福建省福州市2020年中考数学一模试卷解析版

中考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列地方银行的标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.下列运算正确的是（ ）A. x-x=B. a3•（-a2）=-a6C. （-1）（+1）=4D. -（a2）2=a43.下列事件为必然事件的是（）A. 打开电视机，正在播放新闻B. 任意画一个三角形，其内角和是180°C. 买一张电影票，座位号是奇数号D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上4.二次函数y=x2-2x的顶点坐标是（ ）A. （1，1）B. （1，-1）C. （-1，-1）D. （-1，1）5.小丽在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100元的3张，50元的9张，10元的23张，5元的10张．在这些不同面额的钞票中，众数是（ ）A. 10B. 23C. 50D. 1006.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，AE∥BD交CB延长线于点E，若∠AEB=25°，则∠ADB的度数为（ ）A. 50°B. 70°C. 75°D. 80°7.在平面直角坐标系中，直线y=2x-3的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为（ ）A. y=2x-5B. y=2x+5C. y=2x+1D. y=2x-18.若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定9.如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（ ）A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值10.已知二次函数y1=ax2+ax-1，y2=x2+bx+1，下列结论一定正确的是（ ）A. 若-2＜a＜0＜b，则y2＞y1B. 若-2＜a＜b＜0，则y2＞y1C. 若0＜a＜2＜b，则y2＞y1D. 若0＜a＜b＜2，则y2＞y1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是______．12.命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.13.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是______毫米．14.若点A（n，m）在反比例函数的图象上，若n＞2，则m的取值范围为______．15.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n-0.5≤x＜n+0.5，则（x）=n．如（1.34）=1，（4.86）=5．若（0.5x-1）=6，则实数x的取值范围是______．16.如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对应点点A′，O′，过点A′C∥AB，若A′C与半圆O恰好相切，则∠ABP的大小为______°．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.计算：|-|-（4-π）0+2sin60°+（）-1．18.在2017年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）19.先化简，再求值：，其中．20.已知：整式A=（n2-1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A=B2．求整式B．联想由上可知，B2=（n2-1）2+（2n）2，当n＞1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；直角三角形三边n2-12n B勾股数组Ⅰ______ 8______勾股数组Ⅱ35______ ______21.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°．请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段AB上找一点F，使得点F到边AC的距离等于FB（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．22.已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．（1）求证：点C、E不能同时在抛物线上；（2）点A在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上吗？为什么？23.“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？24.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC=FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是的中点时，①若∠BAC=60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若tan∠ABC=，且AB=20，求DE的长．25.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（0，-2）（1）若点（-2，0）也在该抛物线上，请用含a的关系式表示b；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1-x2）（y1-y2）＜0；当0＜x1＜x2时，（x1-x2）（y1-y2）＞0，若以原点O 为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C（B在C点侧），且△ABC 有一个内角为60°，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点P与点O关于点A对称，且O、M、N三点共线，求证：PA平分∠MPN．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：A、x-x=x，故本选项错误；B、a3•（-a2）=-a5，故本选项错误；C、（-1）（+1）=5-1=4，故本选项正确；D、-（a2）2=-a4，故本选项错误；故选：C．根据合并同类项法则判断A；根据单项式乘单项式的法则判断B；根据平方差公式以及二次根式的性质判断C；根据幂的乘方法则判断D．本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握合并同类项法则、单项式乘单项式的法则、幂的乘方法则、平方差公式以及二次根式的性质是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．故选：B．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.【答案】B【解析】解：∵y=x2-2x=（x-1）2-1，∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（1，-1），故选：B．