﹣x1=f（x1）﹣x1=x1﹣x1=0，即x1是h（x）的零点，同理x2也是h（x）的零点，故③正确；由题意得：2x1+2•x1=5；2x2+2log2（x2﹣1）=5，则2x1=5﹣2•x1，故x1=log2（5﹣2x1），即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1），故5﹣2t=2log2（t﹣1）即t=x2，即2x1=7﹣2x2，即x1+x2=，故④正确；故答案为：②③④点评：本题以命题的真假判断为载体考查了命题的真假判断与应用，正确理解零点的定义及二分法求函数零点的适用X围是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）（2014秋•某某校级期中）计算：（1）﹣（﹣9.6）0﹣+（1.5）﹣2；（2）lg25+lg2﹣lg﹣log29×log32．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的运算法则进行化简求解即可．解答：解：（1）原式=﹣1﹣+=﹣1﹣+=．（2）原式=lg5+lg2﹣lg﹣2log23×log32=1+﹣2=．点评：本题主要考查指数幂和对数的运算，根据相应的运算法则是解决本题的关键．比较基础．17．（12分）（2014秋•某某校级期中）已知定义域为[1，2]的函数f（x）=2+log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3）（1）某某数a的值；（2）若g（x）=f（x）+f（x2），求函数g（x）的值域．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中函数f（x）=2+log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），代入可得实数a的值；（2）求出函数g（x）=f（x）+f（x2）的解析式，进而分析函数的定义域和单调性，求出函数的最值后，可得函数的值域．解答：解：（1）∵函数f（x）=2+log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），∴3=2+log a2，即log a2=1，解得：a=2…（6分）（2）∵g（x）=f（x）+f（x2）=4+3log2x…（8分）故g（x）的定义域满足…（10分），且函数g（x）在定义域[1，]为增函数，由g（1）=4，g（）=，故g（x）值域为…（12分）点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的单调性，函数的最值及值域，难度中档．18．（13分）（2013•某某县校级模拟）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值X围．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：（1）把集合A和B用数轴表示出来，由图和运算定义求出并集、补集和交集；（2）因集合C含有参数故需要考虑C=∅和C≠∅两种情况，再由子集的定义求出a的X围，最后要把结果并在一起．解答：解：（1）由题意用数轴表示集合A和B如图：由图得，A∪B={x|2＜x＜10}，∁R A={x|x＜3或x≥7}，∴（∁R A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}（6分）（2）由（1）知A∪B={x|2＜x＜10}，①当C=∅时，满足C⊆（A∪B），此时5﹣a≥a，得；（8分）②当C≠∅时，要C⊆（A∪B），则，解得；（12分）由①②得，a≤3．点评：本题考查了集合的混合运算和子集的定义应用，对于集合含有参数一定注意集合为空集时，故需要进行分类求解，当集合用不等式表示时，借助于数轴来求交集、并集和补集，更直观、准确，考查了数形结合和分类讨论思想．19．（12分）（2014秋•某某校级期中）已知函数f（x）=﹣．（1）用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在[，m]上的值域是[，2]，求a和m的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的值域．专题：导数的综合应用．分析：（1）设任意x2＞x1＞0，作差得f（x2）﹣f（x1）＞0即可；（2）根据函数的单调性得到不等式组解出即可．解答：解：（1）证明：设任意x2＞x1＞0，则x2﹣x1＞0，x1 x2＞0，∵f（x2）﹣f（x1）=（﹣）﹣（﹣）=﹣=＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．（2）∵f（x）在上单调递增，∴，易得，．点评：本题考查了函数的单调性的定义问题，考查单调性的应用，本题是一道中档题．20．（12分）（2013秋•某某校级期中）2013年9月4日在某某市永泰县、某某市仙游县交界处发生里氏4.8级地震，某某地区均有强烈震感，在当地虽然没有人员伤亡，但也造成较大的财产损失．这里常说的里氏震级M的计算公式是：M=lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅．（1）假设在一次地震中，测震仪记录的地震最大振幅是80，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1，参考数据：lg2=0.301）；（2）2008年5月12日汶川发生里氏8.0级地震，给当地造成巨大的人员伤亡和财产损失，在标准地震振幅相同的前提下，计算汶川地震的最大振幅是这次永泰地震的最大振幅的多少倍（精确到1，参考数据：100.2≈1.5849）考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）此次地震最大振幅是80，此时标准地震的振幅是0.001，可得A=80，A0=0.001．代入M=lgA﹣lgA0，利用对数的运算法则和已知数据即可得出．（2）设汶川地震的最大振幅是A1，永泰地震的最大振幅是A2，标准地震振幅都为A0．可得，利用对数的运算法则即可得出．解答：解：（1）∵此次地震最大振幅是80，此时标准地震的振幅是0.001，∴A=80，A0=0.001．∴M=lgA﹣lgA0=lg80﹣lg0.001=lg8+lg10﹣lg10﹣3=3lg2+1+3=3×0.301+4≈4.9．答：这次地震的震级为里氏4.9级．（2）设汶川地震的最大振幅是A1，永泰地震的最大振幅是A2，标准地震振幅都为A0．则，化为3.2=lgA1﹣lgA2=，∴=103.2=1000×100.2≈1585．答：汶川地震的最大振幅是这次永泰地震的最大振幅的1585倍．点评：本题考查了利用对数的运算法则解决实际问题，属于中档题．21．（14分）（2014秋•某某校级期中）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），对于任意的x，y∈（﹣1，1），有f（x）+f（y）=f（），且当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（）=1，f（）=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值；（3）若f（﹣）=1，求f（x）在[﹣，]上的值域．考点：抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：解：（1）令x=y=0可得f（0）+f（0）=f（0），从而解得f（0）=0；再令y=﹣x∈（﹣1，1）即可；（2）由题意得，从而可得；从而解得；（3）可得，从而可得；由定义法可判断f（x）在区间（﹣1，1）内为减函数；从而求值域即可．解答：解：（1）∵①，∴由①式令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0；由①式令y=﹣x∈（﹣1，1），得f（x）+f（﹣x）=f（0）；∴函数f（x）是奇函数．（2）由①式及已知，得，由（1）知函数f（x）是奇函数，∴；解得．（3）∵，∴．又∵，∴；设﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，∴．又由题设知，当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0．则，∴f（x1）＞f（﹣x2），∴f（x）在区间（﹣1，1）内为减函数；于是有．f（x）在上的值域为．点评：本题考查抽象函数的应用及函数的性质的判断与应用，属于中档题．。