当前位置：文档之家 › 组合最优化与对偶问题

组合最优化与对偶问题

  • 格式：doc
  • 大小：361.00 KB
  • 文档页数：7

1 用对偶单纯形法求对偶问题的最优解 摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解. 关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形

Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of The Dual Problem

Abstract：In the application of the linear programming， people find that a linear programming

problem is often accompanied by another paired linear programming problem. One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relations between the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper， we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method

1 引言 首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点.

2 对偶问题的形式 对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题3和非对称性对偶问题. 2.1对称形对偶问题 设原线性规划问题为

Max 1122...nnZcxcxcx 2

11112211211222221122...............0.1,2,...,nnnn

mmmnnnj

axaxaxbaxaxaxbaxaxaxbxjn







（2.1）

则称下列线性规划问题 Max 1122...mmWbybyby

11112211211222221122...............0.1,2,...,nnnn

mmmnnnj

ayayaycayayaycayayaycyjm







（2.2）

为其对偶问题，其中(1,2,...,)iyim称其为对偶变量，并称（2.1）和（2.2）式为一对对称型对偶问题. 原始对偶问题（2.1）和对偶问题（2.2）之间的对应关系可以用表2-1表示. 表2-1

iy jx

1x 2x … nx

原始约束 Min W

12...

m

yy

y

111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaa ... 1

2...

m

bb

b 对偶约束   ...  Max Z 1c 2c ... nc

这个表从横向看是原始问题，从纵向看使对偶问题.用矩阵符号表示原始问题（2.1）和对偶问题（2.2）为 CXZmax

原问题 0XbAX （2.3） YbWmin

对偶问题 0YCYA （2.4） 其中12,,...,mYyyy是一个行向量. 2.2 非对称对偶问题 3

线性规划有时以非对称形式出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，我们从一个具体的例子来说明这种非对称形式的线性规划问题的对偶问题的建立方法. 例1 写出下列原始问题的对偶问题

43214765maxxxxxZ





)4,3,2,1(032417281473672432143214321jxxxxxxxxxxxxx

j 解： 第一约束不等式等价与下面两个不等式约束

724321xxxx

724321xxxx 第二个约束不等式照写 147364321xxxx 第三个不等式变成 32417284321xxxx

以 121123,,,yyyy分别表示这四个不等式约束对应的对偶变量，则对偶问题为 32211131477minyyyyW





0,,,427746173225286322111322111322111322111322111yyyyyyyyyyyyyyyyyyyy

令 12111yyy，则上式的对偶问题变为： 3213147minyyyW 123123123123231

62852317647724,0,yyyyyyyyyyyyyyy







无符号限制

一般可以证明，若原问题中的某个变量无非负限制，则对偶问题中的相应约束为等式. 3 对偶单纯形法 4

对偶问题求解具有重要的意义，有多种方法解决对偶问题.下面介绍用对偶单纯形法来解决线性规划的对偶问题.先介绍以下几个线性规划的基本概念6： 基： 已知A是约束条件的mn系数矩阵，其秩为m.若B是A中mm阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B是线性规划问题中的一个基. 基向量：基B中的一列即称为一个基向量.基B中共有m个基向量. 非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为基B的非基向量. 基变量：与基向量相应的变量叫基变量，基变量有m个. 非基变量：与非基向量相应的变量叫非基变量，非基变量有nm个. 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解. 首先重新回顾一下单纯形法的基本思想，其迭代的基本思路是：先找出一个基可行解，判断其是否为最优解，如果不是，则转换到另一更优的基可行解，并使目标函数值不断优化，直到找到最优解为止. 我们可以用另一种思路，使在单纯形法每次迭代的基本解都满足最优检验，但不一定满足非负约束，迭代时使不满足非负约束的变量个数逐步减少.当全部基变量都满足非负约束条件时，就得到了最优解，这种算法就是对偶单纯形法. 因此，单纯形法是从一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优条件为止.对偶单纯形法是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索出最优解.在迭代过程中始终

保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失.现把对偶单纯形法的基本步骤总结如下[3]: 第一，把所给的线性规划问题转化为标准型； 第二，找出一个初始正则基0B，要求对应的单纯形表中的全部检验数 0j，但“右边”列中允许有负数； 第三，若“右边”列中各数均非负，则0B已是最优基，于是，已求得最优解，计算终止.否则转为第四步； 第四，换基：“右边”列中取值最小（即负的最多）的数所对应的变量为出基变量.计算