先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．此题主要考查了二次函数的性质和求抛物线的顶点坐标的方法，熟练配方是解题关键．5.【答案】A【解析】解：在这组数据中，10元出现了23次，出现次数最多，是众数，故选：A．根据众数的定义，找到出现次数最多的数即为众数．本题考查了众数，要知道，一组数据中出现次数做多的数叫做众数．6.【答案】C【解析】解：∵AE∥BD，∴∠E=∠DBC=25°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=25°，∴∠ABC=∠ACB=50°，∴∠ADB=∠ACB+∠DBC=75°，故选：C．由平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABD=∠DBC=25°，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=50°，即可求解．本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，求出∠ABC的度数是本题关键．7.【答案】A【解析】解：由题意，可知本题是求把直线y=2x-3向下平移2个单位后的解析式，则所求解析式为y=2x-3-2，即y=2x-5．故选：A．将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，求直线在新的平面直角坐标系中的解析式相当于是求把直线l：y=2x-3向下平移2个单位后的解析式．本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△=k2-4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．利用一次函数的性质得到k＞0，b≤0，再判断△=k2-4b＞0，从而得到方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．9.【答案】C【解析】解；连接：OC、ON、OD．∵N是CD的中点，∴ON⊥CD，∠CON=∠DON．又∵CM⊥AB，∴∠ONC+∠CMO=180°．∴O、N、C、M四点共圆．∴∠NOC=∠NMC=30°．∴∠COD=60°．又∵OC=OD，∴△OCD为等边三角形．∴CD=．故选：C．连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可证明△OCD 为等边三角形，从而得到CD=2．本题主要考查的是轨迹问题，发现O、N、C、M四点共圆，从而证得△OCD为等边三角形是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：y2-y1=（1-a）x2+（b-a）x+2由y2＞y1得y2-y1＞0∴1-a＞0，△=（b-a）2-8（1-a）＜0选项A：若-2＜a＜0＜b，则1-a＞0，△=（b-a）2-8（1-a），无法判断△与0的大小关系，故A错误；选项B：若-2＜a＜b＜0，则1-a＞1＞0，∵0＜b-a＜2，∴△=（b-a）2-8（1-a）＜0故B正确；选项C：若0＜a＜2＜b，则1-a无法确定正负，故C错误；选项D：同选项C一样，无法确定1-a的正负，故D错误．综上，只有B正确．故选：B．先利用y2减去y1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1-a＞0，△=（b-a）2-8（1-a）＜0，据此对各个选项计算分析即可．本题考查了二次函数与不等式、二次函数图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式之间的关系，明确上述关系是解题的关键．11.【答案】9【解析】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故答案为9．利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．12.【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0【解析】【分析】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0．13.【答案】【解析】解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA=DE：AB∴20：60=DE：10∴DE=毫米∴小管口径DE的长是毫米．故答案为：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径DE的长．14.【答案】【解析】解：∵中的3＞0．∴该函数图象位于第一、三象限．∵n＞2．∴A（n，m）位于第一象限．∴m＞0．把点（n，m）代入，得m=，∴n=．∵n＞2，∴＞2．∴m＜．∴．故答案是：．把点A的坐标代入反比例函数解析式得到：m=，结合n的取值范围求得m的取值范围．考查了反比例函数图象上点的坐标特征，此题属于易错题，需要考虑点A所在的象限，从而判断m是正数．15.【答案】13≤x＜15【解析】【分析】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是得到关于x的不等式组6-0.5≤0.5x-1＜6+0.5．根据题意得到：6-0.5≤0.5x-1＜6+0.5，据此求得x的取值范围．【解答】解：依题意得：6-0.5≤0.5x-1＜6+0.5解得13≤x＜15．故答案为13≤x＜15．16.【答案】15【解析】解：作OG⊥A′C于G，BH⊥A′C于H，如图，∵A′C与半圆O恰好相切，∴OG为⊙O的半径，即OG=OB，∵A′C∥AB，∴OG⊥OB，BH⊥OB，∠HA′B=∠ABA′，∴四边形OBHG为正方形，∵图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对应点点A′，O′，∴∠A′BP=∠ABP=α，BA′=BA，∴A′B=2BH，∴∠BA′H=30°，∵∠HA′B=∠ABA′=2α，∴α=15°．故答案为15°．作OG⊥A′C于G，BH⊥A′C于H，如图，根据切线的性质得到OG=OB，再利用A′C∥AB可证明四边形OBHG为正方形，接着根据折叠的性质得∠A′BP=∠ABP=α，BA′=BA，所以A′B=2BH，根据特殊角的三角函数值得到∠BA′H=30°，然后利用∠HA′B=∠ABA′=2α可确定α的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了折叠的性质．17.【答案】解：原式=-1+2×+4=-1++4=3+．【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：画树状图，得由树状图可知共有4种等可能结果，其中甲队获胜的由1种结果，∴甲队获胜的概率为．【解析】根据乙队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．本题考查了用树状图列举随机事件出现的所有情况，并求出某些事件的概率，但应注意在求概率时各种情况出现的可能性务必相同．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：原式，当时，原式．