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组合最优化问题最基本的特点就是变量是离散的, 由此导致其数学模型中的目标函数和约束函数在其可行域内是也是离散的。
在现实世界中，许多的实际问题本质上是离散事件的而不是连续事件，都可归结为组合最优化问题。
这类问题在理论上多数都属于NP难问题，NP类问题仍属于可计算问题，即存在算法来求解。
求解这类组合最优化问题方法分为精确算法和近似算法两类。
常用的精确算法有动态规划、分支定界和枚举等。
精确算法只能解决一些小规模问题，当求解小规模组合优化问题时可以用这类精确算法在较短的时间内得到最优解。
当求解大规模组合优化问题时，理论上可以得到问题的最优解，但由于计算量太大，所以使用精确算法并不可行。
利用精确算法求解NP-hard组合优化问题时，即使能得到最优解，但所需要的计算时间过长，在实际问题中难以直接应用。
近似算法是指在合理的计算时间内找到一个近似的最优解。
近似算法虽然求解速度较快，但并不能保证得到问题的全局最优解。
近似算法分为基于数学规划（最优化）的近似算法、启发式算法和基于智能优化的近似算法。
1) 基于数学规划（最优化）的近似算法是根据对问题建立的数学规划模型，运用如拉格朗日松弛、列生成等算法以获得问题的近似解，是以数学模型为基础，采用列生成、拉格朗日松弛和状态空间松弛等求解问题。
拉格朗日松弛（LR）算法求解问题的主要思想是分解和协调。
首先对于NP难的优化问题，其数学模型须具有可分离性。
通过使用拉格朗日乘子向量将模型中复杂的耦合约束引入目标函数，使耦合约束解除，形成松弛问题，从而分解为一些相互独立的易于求解的子问题，设计有效的算法求得所有子问题的最优解。
利用乘子的迭代更新来实现子问题解的协调。
列生成(Column generation, CG)算法是一种已经被认可的成功用于求解大规模线性规划、整数规划及混合整数规划问题的算法。
与智能优化算法相比，基于数学规划的近似算法的优点是通过建立问题的数学模型，松弛模型中难解的耦合约束或整数约束，得到的松弛问题的最优解可以为原问题提供一个下界。
组合优化算法组合优化问题已经成为当今研究领域的热门话题，这是由于随着现代科技的发展，许多组合优化问题日益普遍，需要有效的算法来解决这些问题。
组合优化是指应用算法来求解组合最优化问题，使得组合中每个元素都能尽可能最大限度地实现最优化。
组合优化算法是指组合优化问题的解决方案，它通过探索搜索途径，克服问题的复杂性，并最终寻求最优解。
组合优化算法可以分为两类：搜索算法和极限优化算法。
搜索算法是一种迭代搜索算法，运行的过程中以搜索的方式来搜索更合适的解决方案。
搜索算法的过程可以用树状图来表示，中心是起点，外围是有可能的解决方案，而搜索算法根据定义的条件来搜索解析，最终得出最优解。
极限优化算法也叫边界优化，是一种用数学方法来解决包含约束条件的优化问题的算法。
极限优化算法的实现过程是遍历搜索边界上的极值点，通过极值点来近似优化问题的最优解，而不是穷尽地去搜索整个空间的解决方案。
组合优化算法的发展尤其引人瞩目，今天，它们应该是投资者、科学家和工程师们的热门话题，不仅能够解决现有的组合优化问题，而且也能够解决更大规模和更复杂的问题。
组合优化算法在处理复杂的投资决策、技术设计、系统工程等各个方面都有广泛的应用，为当今科技的发展提供了重要的支持。
针对组合优化算法，有许多有影响力的研究成果，比如遗传算法、蚁群算法、混合算法、模糊多目标优化算法等。
遗传算法是一种基于进化规则的算法，它模拟自然界中的进化过程，将最优解直接映射到算法搜索空间中，从而有效地解决组合优化问题。
蚁群算法是一种仿生模型，它模拟蚂蚁行为来解决组合优化问题，采用信息素的概念，集群策略实现全局最优解的搜索；混合算法则是将遗传算法、蚁群算法和其他优化算法结合在一起，实现更好的求解效果；模糊多目标优化算法则采用模糊逻辑理论，结合多目标模型，实现多目标优化。
总之，组合优化算法已经发展成为一个热门的研究领域，它们的研究成果和应用发展为当今的科技发展提供了重要的支持和帮助。
单次投资组合的最优化在投资领域中，投资组合最优化是一个重要的话题，不仅可以使投资者实现最大化的收益，还可以降低投资风险。
在本篇文章中，我将探讨单次投资组合的最优化方法。
一、投资组合理论基础投资组合理论是现代投资学的基石之一，它认为投资者不应该只购买单只股票或债券，而是应该将较少的资金分散到多种投资工具中，以减少风险，提高回报率。
这种分散投资的方式被称为投资组合。
因此投资组合是指将资金分散到不同的投资品种中，以期实现收益最大化和风险最小化的投资模式。
二、单次投资组合构成的要素在进行单次投资时，我们需要考虑以下要素：1.资产类型：包括股票、债券、货币市场工具等各种投资品种。
2.资产配置：投资者需要确定在投资组合中每种资产所占比例，以及在整个投资组合中所占总资产的比例。
3.持有期限：投资者需要根据自己的投资目标和时间，选择适合自己的投资期限。
4.风险收益性：投资者需要考虑每种资产的风险收益特征，以及整个投资组合的风险和收益。
三、单次投资组合最优化方法1.马科维茨模型马科维茨模型是投资组合理论中最常用的模型之一，它是由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出的。