最小比值.最小比值出现在末列，则该列所对应的变量即为进基变量，换基后得新基1B，以出基变量的行和进基变量列交点处的元素为主元进行单纯形迭代，再转入第三步. 下面用一个例子具体说明用对偶单纯形法求线性规划问题最优解的步骤： 例1 求解线性规划问题

min 12315511Wyyy;

123123123

3225524,,0yyyyyyyyy





添加松弛变量以后的标准型 min 12315511Wyyy

合集下载

组合优化

组合优化


计算复杂性的概念
多项式时间算法
对于组合优化问题，我们关心的一般不是最优 解的存在性和唯一性，而是如何找到有效的算 法求得一个最优解. 那么如何衡量算法的优劣、 有效与无效呢？
完全枚举法可以求得最优解,但枚举时间有时不可能接受
ATSP: (n-1)!枚举(TOUR,周游或环游) 设计算机每秒进行100亿次枚举,需
（1）实例集合；
（2）对每一个实例I，有一个有穷的可行解集合
S(I). （3）目标函数 f ，对每一个实例I和每一个可行解
S(I) ，赋以一个有理数 f (I, ) .如果 是极小化 （极大化）问题，则实例I 的最优解为这样一个 可行解 * S(I) ，它使得对于所有 S(I) ，它都有
近似算法、最优算法
近似算法：对于一个优化问题，如果给定任意一个
实例I,算法A总能找到一个可行解，那么这个算法
称为该问题的近似算法.
最优算法：如果进一步，如果这个可行解的目标值 总等于最优解值，则称A为最优算法.
典型组合优化问题
• 背包问题 • 装箱问题 • 平行机排序问题 • 图与网络优化问题
最小支撑树、最短路、最大流、最小费用流、最大基数匹 配问题 • 指派问题 • 旅行售货商问题 • 斯坦纳最小树问题
mincT x
(IP) s.t. Ax b
.
x 0, x Zn
•我们假设线性整数规划的参数（约束矩阵和右端项系数）都是整数 (或有理数). •许多组合优化问题可以用整数规划模型表示,但有时不如直接用自然 语言描述简洁
组合优化问题 – 定义
• 定义：组合优化问题 是一个极小化问题，或 者是一个极大化问题，它由下述三部分组成：
106 109 1020 1.05e30 101000 7.89e29 4e2567
组合优化问题算法的研究与应用