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】15 17 12 37【解析】解：A=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2，∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2-1=42-1=15，n2+1=42+1=17；当n2-1=35时，n=±6（负值舍去），∴2n=2×6=12，n2+1=37．直角三角形三边n2-12n B勾股数组Ⅰ15817勾股数组Ⅱ351237故答案为：15，17；12，37．先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．21.【答案】解：如图，点F即为所求．【解析】根据角分线的性质和线段垂直平分线的性质，即可在线段AB上找一点F，使得点F到边AC的距离等于FB．本题考查了作图-复杂作图、点到直线的距离，解决本题的关键是掌握点到直线的距离定义．22.【答案】解：（1）y=a（x-1）2+k，∴对称轴为x=1，顶点为（1，k），设点C，E同时在抛物线y=a（x-1）2+k上，∴当x=-1时，y=a（-1-1）2+k=4a+k=2当x=4时，y=a（4-1）2+k=9a+k=2，∴a=0，这与a＞0矛盾，∴假设不成立，∴C，E不能同时在抛物线上；（2）不在；理由：若点A（1，0）在抛物线上，由（1）得，抛物线的顶点坐标为（1，k），∴A为顶点，∵a≥0，∴A为最低点，又∵抛物线过A，B，C，D，E中的三点，∴只能过A，C，E三点，这与（1）中的结论矛盾，∴假设不成立，∴点A不在抛物线上．【解析】（1）当C、E同时在函数上时，将点A与点E代入解析式y=a（x-1）2+k，得到a=0，这与已知矛盾，即可证明；（2）A在抛物线上时，A是抛物线的顶点，此时A点是最低点，则点C、E在抛物线上，与（1）矛盾，则可得结论．本题考查二次函数图象上点的特点；能够利用反证法，通过假设证明，推导出与已知矛盾的结论是解题的关键．23.【答案】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得x：600=100：60∴x=1000∴1000-600-100=300答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得y=200+y∴y=500答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．【解析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．本题考查了应用一元一次方程求解古代行程数学问题，本题中等难度．24.【答案】解：（1）证明：连接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD=90°，∴∠OBC+∠BDP=90°，∵FC=FD∴∠FCD=∠FDC∵∠FDC=∠BDP∴∠OCB+∠FCD=90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线．（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∵点E是的中点，∴∠BOE=∠COE=60°，∵OB=OE=OC∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB=BE=CE=OC∴四边形BOCE是菱形；②若tan∠ABC=，且AB=20，求DE的长．∵=tan∠ABC=，设AC=3k，BC=4k（k＞0），由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即（3k）2+（4k）2=202，解得k=4，∴AC=12，BC=16，∵点E是的中点，∴OE⊥BC，BH=CH=8，∴OE×BH=OB×PE，即10×8=10PE，解得：PE=8，由勾股定理得OP===6，∴BP=OB-OP=10-6=4，∵=tan∠ABC=，即DP=BP==3∴DE=PE-DP=8-3=5．【解析】（1）连接OC，证明OC⊥CF即可；（2）①四边形BOCE是菱形，可以先证明四边形BOCE是平行四边形，再结合半径相等得证四边形BOCE是菱形，也可以直接证明四条边相等得到四边形BOCE是菱形；②由三角函数概念得=tan∠ABC=，可求得AC=12，BC=16，由垂径定理可求出BH；利用三角形面积公式求得PE=BH=8，再利用勾股定理或三角函数求得OP，BP，DP，由DE=PE-PD求出DE的长．本题主要考查了圆的切线的判定定理、垂径定理的应用、等边三角形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、解直角三角形等，解题的关键是熟练掌握性质定理和判定定理．25.【答案】解：（1）把点（0，-2）、（-2，0）分别代入，得．所以b=2a-1．（2），如图1，∵当x1＜x2＜0时，（x1-x2）（y1-y2）＜0，∴x1-x2＜0，y1-y2＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小；同理：当x＞0时，y随x的增大而增大，∴抛物线的对称轴为y轴，开口向上，∴b=0．∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C，∴△ABC为等腰三角形，又∵△ABC有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形．设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC•cos30°=，OD=OC•sin30°=1．不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，1）．∵点C在抛物线上，且c=-2，b=0，∴3a-2=1，∴a=1，∴抛物线的解析式为y=x2-2．（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为（x1，-2），点N的坐标为（x2，-2）．如图2，直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）．∵O、M、N三点共线，∴x1≠0，x2≠0，且=，∴x1-=x2-，∴x1-x2=-，∴x1x2=-2，即x2=-，∴点N的坐标为（-，-2）．设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，-2）．∵点P是点O关于点A的对称点，∴OP=2OA=4，∴点P的坐标为（0，-4）．设直线PM的解析式为y=k2x-4，∵点M的坐标为（x1，-2），∴-2=k2x1-4，∴k2=，∴直线PM的解析式为y=x-4．∵•-4==-2，∴点N′在直线PM上，∴PA平分∠MPN．【解析】（1）把点（0，-2）、（-2，0）代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向上，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC 为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；（3）由（1）的结论可得出点M的坐标为（x1，-x12+2）、点N的坐标为（x2，-x22+2），由O、M、N三点共线可得出x2=-，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点N′在直线PM上．。