该模型的核心思想是通过资产组合的分散化来实现最优化的投资组合。
具体而言，该模型可以帮助投资者确定在给定的风险水平下，如何构建最优的投资组合。
2.半方差模型半方差模型是在马科维茨模型的基础上发展而来的另一种投资组合优化方法。
该模型认为，虽然标准差可以衡量股票收益率的波动，但并不能很好地反映股票下跌的风险。
因此，半方差模型采用了半标准差衡量下跌风险，并在此基础上进行投资组合的构建。
3.均值-半方差模型相较于马科维茨模型和半方差模型，均值-半方差模型更适合风险厌恶的投资者。
该模型的核心思想是将资产配置问题转化为一个最优化问题，并使用特殊的线性规划技术解决。
通过确定预期收益和半方差，该模型可以为投资者提供最优的投资组合。
4.主成分分析主成分分析是一种数据降维技术，它可以对大量的投资品种进行降维，从而减少数据冗余和噪声，帮助投资者寻找最优的投资组合。
组合优化组合（最）优化问题是最优化问题的一类。
最优化问题似乎自然地分成两类：一类是连续变量的问题，另一类是离散变量的问题。
具有离散变量的问题，我们称它为组合的。
在连续变量的问题里，一般地是求一组实数，或者一个函数；在组合问题里，是从一个无限集或者可数无限集里寻找一个对象——典型地是一个整数，一个集合，一个排列，或者一个图。
一般地，这两类问题有相当不同的特色，并且求解它们的方法也是很不同的。
概念定义编辑组合优化（Combinatorial Optimization）问题的目标是从组合问题的可行解集中求出最优解，通常可描述为：令Ω={s1，s2，…，sn}为所有状态构成的解空间，C(si)为状态si对应的目标函数值，要求寻找最优解s*，使得对于所有的si∈Ω，有C(s*)=minC(si)。
组合优化往往涉及排序、分类、筛选等问题，它是运筹学的一个重要分支。
问题分类编辑典型的组合优化问题有：旅行商问题（Traveling Salesman Problem－TSP）；加工调度问题（Scheduling Problem，如Flow-Shop，Job-Shop）；0-1背包问题（Knapsack Problem）；装箱问题（Bin Packing Problem）；图着色问题（Graph Coloring Problem）；聚类问题（Clustering Problem）等。
这些问题描述非常简单，并且有很强的工程代表性，但最优化求解很困难，其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运行时间与极大的存储空间，以致根本不可能在现有计算机上实现，即所谓的“组合爆炸”。
正是这些问题的代表性和复杂性激起了人们对组合优化理论与算法的研究兴趣。
组合优化问题一个通俗的定义：所谓组合优化，是指在离散的、有限的数学结构上，寻找一个（或一组）满足给定约束条件并使其目标函数值达到最大或最小的解。
—般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，往往是不可微的、不连续的、多维的、有约束条件的、高度非线性的NP完全（难）问题，因此，精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一般是不存在的。
组合优化问题集覆盖问题（set-covering problem）装箱问题（bin-packing problem）背包问题（knapsack problem）指派问题（assignment problem）旅行商问题（traveling salesman problem）影片递送问题（film delivery problem）最小生成树问题（minimum span tree problem） 图划分问题（graph partitioning problem）作业调度问题（job-shop scheduling problem）组合优化问题组合优化问题——装箱问题货运装箱问题截铜棒问题布匹套裁问题。
装箱问题属于NP－难问题组合优化问题——背包问题0/1背包问题：给出几个体积为S 1，S 2，…，S n 的物体和容量为C 的背包；要求找出n 个物件的一个子集使其尽可能多地填满容量为C 的背包。
数学形式：最大化满足∑=n i i i X S 1,1C X S ni i i≤∑=组合优化问题——背包问题广义背包问题：输入由背包容积C和两个向量：物品体积S＝(S1，S2，…，Sn)和物品价值P＝(P1，P2，…，Pn)组成。
设X为一整数集合（物品的标识），X＝1，2，3，…，n，T为X的子集，则问题就是找出满足约束条件，并使总价值最大的子集T。
数学形式：最大化满足∑=niiiXP1,1CXSniii≤∑=niXi≤≤∈1},1,0{组合优化问题——背包问题在应用问题中，设S的元素是n项经营活动各自所需的资源消耗，C是所能提供的资源总量，P的元素是人们从每项经营活动中得到的利润或收益，则背包问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问题。
组合优化问题求解算法研究一、组合优化问题简介组合优化问题是指在给定约束条件下，从若干可能的选择中选择一组元素，使得某个目标函数的值最大或最小。