组合优化问题算法的研究与应用

组合优化问题算法的研究与应用在计算机科学和工程学领域中，组合优化问题是被广泛研究的一个重要问题。

这些问题通常涉及到对一组有限的对象进行排列、选择、匹配等操作，目标是在满足一些限制条件的情况下，找到一组最优解。

许多实际应用中的问题可以抽象成组合优化问题，因此研究和解决这类问题具有重要的理论意义和实践意义。

本文将介绍几种常见的组合优化问题算法及其应用，并分析其优缺点以及适用场景。

1. 贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的算法，它通常用于解决一些优化问题。

贪心算法在每一步都选择当前状态下最优的解，通过不断地做出最优选择，逐步得到最终的最优解。

由于其简单、高效的特点，贪心算法在许多实际应用中得到了广泛的应用。

例如，有一组砝码和一支天平，我们需要使用这些砝码在天平上称出给定的重量。

可以使用贪心算法，从砝码中选择最大的砝码，重复放入天平直到达到给定的重量，然后再换成次大的砝码，如此往复，直到所有砝码都考虑到为止。

但是贪心算法也有一些局限性。

它只能求解近似最优解，而无法保证得到全局最优解。

在一些场景下，使用贪心算法可能会引发不可逆的决策错误。

因此，在某些情况下，需要结合其他算法来进行优化。

2. 动态规划算法动态规划算法是一种典型的组合优化问题求解算法，它的关键思想是将原始问题拆分成一系列子问题，通过对子问题的求解来得到原始问题的最优解。

动态规划算法常用于解决最短路问题、背包问题等。

例如，有一组物品，每个物品有自己的价值和重量，在背包容量有限的情况下，如何选择物品使得总价值最大。

可以使用动态规划算法，将问题分解成子问题，考虑每个物品的选择或不选择，得到价值最大的方案。

对于一些组合优化问题，动态规划算法通常需要耗费大量的时间和空间。

因此，在实际应用中需要评估算法的时间复杂度和空间复杂度，并结合具体问题进行优化。

3. 遗传算法遗传算法是一种基于模拟生物进化的优化方法，它通过人工模拟自然选择的过程来搜索最优解。

遗传算法常用于解决复杂的组合优化问题，如旅行商问题、多目标优化问题等。

组合优化问题求解算法研究

组合优化问题求解算法研究

组合优化问题求解算法研究一、组合优化问题简介组合优化问题是指在给定约束条件下，从若干可能的选择中选择一组元素，使得某个目标函数的值最大或最小。

它在日常生活中具有广泛的应用，如路线设计、工作安排等。

二、暴力枚举算法暴力枚举算法是指将所有可能的情况枚举出来，再从中找出最优解的算法。

它的时间复杂度为O(2^n)，因此在元素数量较小的情况下可以使用。

但随着元素数量的增加，暴力枚举算法无法满足实际需求。

三、贪心算法贪心算法是一种基于贪心思想的算法，它在每个阶段选择最优解，以期望最终结果最优。

由于贪心算法不考虑未来的后果，因此不一定能得到最优解。

但在一些特定的问题中，贪心算法可以得到最优解，如硬币找零问题。

四、动态规划算法动态规划算法是一种通过分解问题为子问题来求解复杂问题的算法。

它可以避免不必要的重复计算，并将问题转化为容易求解的子问题。

典型的应用包括背包问题和最长公共子序列问题。

动态规划算法的时间复杂度为O(n^2)或O(n^3)，因此可以在元素数量较大的情况下使用。

五、分支限界算法分支限界算法是一种基于搜索树的算法，它通过遍历搜索树，依次扩展所有可能的路径，最终找到最优解。

由于搜索树会随着元素数量的增加指数级增长，因此分支限界算法只适用于元素数量较小的情况。

六、遗传算法遗传算法是一种基于遗传学和进化论的算法。

它将问题转化为个体的基因编码，通过选择、交叉和变异等操作来逐步优化个体，最终找到最优解。

遗传算法在处理组合优化问题中具有较强的灵活性和鲁棒性，可以应用于大规模的问题求解。

七、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于统计物理学的随机搜索算法。

它通过随机选择解，并根据一定的概率接受较差的解，从而避免陷入局部最优解。

模拟退火算法通常可以得到接近最优解的结果，并可以应用于处理复杂的非线性组合优化问题。

八、粒子群算法粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法。

它通过模拟群体中粒子的运动来搜索最优解，具有全局收敛能力和高效性，可应用于大规模、高维的组合优化问题中。

组合优化问题的求解方法研究与应用

组合优化问题的求解方法研究与应用

组合优化问题的求解方法研究与应用随着计算机技术的发展和普及，各种组合优化问题的求解逐渐成为数学、计算机等领域的热点问题，广泛应用于运筹学、工程学、管理学、物理学等诸多领域。

本文将从问题的定义和特点、传统求解方法、近年新兴求解方法等多个方面进行讨论，希望对组合优化问题的求解方法有所启示和帮助。

一、问题的定义和特点组合优化问题的一般形式为：在有限集合中选取若干元素，使得这些元素满足某些限制条件，并在满足这些条件的基础上，使得某个目标函数最优。

具体而言，这个目标函数可以是最大化（最小化）某个值，比如利润、成本、效率等数值。

而限制条件则是我们需要遵守的约束条件，例如资源受限、时间限制、空间限制等。

组合优化问题的特点在于它是NP难问题，即它的求解难度随着问题规模的增大呈指数级增加，如果采用穷举法进行求解，则算法的时间复杂度将达到O(n!)，这是一种非常低效的算法。

二、传统求解方法在传统的求解方法中，最常用的是搜索算法。

搜索算法按照问题的性质构造出一个搜索树，通过深度优先搜索（或广度优先搜索）来遍历整个搜索树，找到最优解或次优解。

搜索算法的主要优势在于其能够找到问题的全局最优解，但由于组合优化问题的特殊性，搜索算法在时间和空间消耗方面都非常高，对于复杂的问题规模很难获得令人满意的解。

传统方法的另一个重要的问题就在于其缺乏对于实际实现的支持，为了解决这个问题，近年来涌现了一些新兴的求解方法。

三、近年新兴求解方法在数学和计算机领域中，近年来涌现了一些新兴的求解方法，例如基于模拟退火、遗传算法等的元启发式算法，以及甚至还有基于人工神经网络等机器学习技术的自适应求解方法。

这些方法基于现代计算机的强大计算能力，通过迭代求解的方式不断优化候选解，可以在处理组合优化问题的时候具有更好的速度和效率。

其中元启发式算法是一种非常常用的求解方法，这种方法是通过随机化的方式来探索问题空间，可以从复杂的搜索空间中找到近似最优解，在实际应用中表现出了非常好的效果。