它在日常生活中具有广泛的应用，如路线设计、工作安排等。
二、暴力枚举算法暴力枚举算法是指将所有可能的情况枚举出来，再从中找出最优解的算法。
它的时间复杂度为O(2^n)，因此在元素数量较小的情况下可以使用。
但随着元素数量的增加，暴力枚举算法无法满足实际需求。
三、贪心算法贪心算法是一种基于贪心思想的算法，它在每个阶段选择最优解，以期望最终结果最优。
由于贪心算法不考虑未来的后果，因此不一定能得到最优解。
但在一些特定的问题中，贪心算法可以得到最优解，如硬币找零问题。
四、动态规划算法动态规划算法是一种通过分解问题为子问题来求解复杂问题的算法。
它可以避免不必要的重复计算，并将问题转化为容易求解的子问题。
典型的应用包括背包问题和最长公共子序列问题。
动态规划算法的时间复杂度为O(n^2)或O(n^3)，因此可以在元素数量较大的情况下使用。
五、分支限界算法分支限界算法是一种基于搜索树的算法，它通过遍历搜索树，依次扩展所有可能的路径，最终找到最优解。
由于搜索树会随着元素数量的增加指数级增长，因此分支限界算法只适用于元素数量较小的情况。
六、遗传算法遗传算法是一种基于遗传学和进化论的算法。
它将问题转化为个体的基因编码，通过选择、交叉和变异等操作来逐步优化个体，最终找到最优解。
遗传算法在处理组合优化问题中具有较强的灵活性和鲁棒性，可以应用于大规模的问题求解。
七、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于统计物理学的随机搜索算法。
它通过随机选择解，并根据一定的概率接受较差的解，从而避免陷入局部最优解。
模拟退火算法通常可以得到接近最优解的结果，并可以应用于处理复杂的非线性组合优化问题。
八、粒子群算法粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法。
它通过模拟群体中粒子的运动来搜索最优解，具有全局收敛能力和高效性，可应用于大规模、高维的组合优化问题中。
weili@
主要内容
•组合最优化问题概论
•现代最优化计算方法
–禁忌搜索（tabu search）
–模拟退火（simulated annealing）
–遗传算法（genetic algorithms）
–人工神经网络（neural networks）
–拉格朗日松弛算法（Lagrange slack arithmetic）
•组合最优化（combinatorial optimization ）
–是通过对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等
–组合最优化问题的数学模型
其中，f(x)为目标函数，g(x)为约束函数，x 为决策变量，D 表示有限个点组成的集合
D
x 0
g(x) .t .s )
x (f min ∈≥
•组合最优化（combinatorial optimization ）
–一个组合最优化问题可用三参数（D,F,f ）表示，其中D 表示决策变量的定义域，F 表示可行解区域F 中的任何一个元素称为该问题的可行解，f 表示目标函数。
满足的可行解称为该问题的最优解
–组合最优化的特点是：可行解集合为有限点集
–有可行解一定有最优解
}0)x (g ,D x |x {F ≥∈=}F x |x)(f {min )x (f *∈=*x
•组合最优化问题
例1.（最优投资问题）设一个人的财富为b ，现有n 只价格为、预期收益分别为的股票，如何选择投资策略使得该人投资收益最大？解：用数学模型表示为：
)n ,2,1i (a i L =)n ,2,1i (c i L =(3)
n ,2,1i },1,0{ x
(2) ,b x a .t .s (1)
x c max i n 1
i i i n
1
i i i L =∈≤∑∑==
•组合最优化问题
例2.（旅行商问题）一个商人欲到n 个城市推销商品，每两个城市i 和j 之间的距离为，如何选择一条道路使得商人每个城市走一遍后回到起点且所走路经最短。
注：旅行商问题还可以细分为对称和非对称距离两大类问题。
当时，称为对称距离旅行商问题，否则称为非对称距离旅行商问题。
ij d j ,i ,d d ji ij ∀=
•组合最优化问题
例2.（旅行商问题）解：用数学模型表示为：
(8)
n ,2,1i },1,0{ x (7)
}n 1,2,{i s 2,-n s 2 ,1-s x
(6)
n 1,2,j ,1x
(5) n 1,2,i ,1x .t .s (4) x d max i s j i,ij n
1
i ij n
1
j ij j
i ij
ij L L L L =∈=⊂≤≤≤====∑∑∑∑∈==≠
•局部领域搜索算法的推广，是人工智能在组合优化算法中的一个成功应用
•Glover在1986年首次提出这一概念，进而形成一套完整算法，该算法的特点是采用了禁忌技术
•禁忌就是禁止重复前面的工作
•为了回避局部领域搜索陷入局部最优的主要不足，禁忌搜索算法用一个禁忌表记录下已经到达过的局部最优点，在下一次搜索中，利用禁忌表中的信息不再或有选择地搜索这些点，以此来跳出局部最优点。
•应用实例：
–图节点着色问题
–车间作业调度问题
•参考文献：
–Glover F. Tabu search: part I. ORSA Journal on Computing,
1989, 1, 190~206
–Glover F. Tabu search: part II. ORSA Journal on Computing, 1990, 2, 4~32
模拟退火算法（simulated annealing）
•是一个全局最优算法
•最早由Metropolis在1953年提出，Kirkpatrick在1983年成功地应用在组合最优化问题中
•退火是一种物理过程，一种金属物体在加热至一定的温度后，它的所有分子在状态空间D中自由运动，随着温度的下降，这些分子逐渐停留在不同的状态，在温度最低时，分子重新以一定的结构排列
•组合优化问题同金属物体退火类比：
组合优化问题金属物体
解状态
最优解能量最低的状态
费用函数能量
模拟退火算法（simulated annealing）
•应用实例：
–下料问题
•参考文献：
–Kirkpatrick S, Gelatt Jr C D, Vecchi M P. Optimization by simulated annealing. Science, 1983, 220: 671~680
–Aarts E H L, van Laarhoven P J M. Simulated Annealing:
Theory and Application. Dordrecht: D Reidel Publishing
Company, 1987
•在70年代初期由美国密歇根大学（Michigan Uni.）的Holland教授发展起来的，1975年，Holland发表了第一本比较系统论述遗传算法的专著《Adaptation in Natural and Artificial Systems》
•遗传算法主要借用生物进化中“适者生存”的规律，“适者生存”揭示了大自然生物进化过程中的一个规律：最适合自然环境的群体往往产生了更大的后代群体
•遗传算法在求解很多组合优化问题时，不需要有很强的技巧和对问题有非常深入的了解
•应用实例：
–排序、布局问题
–生产批量问题
•参考文献：
–Holland J H. Adaptation in Natural and Artificial Systems. MIT Press, 1975
–Goldberg D E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley Publishing Company, 1999
•神经网络的研究可以追溯到19世纪，James在1890年的《Psychology(Briefer Course)》一书中描述了神经网络的基本原理：大脑皮层每一点的活力是由其他点势能释放的综合效能产生，这一势能同下面的因素有关：1）相关其他点的兴奋次数；2）兴奋得强度；3）与其不相连的其他点所接受的能量•神经网络的基本原理是构造人工神经网络模型的一个基本依据•人工神经网络的早期工作可以追溯到1943年McCulloch和Pitts 建立的第一个模型
•20世纪80年代，Hopfield将人工神经网络成功地应用在组合优化问题
•应用实例：
–识别问题
–旅行商问题
•参考文献：
–McCulloch W, Pitts W. A logical calculus of the ideas imminent in nervous activity. Bulletin of Mathematical Biophysics, 1943, 5: 115~133
–Hopfield J, Tank D. ‘Neural’computation of decisions in
optimization problems. Biological Cybernetics, 1985, 52:
141~152
•禁忌搜索、模拟退火、遗传算法和人工神经网络以极小优化目标函数为例，给出的都是最优值的上界，拉格朗日松弛算法是求解下界的一种方法
•评价一个算法好坏的一个标准是考察它所计算的目标值同最优目标值的差别，由于组合优化问题的难度，求解最优值时非常困难的，解决这个难点的一个有效方法是通过计算上下界，用上界和下界的差来评价算法，拉格朗日松弛算法的实现比较简单，不仅可以用来评价算法的效果，同时可以用在其他算法中以提高算法的效率
•拉格朗日松弛算法的基本原理是：将造成问题难的约束吸收到目标函数中，并使得目标函数仍保持线性性，由此使得问题容易求解
•应用实例：
–集合覆盖问题
–单机排序问题
•参考文献：
–Fisher M L. The Lagrangian relaxation method for solving
integer programming problems, Management Science, 1981, 27(1): 1~18
–Xing W, Zhang J, Jiang Q et al. Capacitated single flexible
manufacturing cell with setups: model, complexity and
Lagrangean relaxation. In: Ding-Zhu Du et al ed. Operations Research and Its Applications. 1995, 162~170。
